题本梳理-高中数学_教资初高中_教资面试2025教资面试备考资料合集_教资面试资料合集_3、教资面试资料包大全_36教资面试题本梳理_高中

目 录
高中数学 《算法的概念》.............................................................................1
高中数学 《圆的标准方程》.........................................................................5
高中数学 《集合的基本运算》.....................................................................9
高中数学 《余弦定理》...............................................................................14
高中数学 《古典概型》...............................................................................18
高中数学 《等差数列的通项公式》...........................................................22
高中数学 《等差数列的前n项和》...........................................................26
高中数学 《函数的单调性》.......................................................................30
高中数学 《正弦定理》...............................................................................34
高中数学 《直线的点斜式方程》...............................................................38
高中数学 《直线与平面所成角》...............................................................42
高中数学 《双曲线的标准方程》...............................................................47
高中数学 《点到直线的距离公式》...........................................................51
高中数学 《数列的概念》...........................................................................55
高中数学 《平面与平面的位置关系》.......................................................60
高中数学 《求函数定义域和函数值》.......................................................64
高中数学 《证明函数的单调性》...............................................................68
高中数学 《向量加法运算及其几何意义》...............................................72高中数学 《算法的概念》
（一）题本
中小学教师资格面试备课纸
准考证号：12345678901234 姓名： 所在考场：
考点：高中数学 抽题时间：XX年XX月XX日-
1.题目：算法的概念
2.内容：
3.基本要求：
（1）要有板书；
（2）试讲十分钟以内；
（3）条理清晰，重点突出；
（4）学生掌握简单的算法。
学员专用 请勿外泄 1（二）教案范例
算法的概念 教案
一、教学目标
【知识与技能】
了解算法的概念，并能用算法的思想解决一些简单的实际问题。
【过程与方法】
在经历算法概念的抽象过程中，提升抽象概括能力。
【情感态度价值观】
在经历用算法解决实际问题的过程中，体会数学与生活的联系。
二、教学重难点
【教学重点】
算法的概念及算法的应用
【教学难点】
算法概念的抽象过程
三、教学过程
（一）引入新课
创设情境导入，教师用计算机演示计算复杂多元方程的案例，例如用计算机演
ì312x-526y+713z=861
ïï
示í554x-314y+341z=755的计算。
ï
ïî318x+881y-427z=569
提出问题：思考计算机为什么可以在一秒不到的时间算出结果？那么计算机是
经过怎样的程序来进行的呢？
根据学生的回答，引导学生思考程序算法的优点，从而引出本节课的内容——
算法的概念。
（二）探索新知
师生活动1：创设情境，初步感知算法步骤
ìïx-2y=-1
引导学生回顾二元一次方程组的解法，并求解方程组í ，提示学生写
ïî2x+ y=1
出每一步的求解过程。
提问：如果改变方程中的数字，你有什么办法快速求出答案？
预设：用字母代替系数，将最后的结果公式化。
2 学员专用 请勿外泄自主探究一般的二元一次方程组的解法和解题步骤，出示问题：求解方程组
ìïa x+b y=c
í 1 1 1 ，其中ab -a b ¹ 0，请写出解题步骤。
ïîa x+b y=c 1 2 2 1
2 2 2
教师补充：上述步骤构成了解二元一次方程组的一个算法，我们可以进一步根
据这一算法编制计算机程序，让计算机来解二元一次方程组。
师生活动2：创设情境，再次感受算法步骤
出示问题情境1：如何判断7是否为质数？
预设：依次用2~6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是
质数。
提问：你能不能将具体步骤写出来？
出示问题情境2：如何判断35是否为质数？请再将步骤写出来。
将学生四个人分为一组讨论：如何判断一个数n是否是质数？
师生共同总结：对于任意的整数n(n>2)，若用i表示2~(n-1)中的任意整数，
则用
i
除n，得到余数r。判断余数r是否为0，若是，则n不是质数；否则，将
i
的
值增加1，再执行这样的操作。
师生活动3：算法概念的抽象概括
同桌之间相互讨论一下：上面几个案例都有什么样的共同特点？
提问1：上面的几个案例都是算法，你能不能说一下算法的目的和作用是什么？
提问2：你能不能总结一下算法的概念？
师生共同总结：在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确
和有限的步骤。
（三）课堂练习
练习：写出用“二分法”求方程 x2 -2=0 （ x>0 ）的近似解的算法？
（四）小结作业
提问：今天有什么收获？
引导学生回顾：算法的概念和算法的作用。
课后作业：现在我们手机或电脑用的很多软件就是一个一个程序，也是由算法
而获得的，回去之后查阅资料，看看你喜欢的软件是如何编程的。
四、板书设计
学员专用 请勿外泄 3算法的概念
问题情境1： 练习：
问题情境2：
算法的概念：
4 学员专用 请勿外泄高中数学 《圆的标准方程》
（一）题本
中小学教师资格面试备课纸
准考证号：12345678901234 姓名： 所在考场：
考点：高中数学 抽题时间：XX年XX月XX日-
1.题目：圆的标准方程
2.内容：
3.基本要求：
（1）体现出重难点；
（2）试讲十分钟以内；
（3）合理设计板书；
（4）能推导出圆的标准方程。
学员专用 请勿外泄 5（二）教案范例
圆的标准方程 教案
一、教学目标
【知识与技能】
会推导圆的标准方程，能根据条件写出圆的标准方程。
【过程与方法】
在探索推导圆的标准方程的过程中，进一步锻炼用代数方法研究几何问题的能
力，加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用。
【情感态度与价值观】
通过圆的标准方程的学习，培养逻辑思维能力，养成分析问题、解决问题的良
好解题习惯。
二、教学重难点
【教学重点】
圆的标准方程的推导，根据条件求得圆的标准方程。
【教学难点】
根据条件求得圆的标准方程。
三、教学过程
（一）导入新课
提问：平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直
线。大家想一想，在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
引出课题。
（二）生成新知
1．推导圆的标准方程。
提问：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？确定圆的几何要素有哪些？
预设：圆心，半径。
提问：类比直线的方程推导，怎样建立圆心和半径的关系，得到圆的方程？
学生活动：在平面直角坐标系中，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r （其中
a,b,r 都是常数，r0）。设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件
是P M MA r  ，由两点间的距离公式，点M 的坐标适合的条件可以表示为
xa2 yb2 r，两边平方得，xa2 yb2 r2。
6 学员专用 请勿外泄给出明确定义：xa2 yb2 r2就是圆心为A(a,b)，半径为r 的圆的方程，
我们把它叫做圆的标准方程。
