文档内容
专题 7-1 立体几何压轴小题；截面与球
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................2
【题型一】截面最值....................................................................................................................................................2
【题型二】球截面.........................................................................................................................................................3
【题型三】截面综合难题...........................................................................................................................................4
【题型四】线面垂直型求外接球.............................................................................................................................5
【题型五】特殊三角形定球心型.............................................................................................................................6
【题型六】定义法列方程计算型求球心...............................................................................................................6
【题型七】内切球.........................................................................................................................................................7
【题型八】棱切球型最值...........................................................................................................................................8
【题型九】内切球与外切球一体综合....................................................................................................................9
【题型十】球综合.........................................................................................................................................................9
专题训练.........................................................................................................................................................................10
讲高考
1．江西·高考真题）如图，在四面体 中，截面 经过四面体的内切球（与四个面
都相切的球）球心 ，且与 、 分别截于 、 .如果截面将四面体分为体积相等的
两部分，设四棱锥 与三棱锥 的表面积分别为 ， ，则必有（ ）
A． B． C． D． 的大小不能
确定
2．（2022·全国·统考高考真题）在正方体 中，E，F分别为 的中点，
则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
3．（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和
，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若
该球的体积为 ，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·天津·统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国·统考高考真题）已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外
接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型全归纳
【题型一】截面最值
【讲题型】
例题1..正方体 为棱长为2，动点 ， 分别在棱 ， 上，过点 ， ，
的平面截该正方体所得的截面记为 ，设 ， ，其中 ， ，下列命
题正确的是_____．（写出所有正确命题的编号）
①当 时， 为矩形，其面积最大为4；②当 时， 的面积为 ；③当 ，
时，设 与棱 的交点为 ，则 ；④当 时，以 为顶点， 为
底面的棱锥的体积为定值 ．
【讲技巧】
求截面方法：
1. 平行线法：
（1）利用两条平行线确定一个平面，
（2）一个平面与两个平行平面相交，交线平行
2. 相交线法：
（1）两条相交直线确定一个平面
（2）若两个相交平面中一条直线与棱不平行，则与棱的交点，也在另一个平面内
【练题型】
1.如图，长方体 中，AB=BC=4， ，M是线段 的中点，点N在
线段 上，MN BD，则长方体 被平面AMN所截得的截面面积为
___________.2.如图，在正四棱台 中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点
分别在 上，且 .过点 的平面 与此四棱台的下底面会相
交，则平面 与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为
A． B． C． D．
【题型二】球截面
【讲题型】
例题1.在三棱锥A－BCD中， ，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面
ABC⊥平面ACD，三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，
CD上运动（端点除外）， ．当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O
的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．π B． C． D．2π
【讲技巧】
用一个平面 去截球，若平面 经过球心，所得的截面称为球的大圆；若平面 不经过
球心，所得的截面称为球的小圆。小圆圆心与球心的连线必垂直于小圆面。
【练题型】
1.已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形
成的交线的长度为___________.
2.在正四棱锥 中，已知 ， 为底面 的中心，以点 为球心作
一半径为 的球，则平面 截该球的截面面积为________．
【题型三】截面综合难题
【讲题型】例题1.如图，在四棱锥 中，底面是边长为 的正方形，
， 为 的中点.过 作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记
上､下两部分的体积分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【练题型】
1.在三棱锥 中，顶点P在底面的射影为 的垂心O（O在 内部），且
PO中点为M，过AM作平行于BC的截面 ，过BM作平行于AC的截面 ，记 ， 与
底面ABC所成的锐二面角分别为 ， ，若 ，则下列说法错误的是
（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C． 可能值为
D．当 取值最大时，
2.如图， 是边长为6的正三角形 的一条中位线，将△ 沿直线 翻折至△
，当三棱锥 的体积最大时，四棱锥 外接球 的表面积为______；
过 的中点 作球 的截面，则所得截面圆面积的最小值是______.
