文档内容
第4讲 函数的极值、最值（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】利用导数研究函数的极值..............................................................................................3
【考点二】利用导数研究函数的最值..............................................................................................4
【考点三】极值、最值的简单应用..................................................................................................5
【专题精练】.................................................................................................................................6
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，
难度中等偏上，属综合性问题．
真题自测
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
2．（2022·全国·高考真题）函数 在区间 的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·广东江苏·高考真题）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
4．（2024·全国·高考真题）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
5．（2023·全国·高考真题）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
6．（2023·全国·高考真题）若函数 既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
三、填空题
8．（2022·全国·高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和
极大值点．若 ，则a的取值范围是 ．
考点突破
【考点一】利用导数研究函数的极值
核心梳理：
判断函数的极值点，主要有两点
(1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点．
(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点．
一、单选题
1．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数 在区间 上的最大值为k，则函数 在
上（ ）
A．有极大值，无最小值 B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值 D．无极大值，无最大值
2．（2023·四川凉山·三模）已知函数 的导函数 ，若1不是函数 的极值
点，则实数a的值为（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A．－1 B．0 C．1 D．2
二、多选题
3．（22-23高三下·浙江·开学考试）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程
有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都
有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 的对称中心为
，则下列说法中正确的有（ ）
A． ，
B．函数 既有极大值又有极小值
C．函数 有三个零点
D．过 可以作三条直线与 图象相切
4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数 在 处取得极值，则（ ）
A．
B． 为定值
C．当 时， 有且仅有一个极大值
D．若 有两个极值点，则 是 的极小值点
三、填空题
5．（2023·云南红河·二模）若 是函数 的极小值点，则函数 在区间
上的最大值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司6．（2024·江苏·模拟预测）已知 有两个极值点，则实数 的取值范围为 ．
规律方法：
(1)不能忽略函数的定义域．
(2)f′(x)＝0是可导函数f(x)在x＝x 处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点，
0 0
所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x)＝0的实数根x 外，还需判断f(x)在x 左侧和右侧的单调性．
0 0
(3)函数的极小值不一定比极大值小．
【考点二】利用导数研究函数的最值
核心梳理：
1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
一、单选题
1．（2023·浙江·模拟预测）对函数 ( ， 且 )的极值和最值情况进
行判断，一定有（ ）
A．既有极大值，也有最大值 B．无极大值，但有最大值
C．既有极小值，也有最小值 D．无极小值，但有最小值
2．（2024·广东深圳·二模）设函数 ， ，若存在 ， ，使得 ，则
的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
二、多选题
3．（2023·重庆·模拟预测）已知函数 ， ，则（ ）
A． 与 的定义域不同， 与 的值域只有1个公共元素
B．在 与 的公共定义域内， 的单调性与 的单调性完全相反
C． 的极小值点恰好是 的极大值点， 的极大值点恰好是 的极小值点
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学科网（北京）股份有限公司D．函数 既无最小值也无最大值，函数 既有最小值也有最大值
4．（2024·广东广州·一模）已知直线 与曲线 相交于不同两点 ， ，曲线
在点 处的切线与在点 处的切线相交于点 ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2023·吉林·二模）若P，Q分别是抛物线 与圆 上的点，则 的最小值为
．
6．（2024·江苏·一模）已知 ， ，则 的最小值为 .
规律方法：
(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论．
(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，
画出函数图象，借助图象得到函数的最值．
【考点三】极值、最值的简单应用
一、单选题
1．（2023·湖南·模拟预测）已知函数 在 处取得极大值4，则 （ ）
A．8 B． C．2 D．
2．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）如图是y=f (x)的导函数f'(x)的图象，对于下列四个判断，其中正
确的判断是（ ）
A．当 时， 取得极大值 B． 在 上是增函数
C．当 时， 取得极大值 D． 在 上是增函数，在[2,4]上是减函数
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学科网（北京）股份有限公司二、多选题
3．（2023·海南·一模）已知函数 的图象关于直线 对称,则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 在 上单调递增
C． 的图象关于点 对称
D．若 ,且 在 上无极值点,则 的最小值为
4．（23-24高三上·河北保定·期末）已知 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知函数 ，若 恒成立，则
.
6．（2023·湖北武汉·二模）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数 和
图象上的动点，若对任意 ，有 恒成立，则实数m的最大值为 ．
规律方法：
方程、不等式恒成立，有解问题都可用分离参数法．分离参数时，等式或不等式两边符号变化以及除数不
能等于0，易忽视．
专题精练
一、单选题
1．（2023·河南·模拟预测）已知函数 ，则下列说法错误的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．当 时，函数 不存在极值点
B．当 时，函数 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心
D．若 是函数 的一条切线，则
2．（2022·四川·模拟预测）已知函数 在 上有零点，则m的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数 有极值 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．3
4．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知正数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
5．（2024·云南楚雄·一模）若 ，则函数 的图象可能是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
6．（2023·上海松江·二模）已知函数 ， ，在区间 上有最大值，则实数
t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）等差数列 中的 ， 是函数 的极值点，
则 （ ）
A． B． C．3 D．
8．（2023·云南保山·二模）若函数 与函数 的图象存在公切线，则实
数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023·山西·二模）已知 在 处取得极大值3，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知 ， ，则（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
11．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数 ，下列结论中正确的是（ ）
A．函数 在 时，取得极小值
B．对于 ， 恒成立
C．若 ，则
D．若对于 ，不等式 恒成立，则 的最大值为 ， 的最小值为
三、填空题
12．（2023·广东·二模）已知函数 的最小值为0，则a的值为 .
13．（2023·河南郑州·模拟预测）在等比数列 中， 是函数 的极值点，则
＝ ．
14．（22-23高三下·湖北武汉·期中）已知函数 ，若有且仅有两个整数
，满足 ，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题
15．（2024·浙江杭州·二模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点，
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）证明：函数 有且只有一个零点．
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学科网（北京）股份有限公司16．（2024·陕西榆林·一模）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
.
(1)求 ；
(2)证明： .
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