2．深化理解圆的标准方程。
提问：圆的标准方程在形式上有什么特点？
预设：方程特征：（1）是一个二元二次方程，x2，y2的系数均为1；（2）含
有a，b，r三个参数；（3）圆心（a，b），半径为r。
提问：当圆心在原点时，圆的方程是什么？
预设：当圆心在原点时，圆的方程是x2  y2 r2。
（三）应用新知
例 1：写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于 5 的圆的方程，并判断点
M (5,7),M ( 5,1)是否在这个圆上。
1 2
“探究”：点M (x ,y )在圆x2  y2 r2内的条件是什么？在圆x2  y2 r2外
0 0 0
呢？
例2：三角形ABC的三个顶点坐标分别为A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），
求它的外接圆的方程。
（四）小结作业
小结：本节课我们学到了什么？
作业：例3，练习1。
四、板书设计
学员专用 请勿外泄 7圆的标准方程
1.圆的标准方程：xa2 yb2 r2
圆心在原点的圆的标准方程：x2  y2 r2
2.例1
3.例2
8 学员专用 请勿外泄高中数学 《集合的基本运算》
（一）题本
中小学教师资格面试备课纸
准考证号：12345678901234 姓名： 所在考场：
考点：高中数学 抽题时间：XX年XX月XX日-
1.题目：集合的基本运算
2.内容：
学员专用 请勿外泄 93.基本要求：
（1）要有板书；
（2）试讲十分钟以内；
（3）条理清晰，重点突出；
（4）学生掌握交集和并集的含义。
（二）教案范例
《集合的基本运算》教案
一、教学目标
【知识与技能】
理解并集和交集的概念，会用Venn图表示两个集合的运算，会求简单集合的交
集和并集。
【过程与方法】
通过观察、类比，借助Venn图理解集合的并与交，进一步体会类比的作用，渗
透数形结合的思想。
【情感态度价值观】
增强学习数学的信心，提高学习数学的兴趣。
二、教学重难点
【教学重点】
集合的并集、交集的概念。
【教学难点】
用语言、符号、Venn图表示集合的交集和并集。
三、教学过程
（一）引入新课
提出问题：回顾上节课如何研究集合间的基本关系的？
引导学生回忆、交流。
提出问题：通过类比实数的大于、小于和等于，我们研究了集合间的基本关系，
那么类比实数的加、减运算，集合有类似的“加减”运算么？
10 学员专用 请勿外泄（二）探索新知
1.并集
活动一：学生思考导入的问题，带着问题尝试着分析实例。（学生自主思考）
提问：考察下面各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？
（1）A=｛1，3，5｝，B=｛2，4，6｝，C=｛1，2，3，4，5，6｝。
（2）A=｛x|x是有理数｝，B=｛x|x是无理数｝，C=｛x|x是实数｝。
学生发现，在上述的两个问题中，集合A、B与集合C之间都具有这样一种关
系：集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的。
教师给出交集的概念：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成
的集合，称为集合A与B的并集，记作 AÈB （读作“A并B”）。
学生运用定义找在（1）（2）中的并集，集合A与B的并集是C，即 AÈ B=C 。
活动二：给出定义之后，让学生尝试着不同方法表示并集的结果：
用元素符号表示：A B { x x挝A，或x B }
用Venn图表示：
教师给出拓展并讲解：
活动三：知识点即学即用。
例4：设A=｛4，5，6，8｝，B=｛3，5，7，8｝，求A∪B。
例5：设集合A=｛x|-1<x<2｝，集合B=｛x|1<x<3｝，求A∪B。
引导学生在数轴上表示集合的并集运算：
并强调易错点：端点的选择（即空心和实心）。
2.交集
学员专用 请勿外泄 11集合的并是集合的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？
活动四：考察下面的问题，集合A、B与集合C之间有什么关系？
（1）A=｛2，4，6，8，10｝，B=｛3，5，8，12｝，C=｛8｝；
（2）A=｛x|x是新华中学2018年9月在校的女同学｝，B=｛x|x是新华中学2018
年9月入学的高一年级同学｝，C=｛x|x是新华中学2018年9月入学的高一年级女
同学｝。
预设：集合C是由那些即属于集合A又属于集合B的所有元素组成的。
教师给出交集的概念：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的
集合，称为A与B的交集，记作 AÇ B （读作“A交B”）。
总结，在上述问题中，集合A与B的交集是C，即 AÇ B=C 。
活动五：学生尝试用不同方法表示交集：
用元素符号表示：A B { x x挝A，且x B }
用Venn图表示：
教师给出拓展，并让学生自主下面图的表示：
图（1）表示集合A与集合B的公共部分就是A，即 AÇ B= A 。
图（2）表示集合A与集合B的公共部分不是空集，但不是A，也不是B，即A
∩BÍ
/
A且A∩BÍ
/
B；
图（3）表示集合A与集合B的公共部分是空集，即 AÇ B=Æ 。
活动六：并集与交集的对比。学生以讨论交流的形式进行，教师引导学生利用
表格进行对比。
活动七：知识点即学即用。学生自己先独立完成，展示学生结果，点拨总结。
例6：新华中学开运动会，设A=｛x|x是新华中学高一年级参加赛跑的同学｝，
B=｛x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学｝，求 AÇ B 。
例7：设平面内直线AB上点的集合为l ，直线CD上点的集合为l ，使用集合
1 2
12 学员专用 请勿外泄的运算表示直线AB和CD的位置关系。
（三）课堂练习
综合练习：已知A=｛x|x是等腰三角形｝，B=｛x|x是直角三角形｝，求 AÇ B 和
AÈB 。
（四）小结作业
提问：今天有什么收获？
引导学生回顾：交集、并集的运算，以及三种表示方法。
课后作业：1.已知A=｛2，4，6，8，10｝，B=｛1，3，5，7，12｝，求：A∪B
和 AÇ B 。
2.已知A=｛x|-2<x<4｝，集合B=｛x|0<x<6｝，求：A∪B和 AÇ B 。
四、板书设计
集合的基本运算
1、并集： 练习：
例4：
例5：
2、交集：
例6：
例7：
学员专用 请勿外泄 13高中数学 《余弦定理》
（一）题本
中小学教师资格面试备课纸
准考证号：12345678901234 姓名： 所在考场：
考点：高中数学 抽题时间：XX年XX月XX日-
1.题目：余弦定理
2.内容：
3.基本要求：
（1）让学生掌握余弦定理及其证明方法，并能够用余弦定理解决应用问题。
（2）教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节。
（3）要求配合教学内容有适当的板书设计。
（4）请在10分钟内完成试讲内容。
14 学员专用 请勿外泄（二）教案范例
余弦定理 教案
一、教学目标
【知识与技能】
掌握余弦定理的内容，会推证余弦定理，会应用余弦定理解三角形。
【过程与方法】
通过观察、比较来推证余弦定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想，提高
逻辑思维能力。
【情感态度价值观】
在自主探究的过程中获得成功的体验，培养良好的学习习惯和严谨的思维方式。
二、教学重难点
【教学重点】
余弦定理的内容和推证过程。
【教学难点】
向量法证明余弦定理。
三、教学过程
（一）引入新课
复习：正弦定理的内容和能用正弦定理解决哪些类型的问题。
教师引导：如果已知三角形的两条边及其夹角，根据三角形的判定方法，这个
三角形是大小、形状完全确定的三角形，我们仍然从量化的角度来研究这个问题，
也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角来计算三角形的另一边和另外两个角的
问题。
提问：如何计算出三角形第三边的长？
发现不能使用正弦定理来求解，回顾：在DABC 中，当ÐC=90 时，有 c2 =a2+b2。
引题：若a,b的长度大小保持不变，变换ÐC 的大小时， c2与 a2+b2有什么大小
关系呢？
（二）探索新知
教师组织学生就上面提出的问题，独立思考，自主探索，组间分类讨论当ÐC 是
锐角和钝角的情况。
当ÐC 是锐角：
作 BD^ AC ，垂足为 D 。
学员专用 请勿外泄 15在 RtDABD 中， AB2 = AD2+BD2；
在 RtDBDC 中， BD=BC×sinC=a×sinC ， CD=BC×cosC=a×cosC ，
所以 AB2 = AD2+BD2化为 c2 =(b-acosC)2+(asinC)2，
展开可得 c2 =b2-2abcosC+a2(cosC)2+a2(sinC)2，
从而可得 c2 =b2 -2abcosC+a2。
当ÐC 是钝角：
延长 AC ，过点 B 作 BD^ AC ，交 AC 的延长线于点 D 。
在 RtDBDC 中，ÐBDC =p-C ，
BD=BC×sin(p-C)=a×sinC ，CD=BC×cos(p-C)=-a×cosC ，
所以 AB2 = AD2+BD2 =(AC+CD)2+BD2
化为 c2 =(b-acosC)2+(asinC)2，
展开可得 c2 =b2-2abcosC+a2(cosC)2+a2(sinC)2，
从而可得 c2 =b2 -2abcosC+a2。
