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专题 7-1 基本不等式和对钩函数
目录
专题7-1基本不等式和对钩函数............................................................................................................1
.....................................................................................1
题型一：直接法........................................................................................................................................1
题型二：凑配法........................................................................................................................................4
题型三：分离法和换元法........................................................................................................................7
题型四：常数代换“1”的代换............................................................................................................11
题型五：消元法......................................................................................................................................15
题型六：对钩函数..................................................................................................................................17
................................................................22
一、单选题..............................................................................................................................................22
二、多选题..............................................................................................................................................26
三、填空题..............................................................................................................................................28
题型一：直接法
【典例分析】
例题1．（2022·福建·上杭县第二中学高三阶段练习）当 时，函数
（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4
例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强高级中学有限公司高一阶段练习）已知 ，则
有（ ）
A．最大值0 B．最小值0 C．最大值－4 D．最小值－4
【提分秘籍】基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果 ， ， ，当且仅当 时，等号成立．
②其中 叫做正数 ， 的几何平均数； 叫做正数 ， 的算数平均数．
【变式演练】
1．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）函数 的最小值是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二学业考试）若 ，则 的最小
值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．（2022·上海虹口·一模）对于正实数 ，代数式 的最小值为______．
4．（2022·河北行唐启明中学高一阶段练习）（1）已知 ，求 的最大值
题型二：凑配法
【典例分析】
例题1．（2022·四川省南充高级中学高一期中）（1） 已知 ， 求函数
的最大值．
（2） 已知 ， 求函数 的最大值．
例题2．（2022·西藏·拉萨市第二高级中学高一期中）若 ，则 的最小值为______，此时 ______.
【提分秘籍】
在例题1中使用基本不等式一定要注意，积定，或者和定，否则需要凑配，比如：
直接使用基本不等式，则 发现，和不
定，无法直接使用基本不等式，需要凑配位和定：
；
再如： 直接使用基本不等式，则
，发现积不定，则需要凑配为积定：
【变式演练】
1．（2022·辽宁·大连八中高一阶段练习）已知 ，则 的最小值为 ，取得最小
值时 ，则 ______．
2．（2022·云南·屏边苗族自治县第一中学高一阶段练习）若 ，求： 的最小值.
3．（2022·陕西·兴平市南郊高级中学高一阶段练习）已知 ，求 的最大值.
4．（2022·江苏·扬州大学附属中学东部分校高一期中）求下列函数的最值
(1)已知 ，求 的最小值；题型三：分离法和换元法
【典例分析】
例题1．（2022·安徽·合肥八中教育集团铭传高级中学高一期末）已知 ，则
的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
例题2．（2022·重庆市育才中学高一期中）若 ，则 的最小值为
（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【提分秘籍】
对于分式型，可将分母看作一个整体，直接分离，也可采用换元法，对于分子，分母中次
数低的式子，一次性换元后，再分离.
【变式演练】
1．（2022·江苏省高淳高级中学高一阶段练习）已知函数 ，定义域为
，则函数 （ ）
A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值3 D．有最大值3
2．（2022·湖南·安化县江英高级中学有限公司高一阶段练习）已知 ，则函数
的最小值是______．
3．（2022·四川省泸县第四中学高二期中（文））当 时，则 的最大值为
______.
4．（2022·河北·任丘市第一中学高一期中）解答下列问题：
已知 ，求函数 最小值．5．（2022·黑龙江·哈九中高一期中）已知函数 ， ．
(1)当 时，求 的最小值；
(2)对任意 ， 恒成立，求a的取值范围．
题型四：常数代换“1”的代换
【典例分析】
例题1．（2022·重庆·高一阶段练习）已知实数 满足 ，且 ，若不等
式 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A．9 B．25 C．16 D．12
例题2．（2022·四川·成都七中一模（理））已知 （ ），则
的最小值为___________.
例题3．（2022·山西运城·高三期中）已知实数 ， ，且 ，则
的最小值是___________.
【提分秘籍】
1的代入：例：已知 ，求 的最小值，
解析： .