【题型四】线面垂直型求外接球【讲题型】
例题1.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC， ，若球
O的表面积为16π，则三棱锥S－ABC的体积的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．6
【讲技巧】
线面垂直型：
存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的
外接圆半径是r，满足正弦定理）
1.模板图形原理
图1 图2
2.计算公式
【练题型】
1.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC， ，若球O的
表面积为16π，则三棱锥S－ABC的体积的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．6
2.已知 四点均在半径为 （ 为常数）的球 的球面上运动，且 ，
， ，若四面体 的体积的最大值为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型五】特殊三角形定球心型
【讲题型】
例题1.已知三棱锥底面 是边长为 的等边三角形，顶点 与 边中点 的连线 垂
直于底面 ，且 ，则三棱锥 的外接球半径为（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
当几何体表面图形为特殊图形时，则过该表面的外接圆圆心做表现所在平面的垂线，该垂线必过球心
【练题型】
1.在三棱锥 中， ，二面角 的余弦值为 ，当三棱
锥 的体积的最大值为 时，其外接球的表面积为
A． B． C． D．
2..在三棱锥 中， ，则三棱锥 的
外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型六】定义法列方程计算型求球心
【讲题型】
例题1.在空间直角坐标系O-xyz中，四面体ABCD各顶点坐标分别为 ， ，
， .则该四面体外接球的表面积是___________.
【讲技巧】
利用球的定义：球面上一点到球心的距离相等，是球的半径。可以列方程计算求解。在列方程时，尽
量和线面垂直型求法配合使用
【练题型】
1.如图所示几何体ABCDEF，底面ABCD为矩形， ， ， ADE与 BCF是等
边三角形， ， ，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
△ △
A． B． C． D．
2.直角 中， ， ，D是斜边AC上的一动点，沿BD将 翻折到
，使二面角 为直二面角，当线段 的长度最小时，四面体 的外
接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型七】内切球【讲题型】
例题1.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为 ，在该圆锥内放置一个棱长为 的
正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则 的最大值为（ ）
A．3 B．
C． D．
【讲技巧】
椎体的内切球，多采用体积分割法求解。可做如下对比理解
一、三角形内切圆
二、类比：三棱锥
【练题型】
1.在四棱锥 中， ，且 ，
，若该四棱锥存在半径为1的内切球，则 _______.
2.有一个棱长为6的正四面体，其中有一半径为 的球自由运动，正四面体内未被球扫过
的体积为【题型八】棱切球型最值
【讲题型】
例题1.已知球 与棱长为4的正方形 的所有棱都相切，点 是球 上一
点，点 是 的外接圆上的一点，则线段 的取值范围是
A． B．
C． D．
【练题型】
1.已知正三棱锥 ，球O与三棱锥 的所有棱相切，
则球O的表面积为_________．
2.点 是棱长为 的正方体 的棱切球上的一点，点 是 的外接圆上
的一点，则线段 的取值范围是（_____）
A． B． C． D．
【题型九】内切球与外切球一体综合
【讲题型】
例题1.已知三棱锥 三条侧棱 ， ， 两两互相垂直，且 ，
､ 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段 的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【练题型】
1.底边和腰长之比为 的等腰三角形被称为“黄金三角形”，四个面都为“黄金三角
形”的四面体被称为“黄金四面体”.“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为
______.
2.如图，四边形 为平行四边形， ，现将 沿直线
翻折，得到三棱锥 ，若 ，则三棱锥 的内切球与外接球表面积
的比值为_____．【题型十】球综合
【讲题型】
例题1.如图，直四棱柱 中，底面 为平行四边形，
，点 是半圆弧 上的动点(不包括端点)，点 是半圆
弧 上的动点(不包括端点)，若三棱锥 的外接球表面积为 ，则 的取值范围是
__．
【练题型】
1.如图，已知正四棱柱ABCD—ABC D 的底面边长为1，侧棱长为2，点P，Q分别在半圆
1 1 1 1
弧C C，AA(均不含端点)上，且C ，P，Q，C在球O上，则（ ）
1 1 1
A．当点Q在弧AA的三等分点处，球O的表面积为
1
B．当点P在弧C C的中点处，过C ，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是
1 1
四边形C．球O的表面积的取值范围为(4π，8π)
D．当点P在弧C C的中点处，三棱锥C —PQC的体积为定值
1 1
2.三棱锥 中， ，底面 是边长为2的正三角形， 分别是
的中点，且 ，若 为三棱锥 外接球上的动点，则点 到平面
距离的最大值为___________.