同理证明： a2 =b2+c2 -2bccosA ， b2 =a2+c2 -2accosB 。
教师揭示余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这
两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
鼓励学生用其他方法进行推证，适时引导可以使用向量的数量积或采用解析几
何中两点间距离公式来给出推导过程。在课堂上着重讲解向量的数量积的推证方法。
        
学生自主探索，得出若设 ， ， ，那么 ，
CB=a CA=b AB=c c=a-b
            
c 2 =c×c=(a-b)×(a-b)=a×a+b×b-2a×b=a2+b2-2abcosC ，
即 c2 =a2+b2 -2abcosC ，
同理证明： a2 =b2+c2 -2bccosA ， b2 =a2+c2 -2accosB 。
这时引导学生回到课文开始的第二个问题：从已知的两边和它们的夹角来计算
另外两个角的问题。学生自然地通过将余弦定理变形就可以得出推论：
b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2
cosA= ， cosB= ， cosC=
2bc 2ac 2ab
（三）课堂练习
自主学习思考用解析几何中两点之间的距离公式给出余弦定理的证明。
（四）小结作业
16 学员专用 请勿外泄提问：本节课你学会了什么？引导学生回顾：余弦定理及其证明。
课后作业：预习下一部分内容。
四、板书设计
余弦定理
余弦定理：
证明：
余弦定理的推论：
学员专用 请勿外泄 17高中数学 《古典概型》
（一）题本
中小学教师资格面试备课纸
准考证号：12345678901234 姓名： 所在考场：
考点：高中数学 抽题时间：XX年XX月XX日-
1.题目：古典概型
2.内容：
3.基本要求：
（1）要有板书；
（2）请在10分钟内完成试讲内容；
（3）学生会辨识古典概型并求其概率。
18 学员专用 请勿外泄（二）教案范例
《古典概型》教案
一、教学目标
【知识与技能】
会判断古典概型，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数和试验中基
本事件的总数；能够利用概率公式求解一些简单的古典概型的概率。
【过程与方法】
通过从实际问题中抽象出数学模型的过程，提升从具体到抽象从特殊到一般的
分析问题的能力。
【情感态度与价值观】
增加学生合作学习交流的机会，在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重
要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。
二、教学重难点
【教学重点】
古典概型的概念以及概率公式。
【教学难点】
如何判断一个试验是否是古典概型；分清在一个古典概型中某随机事件包含的
基本事件的个数和试验中基本事件的总数。
三、教学过程
（一）复习导入
同学们，我们刚刚学习了基本事件的概念，那么什么是基本事件？基本事件又
有什么特点呢？有没有人能举一个例子呢？
例1．列举出下列几个随机事件中的基本事件。
1．从a，b，c，d中任取两个不同的字母的试验。
2．有五根细长的木棒，长度分别为1，3，5，7，9，任取三根。
3．掷两枚硬币，可能出现的结果。
（二）生成新知
1.生成概念
提问：这三个例子有什么共同点？
通过学生自主探究，合作交流，师生共同归纳总结共同点，引出古典概型概念：
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）
学员专用 请勿外泄 19（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。
2.概率公式
引导学生思考分析，从a，b，c，d，中任取两个不同的字母的试验，字母a被
选中的基本事件是什么？那字母a被选中的概率是多少？
字母a被选中的所有基本事件为（a，b）、（a，c）、（a，d）。
又P(a,b)P(a,c)P(a,d)P(b,c)P(b,d)P(c,d)1 ，
且P(a,b)P(a,c)P(a,d)P(b,c)P(b,d)P(c,d) ，
1
利用概率的加法公式有，PP(a,b)P(a,c)P(a,d) ，
2
1
所以可能性为 。
2
大家思考一下古典概型中，随机事件发生的概率计算公式是什么？
A包含的基本事件个数
P(A)=
基本事件总数
（三）巩固练习
1.判断下列试验是否为古典概型？为什么？
（1）射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个，命中10环，
命中9环，…，命中1环和命中0环（即不命中）。
（2）有红心1，2，3和黑桃4，5共5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现
从中任意抽取一张。
（3）向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆面内任意一点都是等可能
的。
2.有五根细长的木棒，长度分别为1，3，5，7，9，任取三根，可以组合成三角
形的概率。
（四）小节作业
以提问的方式，先由学生反思学习内容并回答，教师再作补充完善。
1．古典概型的特点是什么？
2．古典概型的计算公式是什么？
课后练习：
1．掷两次骰子，求出现点数之和为奇数的概率。
2．思考“向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆面内任意一点都是等
20 学员专用 请勿外泄可能的。”这类随机事件是什么概型呢？要怎样求概率呢？
四、板书设计
古典概型
古典概型：
（1）试验中所有可能出现的基本 例1.
事件只有有限个；（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性 练习：
相等。（等可能性）
概率公式：
A包含的基本事件个数
 
P A =
基本事件总数
学员专用 请勿外泄 21高中数学 《等差数列的通项公式》
（一）题本
中小学教师资格面试备课纸
准考证号：12345678901234 姓名： 所在考场：
考点：高中数学 抽题时间：XX年XX月XX日-
1．题目：等差数列的通项公式
2．内容：
3．基本要求：
（1）能推导出等差数列的通项公式；
（2）教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节；
（3）有适当板书；
（4）请在10分钟内完成试讲内容。
22 学员专用 请勿外泄（二）教案范例
等差数列的通项公式 教案
一、教学目标
【知识与技能】
探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单问题。
【过程与方法】
经历观察、推导、归纳等差数列的通项公式和应用公式的过程，提高知识方法
的迁移能力。
【情感态度与价值观】
在主动参与数学活动的过程中，激发数学学习的积极性和好奇心。
二、教学重难点
【教学重点】
等差数列的通项公式。
【教学难点】
推导通项公式的数学思想方法。
三、教学过程
（一）导入新课
复习回顾等差数列的定义：一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等
于同一常数。
教师重点强调“从第二项起”。
引题：之前我们了解过，能否确定数列的通项公式对于研究这个数列有重要的
意义。那么等差数列的通项公式存在吗？如果存在，又如何表示呢？这节课我们一
起探究一下这个问题。
板书课题：等差数列的通项公式。
（二）探究新知
提问：设等差数列a 的首项是a ，公差是d，如何用关系式表示等差数列的
n 1
定义？
预设：a －a =d，a －a =d，a －a =d，…
2 1 3 2 4 3
教师引导：前两个式子可变形为a =a +d，a =a +d=a +2d。
2 1 3 2 1
学员专用 请勿外泄 23学生活动：按照同样的方式继续写下去，观察这些式子的共同点，想一想如何
表示a 。
n
预设：a =a +(n－1)d。
n 1
提问：以上为不完全归纳法导出公式，能不能严格的证明等差数列通项公式呢？
学生活动：前后桌四人为一小组，讨论如何证明等差数列通项公式。限时五分
钟。
教师提示：可以应用等式的性质。
证明：a －a =d
2 1
a －a =d
3 2
a －a =d
4 3
……
a –a =d
n n1
将这n－1个等式左右两边分别相加，就可以得到a －a =(n－1)d，所
n 1
以a =a +(n－1)d。
n 1
师生共同总结等差数列的通项公式：a =a +(n－1)d。
n 1
教师强调通项公式中各字母的含义，并结合数轴解释通项公式中(n－1)倍的公
差。
（三）巩固提高
1．求等差数列8，5，2，…的第20项；
2．－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
（四）小结作业
小结：通过本节课的学习，你学到了哪些知识？等差数列的通项公式是如何推
导的？
作业：已知数列a 的通项公式为a =pnq，其中 p，q为常数，那么这个
n n
数列一定是等差数列吗？
四、板书设计
等差数列的通项公式
a =a +d 证明：a －a =d 练习：
2 1 2 1
24 学员专用 请勿外泄a =a +d=a +2d a －a =d
3 2 1 3 2
a =a +d=a +3d a －a =d
4 3 1 4 3