其中 ，也可以改为 ，“ 是常数”【变式演练】
1．（2022·辽宁葫芦岛·高一期中）若 ，则 的最小值为（ ）
A．16 B．8 C．20 D．12
2．（2022·浙江·杭州四中高一期中）设x，y都是正数，且 ，则 的最小值是
（ ）
A． B．3 C． D．2
3．（2022·河北·高一期中）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．20 D．4
4．（多选）（2022·福建龙岩·高三期中）已知 ，则 的值可能是
（ ）
A．1 B．2.5 C．3 D．4.5
5．（2022·重庆·高三阶段练习）已知 ，则 的最小值是______．
题型五：消元法
【典例分析】
例题1．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知正实数 ， 满足 ，则 的最
小值为( )
A．0 B．2 C．4 D．6
例题2．（2022·辽宁·高三期中）若正实数 ， 满足 ，则 的最小
值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【提分秘籍】在基本不等式中，涉及到 的问题，可以转化为 ，在代入目标中求解，
这样二元问题转化为一元问题，进而再利用基本不等式求解目标
【变式演练】
1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）已知 为正实数且 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
2．（2022·河北·承德市高新区第一中学高一期中）已知二次函数
的值域为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型六：对钩函数
【典例分析】
例题1．（2021·全国·高一课时练习）函数 的值域为______
例题2．（2020·广东深圳·高一期末）已知命题 是假命题，
则实数 的取值范围是_______.
例题3．（2015·浙江温州·高二期中（文））若关于 的方程 在区间
上有解，则 的取值范围是________．
【提分秘籍】
对钩函数是对基本不等式的补充对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如： （
）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕
函数”、“耐克函数”等.
常考对钩函
（ （ ）
数
函数
）
定义域 定义域
值域 值域
奇偶性 奇函数 奇偶性 奇函数
在 在 ，
单调性 单调性
上单调递增；在
， 上单调递增；在
， 单调递减
， 单调递
减
【变式演练】
1．（2022·江苏省天一中学高一期中）命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的
值域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京八中高一期中）函数 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．（2022·吉林一中高二期末）若 使关于 的不等式 成立，则实数
的取值范围是______．
一、单选题
1．（2022·河南南阳·高一阶段练习）若两个正实数 满足 ，且存在这样的
使不等式 有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·广东清远·高一期中）设 ， ，不等式 恒成立，则实数
m的最小值是（ ）A． B．2 C．1 D．
3．（2022·湖北·海亮教育仙桃市第一中学高一阶段练习）已知函数 （
且 ）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程 ，
则 的最小值为（ ）
A．8 B．24 C．4 D．6
4．（2022·浙江·杭州四中高一期中）已知 满足 ，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏·扬州中学高一阶段练习）设 ， ，且 ，则
（ ）
A．有最小值为4 B．有最小值为 C．有最小值为 D．无最小值
6．（2022·广东·惠州市华罗庚中学高一阶段练习）若指数函数 （ 且
）的图象恒过定点 ，且点 在线段 上，则 的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．9
7．（2022·贵州贵阳·高三阶段练习（理））已知函数 的图像恒
过一点P，且点P在直线 的图像上，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
8．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三阶段练习）已知 ， ， ，则
的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、多选题9．（2022·山东·利津县高级中学高三阶段练习）在下列函数中，最小值是4的是（ ）
A． B．
C． ， D．
10．（2022·浙江·杭州市源清中学高二期中）下列结论中正确的结论是（ ）
A． 的最小值是4 B． 的最小值是
C．若 ，则 的最小值是 D． 的最大值是25
三、填空题
11．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知 均为实数且 ， ，
则 的最小值为______.
12．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）设 ，且 ，则
的最小值是__________.
13．（2022·陕西·永寿县中学高一阶段练习）设正实数 、 满足 ，则 的
最小值为______.
14．（2022·内蒙古·包钢一中高一阶段练习）已知 满足 ，则
的最小值是__________.
15．（2022·湖北·恩施市第一中学高一阶段练习）已知 ，且 ， ，
则 的最小值为___________.
