文档内容
专题 7-2 立体几何压轴小题：角度与动点、体积
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................3
【题型一】角度1：线线角........................................................................................................................................3
【题型二】角度2：线面角........................................................................................................................................4
【题型三】角度3：二面角........................................................................................................................................5
【题型四】角度综合....................................................................................................................................................6
【题型五】体积1：体积比........................................................................................................................................7
【题型六】体积2：不规则........................................................................................................................................8
【题型七】体积3：最值型........................................................................................................................................9
【题型八】体积4：翻折“包装”型...................................................................................................................10
【题型九】体积5：祖暅定理型............................................................................................................................11
【题型十】立体几何中的轨迹...............................................................................................................................12
专题训练.........................................................................................................................................................................13
讲高考
1．（福建·高考真题）如图，A、B、C是表面积为 的球面上三点，
，O为球心，则直线 与截面 所成的角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和
为 ，侧面积分别为 和 ，体积分别为 和 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶
点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若
该球的体积为 ，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重
叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
6．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知正三棱柱 ，E，F分别
是棱 上的点．记 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角
的平面角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·统考高考真题）在长方体 中，已知 与平面 和平
面 所成的角均为 ，则（ ）
A． B．AB与平面 所成的角为
C． D． 与平面 所成的角为
8．（2019·浙江·高考真题）设三棱锥 的底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱
上的点（不含端点），记直线 与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为
，二面角 的平面角为 ，则
A． B．
C． D．
9．（2017·全国·高考真题）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三
角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，
CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，
△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥
体积(单位：cm3)的最大值为______．
题型全归纳【题型一】角度1：线线角
【讲题型】
例题1.．已知正三棱锥 的底面是边长为6的正三角形，其外接球球 的表面积为
，且点 到平面 的距离小于球 的半径， 为 的中点，则异面直线 与
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
例题2 如图，已知正三棱锥 ， ， ，点 ，
分别棱 ， 上（不包含端点），则直线 ， 所成的角的取值范围是______.
【讲技巧】
：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直
线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的
补角作为两条异面直线所成的角．
【练题型】
1..空间四面体 中， ， . ，直线 与 所成的角
为45°，则该四面体的体积为___
2.已知三棱锥 满足： ，二面角 为 ，且
M为棱 上一点， ，O为三棱锥 外接球的球心，则直线 与直线
夹角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．1
【题型二】角度2：线面角
【讲题型】
例题1..如图，在直三棱柱 中，已知 是边长为1的等边三角形， ，， 分别在侧面 和侧面 内运动（含边界），且满足直线 与平面
所成的角为30°，点 在平面 上的射影 在 内（含边界）．令直线 与平面
所成的角为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例题2..如图，在三棱锥 中， ， 分别为棱
的中点，记直线 与平面 所成角为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在
平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度 ，从而不必
作出线面角，则线面角 满足 （ 为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设 为直线 的方向向量， 为平面的法
向量，则线面角 的正弦值为 .
【练题型】
1..如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成的角为45°，顶点