…… ……
a =a =d =a +(n－ a –a =d
n n1 1 n n1
1)d 相加
a =a +(n－1)d
n 1
学员专用 请勿外泄 25高中数学 《等差数列的前 n 项和》
（一）题本
中小学教师资格面试备课纸
准考证号：12345678901234 姓名： 所在考场：
考点：高中数学 抽题时间：XX年XX月XX日-
1.题目：等差数列前n项和
2.内容：
26 学员专用 请勿外泄3.基本要求：
（1）请在10分钟内完成试讲内容；
（2）要有板书设计；
（3）利用情景案例导入课堂；
（4）学生能够掌握等差数列前n项和的推导过程。
（二）教案范例
等差数列前 n 项和 教案
一、教学目标
【知识与技能】
理解等差数列前n项和公式的推导方法，并能学会用公式解决问题。
【过程与方法】
经历观察、思考、计算等探究等差数列前n项和的过程，体会“特殊到一般”
的数学思想方法在解题中的巧妙应用。
【情感态度价值观】
感受数学与生活的联系，激发学习兴趣，并在学习活动中获得积极的、成功的
情感体验。
二、教学重难点
【教学重点】
理解等差数列前n项和公式，并学会用公式解决问题。
【教学难点】
等差数列前n项和公式的推导过程。
三、教学过程
（一）引入新课
学员专用 请勿外泄 27设置情境：如果让大家计算1+2+3+……+100大家会如何计算？
提出高斯的数学史小故事，引出课题。
（二）探索新知
自主探究：学生1：逐项相加；
学生2：观察特点，发现：1+100=101，2+99=101，…，50+51=101，于是所求
和为101505050；
教师肯定学生的回答，并给出高斯的计算过程：
(1100)(299)...(5051)101505050 。
追问：高斯方法的特点是什么？其计算的本质是什么？
学生观察分析得出结论：高斯算法的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项
与末项的和。偶数个相加时，首尾相对，将不同数的加法运算转化成相同数的乘法
运算，简化了计算过程。
提问2：高斯算法能否推广到一般的等差数列？
学生活动：组织学生自主探究，小组分享交流，并板书结论。
对于公差为d的等差数列，我们用两种方式表示S ；
n
S a (a d)(a 2d)... a (n1)d ，①
n 1 1 1 1
S a (a d)(a 2d)... a (n1)d ，②
n n n n n
由①＋②，得
2S (a a )(a a )(a a )...(a a )n(a a )，
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n
由此得到等差数列a 的前n项和的公式为
n
n(a a )
S  1 n 。
n 2
提问3：如果将等差数列的通项公式a a (n1)d 代入，你发现了什么？
n 1
n(n1)
学生分析得出：S na  d ，于是S 也可以由首项a 和公差d表示。
n 1 2 n 1
提问4：比较这两个公式，说说它们分别从哪些角度反映了等差数列的性质？
要求学生自主观察，并尝试分析，最终师生共同总结得出：前者反映了等差数
列的任意的第 项与倒数第 项的和等于首项与末项的和的内在本质。后者反映了
k k
等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的二次函数。两
者从不同角度反映了等差数列的性质。
（三）课堂练习
28 学员专用 请勿外泄求出1+3+5+7+……的前50项和。
（四）小结作业
提问：今天有什么收获？
n(n1) n(a a )
等差数列的前n项和公式：S na  d  1 n 。计算过程中渗透
n 1 2 2
了从特殊到一般的数学思想方法。
课后作业：课后练习。
四、板书设计
等差数列前n项和
对于公差为d的等差数列，我们用两种方式表示S ；
n
S a (a d)(a 2d)... a (n1)d ，①
n 1 1 1 1
S a (a d)(a 2d)... a (n1)d ，②
n n n n n
由①＋②，得
2S (a a )(a a )(a a )...(a a )n(a a )，
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n
由此得到等差数列a 的前n项和的公式为
n
n(a a ) n(n1)
S  1 n 或S na  d
n 2 n 1 2
学员专用 请勿外泄 29高中数学 《函数的单调性》
（一）题本
中小学教师资格面试备课纸
准考证号：12345678901234 姓名： 所在考场：
考点：高中数学 抽题时间：XX年XX月XX
1.题目：函数的单调性
2.内容：
3.基本要求：
（1）请在10分钟内完成试讲内容；
（2）要有板书设计；
（3）学生能够理解函数的单调性。
30 学员专用 请勿外泄（二）教案范例
函数的单调性 教案
一、教学目标
【知识与技能】
从形与数两方面理解函数单调性的概念，会利用函数图象和定义判断、
证明函数的单调性。
【过程与方法】
通过学习函数图象的变化趋势和数形结合思想，初步体会函数单调性和
图象之间的关系。
【情感态度与价值观】
感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，养成良
好的数学学习习惯。
二、教学重难点
【教学重点】
函数单调性的概念、判断。
【教学难点】
根据定义证明函数的单调性。
三、教学过程
（一）引入新课
回忆学生从楼下走到了教室，如果把每一个楼梯的台阶都标上数字1、
2、3．．．，我们一起来描述一下从楼下走到教室这一过程中，同学们的位
置变化。
总结：随着楼梯台阶标号的增大，我们所处的位置在不断地上升，反之，
我们下楼时，我们的位置显然是在下降的。
问题：函数是不是也有这样的性质吗？
引出课题：函数的单调性。
（二）生成新知
出示例题1：研究一次函数 f(x) x和二次函数 f(x)x2的单调性。
学员专用 请勿外泄 31观察上图，回答下面的问题。
1．根据图象，请同学们写出你对这两个函数单调性的描述？
2．思考，如何利用函数解析式 f(x)x2来描述函数随着自变量x值的
变化，函数值 f(x)的变化情况？
预设：在(,0]上，随着自变量x值的增大，函数值 f(x)逐渐减小；
在(0,)上，随着自变量x值的增大，函数值 f(x)逐渐增大。
3．如果给出函数 y f(x）,xI，你能用准确的数学符号语言表述出
函数单调性的定义吗？
学生独立思考，尝试练习、解答，初步形成自己的解决方案。教师巡视，
了解学生的学习情况，并及时指导；完成的同学，同学之间交流一下自己的
解决问题的方法。
师生共同总结：一般地，设函数 f(x)的定义域为I 。
①如果对于定义域上某个区间D上的任意两个自变量的值x,x ，当
1 2
x x 时，都有 f(x ) f(x )，那么就说函数y f(x)在区间D上是增函数。
1 2 1 2
②如果对于定义域上某个区间D上的任意两个自变量的值x,x ，当
1 2
x x 时，都有 f(x ) f(x )，那么就说函数y f(x)在区间D上是减函数。
1 2 1 2
（三）应用新知
下图是定义在区间[5,5]上的函数 f(x)，根据图象说出函数的单调区
间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
32 学员专用 请勿外泄（四）小结作业
小结：通过这节课的学习，你有什么收获？你对今天的学习还有什么疑
问吗？
作业：写出三个函数的解析式，说一说它的单调区间以及它的单调性。
四、板书设计
函数的单调性
函数单调性的概念： 练习：
学员专用 请勿外泄 33高中数学 《正弦定理》
（一）题本
中小学教师资格面试备课纸
准考证号：12345678901234 姓名： 所在考场：
考点：高中数学 抽题时间：XX年XX月XX日-
1．题目：正弦定理
2．内容：
34 学员专用 请勿外泄3．基本要求：
（1）学生理解正弦定理的推导过程，明白什么是解三角形；
（2）教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节；
（3）要求配合教学内容有适当的板书设计；
（4）请在10分钟内完成试讲内容。
（二）教案范例
正弦定理 教案
一、教学目标
【知识与技能】
掌握正弦定理的内容，并能解决简单的三角度量问题。
【过程与方法】
通过观察、猜想、证明、应用的过程，渗透从特殊到一般的数学思想，提高归
纳推理能力。
【情感态度价值观】
在自主探究的过程中获得成功的体验，培养数学的应用意识和应用能力。
二、教学重难点
【教学重点】
正弦定理的探究发现及简单应用。
【教学难点】
正弦定理的发现和探究。
三、教学过程
（一）导入新课
设疑导入：（1）在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事，明月高悬，我们仰望星
空，会有无限遐想，不禁会问，月亮离我们地球有多远？如何用数学的方法测量呢？
（2）设A，B两点在河的两岸，只提供米尺和量角设备，不过河你可以测出它
们之间的距离吗？
引题：要解决上面的问题，需要更深入地学习三角形的边角关系。学习今天的
新课之后，相信同学们会有答案。板书课题。
（二）探索新知
教师引导：在 ABC中，如果已知A所对的边BC长为a，B所对的边AC 长
△
学员专用 请勿外泄 35为b，C所对的边AB长为c，那么A，B，C，a，b，c之间有怎样的数
量关系？我们先从特殊的直角三角形入手。
提问：假设在Rt△ABC中，∠C=90°，c是斜边。我们学过哪些与直角三角形
边长之间的数量关系相关的知识？