一、单选题
1．已知正四棱台 上下底面边长之比为 ，半径为 的球与棱台各面都相
切，则棱台体积为（ ）
A． B． C． D．
2．正三棱锥底面边长为 ，侧棱与底面所成角为 ，过底面一边作一截面使其与底面成
的二面角，则此截面面积为（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
3．如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
点M在 上， ，过点M作三棱锥 外接球的截面，则截面圆周长的最
小值为（ ）
A． B． C． D．4．已知正四棱锥 的外接球半径为 ，底面边长为 .若 垂直于过点
的平面 ，则平面 截正四棱锥 所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱锥A－BCD中， ，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥
平面ACD，三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，CD上
运动（端点除外）， ．当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，
则截面面积的最小值为（ ）
A．π B． C． D．2π
6．正三棱柱ABC﹣ABC 中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB，AC 的中点，若过
1 1 1 1 1 1
点A，E，F作一截面，则截面的周长为（ ）
A．2+2 B． C． D．
7．已知正方体 的棱长为 ， ， 分别为 ， 的中点，点 在平
面 中， ，点 在线段 上，则下列结论正确的个数是（ ）
①点 的轨迹长度为 ；
②线段 的轨迹与平面 的交线为圆弧；
③ 的最小值为 ；
④过 、 、 作正方体的截面，则该截面的周长为
A． B． C． D．
8．在棱长为6的正方体 中， 为侧面 内一动点，且满足 平
面 ，若 ，三棱锥 的所有顶点均在球 的球面上，则球 的表面
积为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，正方体 中，其棱长为3. ， 分别为棱 ， 的中点，过
， ， 三点作该正方体的截面，截面是一个多边形 .则（ ）
A．截面 和面 的交线与截面 和面 的交线等长
B．截面 是一个五边形.
C．截面 是一个梯形.
D．截面 在顶点 处的内角的余弦值为
10．已知球O的直径 ，A、B、C是球O表面上的三个不同的点，
，则（ ）
A．
B．线段AB的最长长度为
C．三棱锥 的体积最大值为
D．过SA作球的截面中，球心O到截面距离的最大值为
11．如图，正方体 的棱长为 分别为 的中点，则
（ ）A．直线 是异面直线
B．点 与点 到平面 的距离相等
C．三棱锥 的体积等于24
D．平面 截正方体所得的截面面积为18
12．已知棱长为1的正方体 ，以正方体中心 为球心的球 与正方体的各
条棱相切，点 为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．球 在正方体外部分的体积为
B．若点 在球 的正方体外部（含正方体表面）运动，则
C．若点 在平面 下方，则直线 与平面 所成角的正弦值最大为
A B C D
1 1 1 1
D．若点 ､ ､ 在球 的正方体外部（含正方体表面）运动，则 最小值为
三、填空题
13．三棱锥 中， ， ， ，作出与 、 都平行的截面 ，
分别交棱 、 、 、 于点 、 、 、 ，则截面 的最大面积为
______________
14．在三棱锥 中， 平面 ，三棱锥 的体积为
，已知三棱锥 的顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为__________.
15．如图，正方体 的棱长为1， 分别是 的中点，那么正方体
过 的截面图形的面积是 _____．
16．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中记载了“三角垛”．如图，某三角垛
最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径相等，且相邻的球都外切，记由球心A，B，C，D构成的四面体的体积为 ，记能将该三角垛完全放入的四面
体 的体积为 ，则 的最大值为___________．