B在平面α内的射影为O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦
值等于( )A． B．
C． D．
2..如图，在三棱锥 中， ，点 在平面 内，过 作 于 ，
当 与面 所成最大角的正弦值是 时， 与平面 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【题型三】角度3：二面角
【讲题型】
例题1.已知在正方体 中，点 为棱 的中点，直线 在平面A B C D 内．
1 1 1 1
若二面角 的平面角为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题2..已知正方体 的棱长为3， 为棱 上的靠近点 的三等分点，点
在侧面 上运动，当平面 与平面 和平面 所成的角相等时，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
计算二面角，常用方法
1. 向量法：二面角 的大小为 ( ),
2.定义法：在棱上任一点，分别在两个半平面内做棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角
3.垂面法：做与棱垂直的平面，交二面角两个半平面，两条交线所成的角即为二面角的平面角
【练题型】
1.已知点P是正方体 上底面 上的一个动点，记面ADP与面BCP
所成的锐二面角为 ，面ABP与面CDP所成的锐二面角为 ，若 ，则下列叙述正确
的是（ ）A． B．
C． D．
2.．三棱锥 中， ，△ 为等边三角形，二面角 的余弦值为
，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 .则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题型四】角度综合
【讲题型】
例题1..如图，斜三棱柱 中，底面 是正三角形， 分别是侧棱
上的点，且 ，设直线 与平面 所成的角分别为 ，
平面 与底面 所成的锐二面角为 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2..如图，将矩形纸片 折起一角落 得到 ，记二面角
的大小为 ，直线 ， 与平面 所成角分别为 ， ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【练题型】
1..已知正六棱锥 ， 是侧棱 上一点（不含端点），记直线 与直线
所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的平面角为 ，则
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，2..如图所示，平面 平面 ，二面角 ，已知 ， ，直线
与平面 ，平面 所成角均为 ，与 所成角为 ，若 ，则 的最
大值是（ ）
A． B．
C． D．
【题型五】体积1：体积比
【讲题型】
例题1.如图，在四棱锥 中，底面是边长为 的正方形，
， 为 的中点.过 作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记
上､下两部分的体积分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
例题2.．在三棱锥 中， ， ， ，记三棱锥
的体积为 ，其外接球的体积为 ，则 __
【练题型】
1.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中记载了“三角垛”．如图，某三角垛最
上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径相等，且相邻的球都外
切，记由球心A，B，C，D构成的四面体的体积为 ，记能将该三角垛完全放入的四面体
的体积为 ，则 的最大值为___________．2.如图，在四棱锥 中，底面是边长为 的正方形， ，
为 的中点.过 作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为
， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型六】体积2：不规则
【讲题型】
例题1.．如图所示五面体 的形状就是《九章算术》中所述“羡除”其中
，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a，
b，c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在
平行直线之间的距离n．已知 ，则此“羡除”的体积为
____________．
例题2.所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，这两个平行的面称为上下底
面，它们之间的距离称为拟柱体的高．生产实际中，我们经常看到黄沙、碎石、灰肥等堆
积成上下底面平行，且都是矩形的形状，这种近似于棱台的形体就是一种特殊的拟柱体
（如图所示），已知其高为h，上底面、下底面和中截面（经过高的中点且平行于底面的
截面）面积分别为 ， 和 ，请你用 ， ， ，h表示出这种拟柱体的体积V＝
______．
【练题型】
1..反棱柱（Antiprism）是由两个互相平行且边数相同的多边形作为底面和侧面的三角形所
组成的一个多面体.如图所示的是一个“正三角反棱柱”，上下底面都是边长为1的正三角
形，侧面的三角形都是腰长为 的等腰三角形，则其外接球的体积为______．2.如图， 是圆台的轴截面， ，过点 与 垂直的平面交
下底圆周于 两点，则四面体 的体积为__________．
【题型七】体积3：最值型
【讲题型】
例题1.如图，在棱长为 的正方体 中，若 绕 旋转一周，则在
旋转过程中，三棱锥 的体积的取值范围为______．
例题2..如图，在三棱锥 中，已知 ， ， ，
，则三棱锥 的体积的最大值是________.
【练题型】
1.．已知四面体 的四个顶点均在球 的表面上， 为球 的直径，
，四面体 的体积最大值为____
2..如图，正方体 的棱长为4，点P在正方形 的边界及其内部运动.平
面区域W由所有满足 的点P组成，则四面体 的体积的取值范围
_________.【题型八】体积4：翻折“包装”型
【讲题型】
例题1..如图，正方形 的中心为正方形 的中心， ，截去如图所示的
阴影部分后，翻折得到正四棱锥 （ ， ， ， 四点重合于点 ），则此四
棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例题2.在 中， ，点 分别在边 上移动，且
，沿 将 折起来得到棱锥 ，则该棱锥的体积的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
【练题型】
1.如图①，在Rt△ABC中， ， ，D，E分别为AC，AB的中点，将
△ADE沿DE折起到OA，DE的位置，使 ，如图②．若F是 的中点，点M在
线段 上运动，则当直线CM与平面DEF所成角最小时，四面体MFCE的体积是（ ）
A． B．
C． D．
2.．如图，在水平面上放置两个边长为 的正三角形 与 ，将 沿垂直于水平
面的方向向上平移至 ，得到多面体 ，已知各侧面（ ， ，
， ， 及 ）均为正三角形，则多面体 的外接球的体
积为__________．【题型九】体积5：祖暅定理型
【讲题型】
例题1.已知抛物线 ，以 轴为旋转轴将抛物线旋转半周，得到一个旋转抛
物面．设 轴绕 轴旋转所成的平面为 ． 为平行于平面 且到 的距离为 的平面，
记平面 与旋转抛物面所围成的几何体为 （如图），以 的上底面作一个高为 的圆柱
体（如图），利用祖暅原理可求得 的体积为______．
例题2.我国南北朝时期的数学家祖暅(杰出数学家祖冲之的儿子)，提出了计算体积的祖暅
原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面
的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线 ，直线 为曲线 在点 处
的切线.如图所示，阴影部分为曲线 ､直线 以及 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕
轴旋转一周所得的几何体为 .过 ( )作 的水平截面，所得截面面积
(用 表示)，试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出 体积为___________.