预设1：勾股定理；
预设2：锐角三角函数。
学生活动：写出Rt△ABC两个锐角的三角函数，通过变形寻找其中的等量关系。
同桌之间可合作。
a b a b
预设：由sinA ，sinB 反解出c可得  c。
c c sinA sinB
追问：∠C的正弦值等于什么？能否将最右边的c写成与前两者类似的形式？
c a b c
预设：sinC 1， c，从而有   。
sinC sinA sinB sinC
教师引导：我们在直角三角形中得到了一个很完美的关系式。上式是否对于任
意三角形均成立呢？接下来先看看锐角三角形。
a b c
学生活动：同桌两人一组，合作探究锐角三角形是否具有   的
sinA sinB sinC
关系。
教师提示：在直角三角形中我们找的中间变量是直角三角形的斜边，那么，此
时我们应该找一个什么样的中间变量呢？什么量可以将三角形的边与正弦值联系起
来呢？
预设：过三角形顶点C 作底边AB的高CD，则CDasinBbsinA，变形可得
a b b c a b c
 ，同理可得  ，所以   仍然成立。
sinA sinB sinB sinC sinA sinB sinC
a b c
学生活动：用类似的方法探究   在钝角三角形中是否成立。
sinA sinB sinC
师生共同总结定理的数学语言与文字语言，教师明确定理的名称——正弦定理。
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a b c
  。
sinA sinB sinC
教师强调：正弦定理证明过程中所蕴含的思想有分类讨论的数学思想和转化的
数学思想以及等高的数学方法。正弦定理指出了任意角中三条边与对应角的正弦之
间的关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三
36 学员专用 请勿外泄角形中边和角的一种数量关系。
教师讲解：一般地，把三角形的三个角A，B，C 和它们的对边a，b，c叫
做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
思考：利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？
预设：①已知两角及一边，可以求出其他元素；②已知两边及一边所对的角，
可以求出其他元素。
（三）课堂练习
例1：在ABC中，已知A30°，B135°，a2，解三角形。若将a2
改成c2，结果如何？
例2：已知a16，b16 3 ，A30°，解三角形。
（四）小结作业
提问：通过本节课你学到了什么？
引导学生回顾：正弦定理的内容及证明方法。
课后作业：思考如何应用正弦定理测量地月距离以及河的宽度。
四、板书设计
正弦定理
正弦定理： 练习：
a b c
 
sinA sinB sinC
证明：
解三角形：
学员专用 请勿外泄 37高中数学 《直线的点斜式方程》
（一）题本
中小学教师资格面试备课纸
准考证号：12345678901234 姓名： 所在考场：
考点：高中数学 抽题时间：XX年XX月XX日-
1.题目：直线的点斜式方程
2.内容：
3.基本要求：
（1）会求直线的点斜式方程，知道其适用范围。
（2）请在10分钟内完成试讲内容；
（3）合理设计板书。
38 学员专用 请勿外泄（二）教案范例
《直线的点斜式方程》教案
一、教学目标
【知识与技能】
掌握直线的点斜式方程以及适用范围，会用直线的点斜式方程解决问题。
【过程与方法】
通过直线点斜式方程的推导过程，提高分析、推理的能力，渗透数形结合的数
学思想。
【情感态度价值观】
形成严谨的科学态度和求简的数学精神。
二、教学重难点
【教学重点】
直线的点斜式方程。
【教学难点】
直线点斜式方程的适用范围。
三、教学过程
（一）引入新课
回顾：在平面直角坐标系内确定一条直线需要哪些几何要素；在平面直角坐标
系中，如何能够确定唯一的一条直线。
过渡：能否利用给定的条件（直线斜率和直线上任一点坐标或直线上两点坐标）
确定直线的方程呢？
引出课题《直线的点斜式方程》。
（二）探索新知
1.点斜式方程的推导
提问：如图，直线 l 经过点P ( x，y )，且斜率为 k ，设点P ( x，y )是直线 l 上
0 0 0
不同于点P 的任意一点。你可以得到什么关系式吗？
0
学员专用 请勿外泄 39y- y
预设：当x¹ x 时，k = 0 ①，即y- y =k ( x-x )（1）。
0 x-x 0 0
0
提问：公式①和（1）能否表示直线上面的所有点。
预设：①不满足，（1）满足。公式①不包含点P ( x，y )。
0 0 0
思考：过点P ( x，y )且斜率为 k 的直线 l 上的每一点都满足方程（1）吗？坐
0 0 0
标满足方程（1）的每一点都在过点P ( x，y )，且斜率为 k 的直线 l 上吗？
0 0 0
组织学生小组讨论探究，教师巡视指导。
师生总结：通过公式的推导过程，能够发现过点P ( x，y )且斜率为 k 的直线 l
0 0 0
上的每一点都满足方程（1）。
代入任意一点满足方程（1）的坐标，点P ( x，y )的坐标x，y 满足方程（1），
1 1 1 1 1
即y- y =k ( x-x )。若x =x ，则y =y ，说明P与P 重合，于是可得点P在直线 l
0 0 1 0 1 0 1 0 1
y - y
上；若x ¹ x ，则k = 1 0 ，这说明过点P和P 的直线斜率为 k ，也是可得点P在
1 0 x -x 1 0 1
1 0
过点P ( x，y )，斜率为 k 的直线 l 上。
0 0 0
方程（1）恰为过点P ( x，y )，斜率为 k 的直线 l 上的任一点的坐标所满足的
0 0 0
关系式。
点斜式方程的概念：方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，我们把（1）叫
做直线的点斜式方程，简称点斜式。
2.点斜式方程的适用范围
思考：直线的点斜式方程是否能够表示平面直角坐标系中的所有直线呢？组织
学生小组讨论，并说明理由。提示注意斜率的特殊情况。
师生总结：当直线垂直于x轴时，斜率不存在，所以不能够用点斜式方程，但
是通过画图的观察能够得到直线方程为x=x ；
0
当直线平行于x轴时，斜率存在且为0，适用直线的点斜式方程，通过画图的观
察或者直接利用公式，都可以得到直线方程为 y= y 。
0
（三）课堂练习
例1：直线
l
经过点P (-2，3 )，且倾斜角a=45°，求直线
l
的点斜式方程，并画
0
出直线 。
l
（四）小结作业
小结：学生谈收获，强调公式的形式和适用条件。
40 学员专用 请勿外泄作业：教材练习1。
四、板书设计
直线的点斜式方程
y- y
当x¹ x 时，k = 0 ①，即 y- y =k ( x-x )（1） 例1：
0 x-x 0 0
0
概念：方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，我们把
（1）叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。
当直线垂直于x轴时，斜率不存在，直线方程为x=x ；
0
当直线平行于x轴时，斜率存在且为0，直线方程为 y= y 。
0
学员专用 请勿外泄 41高中数学 《直线与平面所成角》
（一）题本
中小学教师资格面试备课纸
准考证号：12345678901234 姓名： 所在考场：
考点：高中数学 抽题时间：XX年XX月XX日-
1．题目：直线与平面所成角
2．内容：
3．基本要求：
（1）如果教学期间需要其他辅助教学工具，进行演示即可。
（2）让学生理解直线与平面所成角，掌握直线与平面所成角的求法。
42 学员专用 请勿外泄（3）教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节，突出学生的学习主体
地位。
（4）要求配合教学内容有适当的板书设计。
（5）请在10分钟内完成试讲内容。
（二）教案范例
直线与平面所成角 教案
一、教学目标
【知识与技能】
理解直线与平面所成角的概念，知道其取值范围，能准确找到直线与平面所成
的角，会求直线与平面所成角的大小。
【过程与方法】
通过画图、证明等数学活动，体会直线与平面所成角的取值范围，提高分析问
题、解决问题的能力。
【情感态度与价值观】
在主动参与数学活动的过程中，感受空间几何的魅力，提升空间观念。
二、教学重难点
【教学重点】
直线与平面所成角的概念。
【教学难点】
找出直线与平面所成的角。
三、教学过程
（一）导入新课
复习提问：直线与平面的位置关系有哪些？
预设：平行，相交，线在面内。
引题：相交时，直线与平面会形成一定的角度。怎样找到这个角，角的度数又
如何求解呢？本节课我们就来学习这个问题。
板书课题《直线与平面所成角》。
（二）探索新知
教师引导：一个角由两条边组成。对于直线与平面所成角，该直线一定是角的
一条边，关键在于如何在平面内找到所成角的另一条边。
学员专用 请勿外泄 43多媒体出示图片，教师讲解概念：
如图，一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫这
个平面的斜线，斜线和这个平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平
面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。平面
的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与平面所成的角。
提问：根据定义，直线PA与平面所成的角是哪个角？
预设：∠PAO。
过渡提问：现在我们知道斜交时直线与平面所成角的定义了，除了斜交还有哪
些特殊的位置关系？
预设：垂直，平行，线在面内。
提问：当直线PA垂直于平面时，直线与平面所成角是哪个角？
预设：此时斜足A与垂足O重合，找不到角。
追问：那么垂线与平面所成角度多大呢？同学们根据学过的知识大胆猜想一下。
预设：90°。
教师明确：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°。
提问：当直线PA和平面平行，或在平面内时，直线与平面所成角是哪个
角？
预设：同样无法根据定义找到角。
追问：想一想，此时直线与平面所成的夹角应该是多少？
预设：0°。
教师明确：一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的
角。
提问：直线与平面所成角的取值范围是多少？
预设：090。
过渡：接下来通过一道例题看看如何求线面夹角的大小。
多媒体出示题目：
44 学员专用 请勿外泄在正方体ABCD-AB CD 中，求直线AB与平面AB CD 所成的角。
1 1 1 1 1 1 1 1 1
教师引导：找线面夹角的关键是在平面内找什么？
预设：直线在平面内的射影。
教师引导：什么是射影，如何寻找射影？
预设：射影是斜足和垂足的连线，要过直线上斜足之外的点向平面做垂线来确
定垂足。
学生活动：过直线AB上A之外的点找平面AB CD 的垂线，进而找出线面夹
1 1 1 1 1 1
角。
预设：连接BC 交B C 于点O，连接AO。
1 1 1
因为AB BC ，AB BB，所以AB 平面BBCC，所以AB BC 。
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又因为BC BC，所以BC 平面ABCD。
1 1 1 1 1
所以AO为斜线AB在平面ABCD内的射影，BAO为AB与平面ABCD所
1 1 1 1 1 1 1 1
成的角。
学生活动：根据几何关系，计算线面夹角的大小。
2
预设：设正方体的棱长为a，在RtABO中， AB 2a，BO a ，所以
1 1 2
1
BO AB，BAO30。因此，直线AB与平面AB CD 所成的角为30°。
2 1 1 1 1 1 1 1
师生共同总结：求线面夹角，先做垂线、找射影，找到线面夹角。然后将线面
夹角放在直角三角形中求解。
（三）巩固提高
多媒体出示习题：如图，在直三棱柱 ABC ABC 中， ACB90 ，
1 1 1
AC BC  2,AA 2，M是棱CC 的中点。求直线AM与平面AABB所成角的正
1 1 1 1
学员专用 请勿外泄 45弦值。
（四）小结作业
小结：通过这节课的学习，你有什么收获？你对今天的学习还有什么疑问吗？
课后作业：想一想，如果两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定
平行吗？
四、板书设计
直线与平面所成角
定义 例： 练习：
斜线：
斜足：
射影：
直线与平面所成角：
线面夹角范围：
090
46 学员专用 请勿外泄高中数学 《双曲线的标准方程》
（一）题本
中小学教师资格面试备课纸
准考证号：12345678901234 姓名： 所在考场：
考点：高中数学 抽题时间：XX年XX月XX日-
1.题目：双曲线的标准方程
2.内容：
学员专用 请勿外泄 473.基本要求：
（1）要有板书；
（2）设置提问环节；
（3）请在10分钟内完成试讲内容；
（4）能推导出双曲线的标准方程。
（二）教案范例
双曲线的标准方程 教案
一、教学目标
【知识与技能】
掌握双曲线方程以及推导过程，并能够独立进行推导。
【过程与方法】
通过与椭圆的对比去探索双曲线标准方程的推导，加深对数形结合思想及事物类比
的研究方法的认识。
【情感态度与价值观】
通过交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学氛围。
二、教学重难点
【教学重点】
双曲线的标准方程以及推导过程。
【教学难点】
双曲线的标准方程的推导。
三、教学过程
（一）引入新课
复习双曲线的相关概念：
平面内与两个定点F、F 的距离的差的绝对值等于常数2a（小于 FF ）的点的轨
1 2 1 2
迹叫做双曲线。
（1）定点F、F ——焦点；
1 2
（2）距离 FF 2c ——焦距。
1 2
（二）讲解新知
双曲线标准方程的推导
48 学员专用 请勿外泄讲解：建系设点F、F 所在直线为x轴，它们的中点为坐标原点，建立直角坐标系。
1 2
设点M（x，y）是双曲线上任一点，F(c，0)，F (c，0)。
1 2
提问：请写出轨迹上动点M的适合条件。
预设：由定义可知M点满足 MF  MF  2a 。
1 2
组织学生列出方程，并总结双曲线的标准方程是什么。
(xc)2  y2  (xc)2  y2 2a ，
化简方程，移项得： (xc)2  y2 2a (xc)2  y2 ，
两边平方得：( (xc)2  y2)2 (2a (xc)2  y2)2，
整理得：cxa2 a (xc)2  y2 ，
即(c2 a2)x2 a2y2  a2(c2 a2)。
引导：a 和c之间存在什么大小关系？你能类比椭圆中a 、b和c之间的关系，设
置双曲线中a 、b和c之间的关系吗？
讲解：由双曲线定义可知2a2c ，即ac， c2 a2  0。
x2 y2
设c2 a2=b2，方程整理得  1  a  0,b  0 。
a2 b2
讲解：这是焦点在x轴上的双曲线的标准方程，其中F (c,0),F (c,0)。
1 2
（三）应用新知
已知双曲线方程
x2 y2
，则（1）a=_________， b=_________，c=_________；
 1
9 16
（2）焦点在_________轴上，其坐标为_________，焦距为_________。
（四）小结作业
小结：通过这节课的学习，你有什么收获？你对今天的学习还有什么疑问吗？
作业：想一想，焦点在y轴上的双曲线的标准方程怎么表示？
四、板书设计
双曲线的标准方程
一、定义 例：
二、双曲线的标准方程
学员专用 请勿外泄 49x2 y2
 
 1a  0,b  0
a2 b2
推导：
50 学员专用 请勿外泄高中数学 《点到直线的距离公式》
（一）题本
中小学教师资格面试备课纸
准考证号：12345678901234 姓名： 所在考场：
考点：高中数学 抽题时间：XX年XX月XX日-
1.题目：点到直线的距离公式
2.内容：
3.基本要求：
（1）要有板书；
（2）请在10分钟内完成试讲内容；
（3）条理清晰，重点突出；
（4）学生会用点到直线的距离公式。
学员专用 请勿外泄 51（二）教案范例
点到直线的距离公式 教案
一、教学目标
【知识与技能】
能说出点到直线距离的公式，会应用公式计算点到直线的距离问题；会推导点到直
线的距离公式。
【过程与方法】
通过点到直线距离公式推导过程的学习及其应用，提升归纳总结与数形结合的能力。
【情感、态度与价值观】
在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性，提升对数学的兴趣。
二、教学重难点
【教学重点】
点到直线距离公式的推导及其应用。
【教学难点】
点到直线距离公式的推导。
三、教学过程
（一）导入新课
复习导入，提问：点到直线的距离是如何定义的？两点间的距离公式如何表达？
已知点 p x，y 和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位
0 0 0
置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点 p 到直线l的距离呢？
0
（二）讲解新知
学生活动：点到直线距离的探究。出示如下的左图，将同学分成4个小组，分析问
题，找到解决该问题的方法，师生共同归纳出问题的结论。学生可能寻求到这几种解法：
方法1：由定义求出垂足。确定直线l的斜率，求与直线l 垂直的直线的斜率，求过
点 p x，y 垂直于l的直线的方程，求交点Q，转化为两点间距离求解。
0 0 0
方法2：利用直角三角形的面积公式。
引导学生通过类比联想、找到如何构造直角三角形来推导公式。
问题一：怎样用点的坐标和直线方程求出点到直线的距离，思路是什么呢？
52 学员专用 请勿外泄给出3分钟的讨论时间，教师在恰当的时候引导构造直角三角形求其高即可。
预设：过点 p x，y 作X轴Y轴的垂线交l 与R、S，用x 、y 表示点R、S的坐
0 0 0 0 0
标，求出 PR 、 PS ，利用勾股定理求出 RS ，根据面积相等知d RS  PR  PS ，
0 0 0 0
得到距离d  PQ 。
0
教师在学生讨论得出思路后，及时给予引导，在推导距离d  PQ 的时候，注意通
0
分的技巧，没必要展开的尽量别展开，减少计算量。
问题二：如何用数学符号来表达点到直线的距离公式呢？
Ax By C
预设：得出d  0 0 。同时引导学生积极讨论此公式每个参数的含义，从
A2 B2
而加强对此知识点的理解。
问题三：若A0或B0，上述公式是否成立呢？
预设：经过验证，如果A0或B0，上面的距离公式仍然成立。
提问：若A0或B0，能否有更加简便的方法计算点到直线的距离呢？
总结：A0，直接看点的纵坐标与直线和y轴交点纵坐标之间的距离；
B0，直接看点的横坐标与直线和x轴交点横坐标之间的距离。
（三）应用新知
例1：求点P -1，2到直线l：3x2的距离。
0