【练题型】
1.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求积的著名命题：“幂势既同，则
积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面
积相等，则体积相等.由曲线 围成的图形绕 轴旋转一周所得
旋转体的体积为 ，满足 的点 组成的图形
绕 轴旋转一周所得旋转体的体积为 ，则 满足以下哪个关系式（ ）
A． B． C． D．
2.．祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求积的著名命题：“幂势既同，
则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等
高处截面积相等，则体积相等.满足 的点 组成的图形绕 轴旋转一周所得旋
转体的体积为 ，由曲线 ， ， 围成的图形绕 轴旋转一周所得旋转
体的体积为 ，则 ､ 满足以下哪个关系式（ ）A． B． C． D．
【题型十】立体几何中的轨迹
【讲题型】
例题1.在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形， ，点
为正方形 内部的一点，且 ，则直线 与 所成角的余弦值的取值
范围为
A． B． C． D．
例题2.已知长方体 中， ， ， ， 为矩形A B C D
1 1 1 1
内一动点，设二面角 为 ，直线 与平面 所成的角为 ，若 ，则
三棱锥 体积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【练题型】
1..在矩形 中， 是 的中点， ，将 沿 折起得到 ，
设 的中点为 ，若将 绕 旋转 ，则在此过程中动点 形成的轨迹长度为
___________.
2.如图，AB是平面 的斜线段，A为斜足，点C满足 ，且在平面 内
运动，则有以下几个命题：
①当 时，点C的轨迹是抛物线；
②当 时，点C的轨迹是一条直线；
③当 时，点C的轨迹是圆；
④当 时，点C的轨迹是椭圆；
⑤当 时，点C的轨迹是双曲线.
其中正确的命题是__________.（将所有正确的命题序号填到横线上）一、单选题
1．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是
一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中 分别是上､下底面圆的圆心，
且 ，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（ ）
A． B． C． D．
2．在正方体 中，已知 ，点O在棱 上，且 ，则正方体表
面上到点O距离为5的点的轨迹的总长度为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 均在球 的球面上运动，且满足 ，若三棱锥 体积的最大
值为6，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知四棱柱 的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在
上且 ，则三棱锥 与三棱锥 的公共部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示是一块边长为10cm的正方形铝片，其中阴影部分由四个全等的等腰梯形和一
个正方形组成，将阴影部分裁剪下来，并将其拼接成一个无上盖的容器（铝片厚度不计），
则该容器的容积为（ ）A． B． C． D．
6．如图，已知圆柱 的轴截面 为矩形， ，P，Q分别为圆柱上、下底
面圆周上一点， ， ，则异面直线PQ与AB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不
能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，斜三棱柱 中，底面 是正三角形， 分别是侧棱
上的点，且 ，设直线 与平面 所成的角分别为 ，
平面 与底面 所成的锐二面角为 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．在正方体 中，点P满足 ，则（ ）A．对于任意的正实数 ，三棱锥 的体积始终不变
B．对于任意的正实数 ，都有 平面
C．存在正实数 ，使得异面直线 与 所成的角为
D．存在正实数 ，使得直线 与平面 所成的角为
10．在长方体 中，直线 与平面 、平面 所成的角均为
，则（ ）
A．
B．
C．直线 与平面 所成的角为
D．直线 与 所成的角为
11．如图，在正方体 中，以下结论正确的是（ ）
A． 平面 B． 平面
C．异面直线 与 所成的角为60° D．直线 与平面ABCD所成角的正弦值为
12．正四棱台 中， ，侧棱 与底面所成角为 分
别为 ， 的中点， 为线段 上一动点（包括端点），则下列说法正确的是
（ ）
A．该四棱台的体积为 B．三棱锥 的体积为定值C．平面 截该棱台所得截面为六边形 D．异面直线 与 所成角的余弦值为
三、填空题
13．如图，在棱长为2的正方体 中，E是侧面 内的一个动点，则三
棱锥 的体积为_________.
14．在棱长均相等的四面体ABCD中，P为棱AD（不含端点）上的动点，过点A的平面α
与平面PBC平行．若平面α与平面ABD，平面ACD的交线分别为m，n，则m，n所成角
的正弦值的最大值为__________．
15．在正四棱柱 中， 是 的中点， ， ，则 与平面
所成角的正弦值为__________
16．如图，在三棱锥 中，点 为 的中点，点 在平面 的投影恰为 的中
点.已知 ，点 到 的距离为 ，则当 最大时，二面角 的
余弦值是__________．