例2：已知A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。
（四）小结作业
提问：今天有什么收获？
引导学生回顾：利用点的坐标和直线方程求出点到直线距离要注意什么？
课后作业：思考点到直线距离公式的其他推导方法。
四、板书设计
点到直线的距离公式
学员专用 请勿外泄 53例1：
推导：d RS  PR  PS 例2：
0 0
Ax By C
d  0 0
A2 B2
如果A0或B0，公式仍然成立
54 学员专用 请勿外泄高中数学 《数列的概念》
（一）题本
中小学教师资格面试备课纸
准考证号：12345678901234 姓名： 所在考场：
考点：高中数学 抽题时间：XX年XX月XX日-
1.题目：数列的概念
2.内容：
学员专用 请勿外泄 553.基本要求：
（1）掌握数列的概念，能够找到一组数据的通项公式；
（2）教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节；
（3）请在10分钟内完成试讲内容。
56 学员专用 请勿外泄（二）教案范例
数列的概念 教案
一、教学目标
【知识与技能】
了解数列的概念及分类，了解数列几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）；
发现数列的规律，找出数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的项。
【过程与方法】
在类比函数的表示法引出数列的表示法的过程中，提高观察、归纳、抽象、概括、
类比迁移等能力。
【情感态度与价值观】
通过实例，发现自然界充满数列，生活中需要数列，感受数列是刻画自然规律的数
学模型，能够提高求知欲与学习兴趣。
二、教学重难点
【教学重点】
理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几
种简单表示法。
【教学难点】
1.认识数列是一种特殊的函数。
2.发现数列的规律，找出数列的通项公式。
三、教学过程
（一）导入新课
通过PPT展示如下案例：
2018年1-12月工厂生产的钢管数；国内近五年的生产总值；人口近五年的数量；
某人的2018年工资数。
通过观察这些数，引出对一列数的研究《数列的概念》。
（二）生成新知
1.数列的概念
师生活动：让学生观察几个案例中的数字，并提问：以上几列数的共同特点是什么？
引导学生思考这几列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出数列概
念：
学员专用 请勿外泄 57一般地，按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项。
 
数列一般形式可以写成a ,a ,a ,,a ,简记为 a ，其中数列的第1项a ，也称首
1 2 3 n n 1
项；a 是数列的第n项，也叫数列的通项。
n
2.数列的分类
师生活动：展示以下数列：
①4，5，6，7，8，9，10；
1 1 1 1
②1， ， ， ， ，…；
2 3 4 5
③7，5，3，2；
④1，1.4，1.41，1.414，…；
⑤-1，1，-1，1，-1，1，…；
⑥2，2，2，2，2，…；
追问：从数列项的数量，或者数列前后各项之间的大小关系等角度，你能体会以上
这些数列之间的区别吗？它们各有什么特点？
师生活动：学生先独自思考，然后组内讨论。
追问：可以对数列进行怎样的分类？
师生活动：学生观察发现按项数，可分为有穷数列和无穷数列；按项之间的大小关
系可分为，递增数列，递减数列，常数列，以及摆动数列。（板书）
3.数列的通项公式
1 1 1
师生活动：在黑板上写下数列：1, , , ,
3 5 7
问题1：该数列中的项a 和它的序号n有联系吗？
n
序号 1， 2， 3， 4， … ，n，…
1 1 1 1
项 1， ， ， ，… ，…
3 5 7 2n1
问题2：能否把这种联系用一个式子表示出来？
 
师生活动：引出数列通项公式的定义，即：如果数列 a 的第n项a 与n之间的
n n
关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。然后教师进行
总结：从集合、对应的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的
 
有限子集 1,2,,n 的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的
58 学员专用 请勿外泄通项公式就是相应函数的解析式。
追问：数列作为一种特殊的函数，也可以用列表法和图象法表示，你能把上面的这
个数列用这两种方法表示出来吗？让学生充分感知数列和函数的关系。
（三）应用新知
例1.根据下面通项公式，分别写出数列的前5项。
n n
（1）a  ；（2）a 1n cos 。
n n2 n 4
例2.写出下面数列的一个通项公式。
（1）3，5，7，9，…
（2）1，2，4，8，…
（3）9，99，999，9999，…
例1师生共同完成，例2学生独立完成。
（四）小结作业
小结：教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答一下问题：
本节课学习了哪些知识？
作业：课后习题1、2。
四、板书设计
数列的概念
数列的概念： 练习：
数列的分类：
数列的通项公式：
学员专用 请勿外泄 59高中数学 《平面与平面的位置关系》
（一）题本
中小学教师资格面试备课纸
准考证号：12345678901234 姓名： 所在考场：
考点：高中数学 抽题时间：XX年XX月XX日-
1.题目：平面与平面的位置关系
2.内容：
3.基本要求：
60 学员专用 请勿外泄（1）如果教学期间需要其他辅助教学工具，进行演示即可；
（2）让学生结合生活实例理解平面与平面的位置关系；
（3）教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节，突出学生的学习主体地
位；
（4）要求配合教学内容有适当的板书设计；
（5）请在10分钟内完成试讲内容。
（二）教案范例
平面与平面的位置关系 教案
一、教学目标
【知识与技能】
结合生活实例理解平面与平面的位置关系，并能正确判断空间中平面与平面的位置
关系。
【过程与方法】
在结合生活实例得出平面与平面的位置关系的过程中，发展空间观念。
【情感态度与价值观】
感受数学与生活的联系，激发数学学习的兴趣。
二、教学重难点
【教学重点】
平面与平面的相交与平行。
【教学难点】
平面与平面位置关系的探究。
三、教学过程
（一）导入新课
回顾直线与直线、直线与平面的位置关系，提问平面与平面的位置关系，进而引出
课题——平面与平面的位置关系。
（二）讲解新知
活动一：学生自主尝试，拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，观
察它们之间的位置关系有几种。
预设1：相交和不相交。
预设2：相交和平行。
学员专用 请勿外泄 61活动二：教师出示长方体ABCD A'B'C'D'，学生思考围成长方体的六个面两两
之间的位置关系有几种。
预设：两种，有公共点和没有公共点。
追问：如果两个平面有公共点，那么这些公共点形成了什么样的图形？
预设：根据公理3，这些公共点在一条直线上。
根据学生的回答，教师总结平面与平面的位置关系：两个平面有一条公共直线，我
们称两个平面相交；两个平面没有公共点，则称两个平面平行。用图形表示如下图：
教师强调：画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应
边平行。平面与平面  平行，可记作 ∥ 。
学生自主尝试用图形表示平面与平面的位置关系。
组织学生四人为一小组，十分钟的时间进行讨论：已知平面，，直线a，b ，
且∥，a，b，则直线a与直线b 具有怎样的位置关系，再请小组代表发
言说明自己小组的讨论结果。
预设：平行或异面。
（三）应用新知
如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论。
（四）小结作业
提问：今天有什么收获？
引导学生回顾平面与平面的位置关系。
课后作业：l ，a，b，试判断直线a，b 的位置关系，并画图
表示。
四、板书设计
平面与平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有一条公共直线
62 学员专用 请勿外泄图形表示
∥
学员专用 请勿外泄 63高中数学 《求函数定义域和函数值》
（一）题本
中小学教师资格面试备课纸
准考证号：12345678901234 姓名： 所在考场：
考点：高中数学 抽题时间：XX年XX月XX日-
1.题目：求函数定义域和函数值
2.内容：
64 学员专用 请勿外泄3.基本要求：
（1）让学生理解并掌握求函数定义域和函数值的方法；
（2）教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节，突出学生的学习主体地
位；
（3）要求配合教学内容有适当的板书设计；
（4）请在10分钟内完成试讲内容。
（二）教案范例
求函数的定义域和函数值 教案
一、教学目标
【知识与技能】
掌握函数定义域和函数值的求法，会正确计算函数的定义域和函数值。
【过程与方法】
通过自主探索过程，提升分析问题和解决问题的能力。
【情感态度与价值观】
体会数学的魅力，培养实事求是的科学态度。
二、教学重难点
【教学重点】
函数定义域和函数值的求法。
【教学难点】
函数的定义域和函数值的正确计算。
三、教学过程
（一）导入新课
采用直接导入的方法，引出课题《求函数定义域和函数值》。
（二）习题精讲
提问：函数的定义域指的是什么？
预设：函数的定义域指的是自变量x的取值范围，即函数的定义域就是使函数的式
子有意义的实数的集合。
提问：分式和二次根式有意义的条件是什么？
预设：分式中，分式的分母不能为0；二次根式中，被开方的式子要满足非负的条
件。
根据学生的回答，教师给予鼓励性评价。
学员专用 请勿外泄 65多媒体展示例1，教师带领学生共同分析：函数 f(x)的解析式已知，需要求解函数
的定义域和函数值。函数 f(x)为分式和二次根式的组合函数。
提问：函数 f(x)的自变量取值范围是取满足分式和二次根式的自变量的交集还是并
集？
预设：取交集。
对于函数值的求法，需要判断数值是否在函数的定义域范围内，如果在，只需将数
值代入到函数中，计算得到结果即可。
接下来，学生独立自主进行计算，并请学生板演。
预设（1）使根式 x3有意义的实数x的集合是  x x3  ，使分式 1 有意义的
x2
实 数 x 的 集 合 是  x x2  。 所 以 函 数 的 定 义 域 为
 x x3  x x2  =  x x3,x2  。
2 2 1 3 33
（2） f 3 33 1 1， f  3    3 3 2  8  3 。
32 2
3
（3）因为a0，所以 f a， f a1有意义。
1 1 1
f a a3 ； f a1 a13  a2 。
a2 a12 a1
提问：函数 f(x)分别为整式、分式、偶次根式时，函数 f(x)的定义域分别是什么？
在求解函数的定义域的过程中需要注意什么？
师生共同总结得到：如果 f(x)是整式，则定义域为全体实数；如果 f(x)是分式，则
定义域是使分式的分母不为0的实数的集合；如果 f(x)为偶次根式，则定义域为使根号
内的式子大于等于0的实数的集合。需要注意对于组合函数来说，要取各式子定义域的
交集。
1
计算函数 f(x) 2x的定义域，函数值 f(2)。
x1
（三）小结作业
小结：通过这节课的学习，你有什么收获？
作业：课后练习1、2。
四、板书设计
求函数定义域和函数值
66 学员专用 请勿外泄例1：（1）使根式 x3有意义的实数x的集合是  x x3  ，使分式 1 有意
x2
义 的 实 数 x 的 集 合 是  x x2  。 所 以 函 数 的 定 义 域 为
 x x3  x x2  =  x x3,x2  。
2 2 1 3 33
（2） f 3 33 1 1， f  3    3 3 2  8  3 。
32 2
3
（3）因为a0，所以 f a， f a1有意义。
1 1 1
f a a3 ； f a1 a13  a2 。
a2 a12 a1
总结：如果 f(x)是整式，则定义域为全体实数；
如果 f(x)是分式，则定义域是使分式的分母不为0的实数的集合；
如果 f(x)为偶次根式，则定义域为使根号内的式子大于等于0的实数的集
合。
注意：组合函数取各式子定义域的交集。
学员专用 请勿外泄 67高中数学 《证明函数的单调性》
（一）题本
中小学教师资格面试备课纸
准考证号：12345678901234 姓名： 所在考场：
考点：高中数学 抽题时间：XX年XX月XX日-
1.题目：证明函数的单调性
2.内容：
3.基本要求：
（1）试讲时间10分钟左右；
（2）讲解要目的明确、条理清楚、重点突出；
（3）根据讲解的需要适当板书；
（4）分析解决问题的思路，说明推理的依据；
（5）结合例子，讲清证明函数单调性的步骤。
68 学员专用 请勿外泄（二）教案范例
证明函数的单调性 教案
一、教学目标
【知识与技能】
掌握用函数的单调性定义判断、证明函数单调性的方法，并且能够用定义法证明函
数的单调性。
【过程与方法】
经历用单调性的定义证明函数单调性的过程，提升逻辑推理能力。
【情感、态度与价值观】
在论证的过程中，体会数学的严谨性，培养严谨求实的科学态度。
二、教学重难点
【教学重点】
定义法判断、证明函数的单调性。
【教学难点】
定义法判断、证明函数的单调性。
三、教学过程
（一）导入新课
采用温故知新的导入方法。提问：函数的三种表示方式是什么？
预设：图象法、列表法、解析式法。
图形和解析式都可以直观的判断出函数的单调性，那么通过解析式，该如何判断函
数单调性呢？引出课题《证明函数的单调性》。
（二）习题精讲
提问：函数单调递增的定义是什么？函数单调递减的定义又是什么?
预设1：一般地，设函数 f(x)的定义域为I ：如果对于属于区间I 内某个区间上的
任意两个自变量的值x，x ，当x x 时都有 f(x) f(x )，那么就说 f(x)在这个区间
1 2 1 2 1 2
上是增函数。如果 f(x) f(x )，那么就说 f(x)在这个区间上是严格增函数。
1 2
预设2：如果对于属于区间I 内某个区间上的任意两个自变量的值x，x ，x x 时，
1 2 1 2
都有 f(x) f(x )，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数。如果 f(x) f(x )，那么就
1 2 1 2
说 f(x)在这个区间上是严格减函数。
学员专用 请勿外泄 69k
出示例题：物理学中的玻意耳定律 p (k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，
V
当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。
k
师生共同分析：可先将实际问题转化为数学模型，若想证明该结论，只需证明 p
V
在区间0,上是减函数即可。
提问：在证明的过程中需要考虑的因素有哪些？
预设1：要先考虑函数的定义域。
预设2：选取的两个自变量要满足任意性。
接下来学生自主探索：利用函数的单调性定义证明例题。
预设：根据单调性的定义，设V 、V 是定义域0,上的任意两个实数，且V V ，
1 2 1 2
k k V V
则 pV  pV   k 2 1 。结合题意可判断VV 0，V V 0，k 0，所
1 2 V V VV 1 2 2 1
1 2 1 2
k
以 pV  pV 0，即 pV  pV ，所以 p ，V0,是减函数，即当其体积
1 2 1 2
V
V减小时，压强p将增大。
提问：结合解题过程，小组讨论定义法证明函数单调性的一般步骤。
师生共同总结：设元、作差、变形、断号、定论。
例1：证明函数y2x1在R上的单调性。
（三）小结作业
提问：今天有什么收获？
引导学生回顾：利用函数的单调性定义判断、证明函数单调性的方法，一般步骤。
课后作业：
1
尝试证明反比例函数 y  的单调性。
x
四、板书设计
证明函数的单调性
例：设V 、V 是定义域0,上的任意两个实数，且V V ， 练习：
1 2 1 2
k k V V
则 pV  pV   k 2 1 ，结合题意可判断VV 0，
1 2 V V VV 1 2
1 2 1 2
V V 0，k 0，所以 pV  pV 0，即 pV  pV ，
2 1 1 2 1 2
70 学员专用 请勿外泄k
所以 p ，V0,是减函数，即当其体积V减小时，压强p将增大。
V
基本步骤：设元、作差、变形、断号、定论。
学员专用 请勿外泄 71高中数学 《向量加法运算及其几何意义》
（一）题本
中小学教师资格面试备课纸
准考证号：12345678901234 姓名： 所在考场：
考点：高中数学 抽题时间：XX年XX月XX日-
1.题目：向量加法运算及其几何意义
2.内容：
3.基本要求：
（1）学生会用向量加法运算法则解决问题。
（2）教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节。
（3）要求配合教学内容有适当的板书设计。
（4）请在10分钟内完成试讲内容。
72 学员专用 请勿外泄（二）教案范例
向量加法运算及其几何意义 教案
一、教学目标
【知识与技能】
通过观察、比较具体数字运算的大小，联系等式性质，归纳出不等式的
性质。面对变形后的式子，能利用不等式性质判断它们的大小。
【过程与方法】
通过反思、总结探索过程，了解归纳和类比是获得数学发现的常用方法。
【情感态度与价值观】
解决问题中，有克服困难的信心和决心。
二、教学重难点
【教学重点】
加法的两个法则及其应用。
【教学难点】
向量加法的定义。
三、教学过程
（一）回顾知识
向量求和的法则。
三角形法则 平行四边形法则
图形
表达
作图
两向量首尾顺次相连。 两向量从同一起点出发。
准则
         
符号 ab ABBC  AC ab ABAD AC
（二）基础习题
   
例1．如图，已知向量a、b，求作向量ab。
学员专用 请勿外泄 73（三）综合习题
例2．长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。如图所
示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行
驶，同时江水的速度为向东2km/h。
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效
数字)；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示，精
确到度)。
（四）小结作业
与学生回顾：向量加法的三角形法则，向量加法的平行四边形法则。
课后作业：
向量减法是否也有图形法则。
四、板书设计
向量加法运算及其几何意义
三角形法则： 例1：
平行四边形法则： 例2：
74 学员专用 请勿外泄