文档内容
1.2.1 有理数的概念 导学案
学习目标
1. 理解有理数的意义，了解数由整数到分数到负数进而发展到有理数的扩充过程.
2. 了解有理数两种不同的分类方法，会判断一个有理数是正数、负数，或是正整数、负整数、正分数和负
分数.
核心知识
1. 有理数及相关概念
称为有理数，
其中 为正有理数， 为负有理数．
、 、 统称整数，
和 统称分数，
和 统称有理数．
注意： 不是有理数
2. 有理数的分类方法
（1）按“整”与“分”来分类（即定义）
（2）按正、负来分类（即数性）
3. 有理数“0”的不同意义
作用 举例
表示数的性质 0是 ，是 ，是表示没有 3个人用+3表示，没有人用 表示
表示某种状态 0℃表示冰点
表示正数与负数的界点 0既不是 ，也不是 ，是一个中性数
思维导图
复习巩固
1. 上一节我们学习了哪些内容？
（1）用正数、负数表示具有相反意义的量；
（2）“0”不再仅仅表示没有，在记数中有实际意义；
（3）0既不是正数，也不是负数.
2. 如果自行车车条的长度比标准长度长2mm，记作+2mm，那么比标准长度短1.5mm，应记为______mm.
3. 粮食每袋标准重50kg，先测得甲、乙、丙三袋粮食分别重：52kg，49kg，49.8kg，如果超重部分用正数
表示，请用正数和负数记录甲、乙、丙三袋粮食的超重数和不足数．
新知讲解
可以写成分数形式的数称为有理数，其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的
数为负有理数．
正整数、0和负整数统称为整数；
正分数、负分数统称为分数.
整数和分数统称为有理数.组内交流1：（1）正有理数包括哪些数？
（2）负有理数包括哪些数？
（3）有理数只包括正有理数和负有理数吗？
组内交流2： 根据有理数的概念，你如何对有理数分类？
（1）按有理数的定义分类： （2）按有理数的性质(正、负数)分类：
组内交流3：你能解决下列问题吗？谈谈你的看法？
（1）0是整数吗？是正数吗？是有理数吗？
（2）-5是整数吗？是负数吗？是有理数吗？
（3）自然数是整数吗？是正数吗？是有理数吗？
（4）下列有理数中，哪些是整数？哪些是分数？哪些是正数？哪些是负数？
-7、10.1、89、0、-0.67、 、
【几点注意】：
1. 整数中除了正整数和负整数，还有0.
2. 两个整数的比（如 ， 等）、有限小数（如0.2，－3.14等）、无限循环小数（如 ）等都是分数；
3. 小数除有限小数、无限循环小数外，还有一类无限不循环小数（无理数），不在有理数的学习范围（以
后学习）. 所以，我们不能说小数都是有理数.
典例分析
例1：指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数：
13，4.3， ，8.5%，-30，-22%， ，-7.5，20，-80，1.2.例2： 把下列各数填入他所属于的集合的圈内：
15，-5，0.1，-5.32，-80，123，2.333， ， ， .
正整数 负整数
正分数 负分数
针对训练
1. 在2 ，-5 ， ，0 ，-1 中是分数的是 .
2. 判断下面说法是否正确：
①正整数和负整数的总和就是整数； （ ）
②分数包括了正分数和负分数和 0； （ ）
③有理数是整数和分数的统称； （ ）
④0是整数 （ ）
⑤分数包括了小数、分数、百分数； （ ）
3. 下列说法正确的有几个？
①零是整数；②零是有理数；③零是自然数；
④零是正数；⑤零是负数；⑥零是非负数.
4. 下列说法错误的有几个？
①负整数和负分数统称为负有理数；
②正整数，0和负整数统称为整数；
③正有理数与负有理数组成全体有理数；
④一个有理数不是正数，就是负数；
⑤一个分数，不是正分数，就是负分数；
⑥最小的正整数是1.5.下列说法正确的是( ).
A. 非负有理数就是正有理数； B. 0仅表示没有，是有理数；
C. 正整数和负整数统称为整数； D. 整数和分数统称为有理数.
6.下列说法错误的是( ).
A. 没有最大的有理数；
B. 正整数与正分数前面添加“－”后都是负数；
C. 因为正号可以省略，所以0是正数；
D. 有限小数与无限循环小数都是有理数.
7. 最小的正整数是 ，最大的负整数是 .
8. 所有正数组成正数集合，所有负数组成负数集合.把下面的有理数填入它属于的集合的圈内：
当堂巩固
【知识归纳】
我们从例题和练习中体会到，有理数如果要分两大类的话，可以有两种分法：
①分成“正有理数”和负有理数.（按正负数分）
②分成整数和分数（按有理数的定义分）
同时，我们从例题和练习中可以看到，我们要特别地对“0”多加注意，“0”既不是正数又不是负数，但
是“0”是自然数或整数.
1. 图中两个圆圈分别表示正数集合和整数集合，请任意写出几个符合条件的数并填入两个圆圈的重叠部分.
你能说出这个重叠部分表示什么数的集合吗？能力提升
1. 某中学初一男生测试引体向上，以 10个为标准，超过次数用正数表示，不足次数用负数表示，其中 6
个男生的成绩如下：
（1）这6名男生有几名达到标准？达标率为百分之几？
（2）他们共做了多少个引体向上？
感受中考
1．（3分）（2023•江西1/23）下列各数中，正整数是（ ）
A．3 B．2.1 C．0 D．－2
【参考答案】
核心知识
1. 有理数及相关概念
答案：可以写成分数形式的数；可以写成正分数形式的数；可以写成负分数形式的数；正整数、负整
数、0；正分数、负分数；整数和分数.
3. 有理数“0”的不同意义
作用 举例
表示数的性质 0是 整数 ，是 非负整数 ，是 有理数
表示没有 3个人用+3表示，没有人用 0 表示
表示某种状态 0℃表示冰点
表示正数与负数的界点 0既不是 正数 ，也不是 负数 ，是一个中性数
复习巩固
2.－1.5;3.+2kg，－1kg，－0.2kg
新知讲解
组内交流1：（1）正有理数包括正整数、正分数；
（2）负有理数包括负整数、负分数；
（3）有理数不只包括正有理数和负有理数，还包括0.
组内交流2： (1)按有理数的定义分类： (2)按有理数的性质(正、负数)分类：
组内交流3：（1）0是整数、不是正数但是有理数；
（2）－5是整数、负数、有理数；
（3）自然数是整数，不是所有的自然数是正数（比如0），所有的自然数都是有理数；
（4）整数：－7、89、0；分数：10.1、-0.67、 、 ；正数：10.1、89、 ；负数：-7、-0.67、 .
典例分析
例1：解：正有理数：13，4.3，8.5%， ，20，1.2，其中，正整数有13，20.
负有理数： ，-30，-22%，-7.5，-80，其中，负整数有-30，-80.
例2：针对训练
1. ；
2. ①（ × ）；②（ × ）；③（ √ ）；④（ √ ）；⑤（ √ ）；
3. 4个；
4. 2个；
5. D；
6. C；
7. 1；-1；
8.正数集合：15， ，0.1，123，2.333；
负数集合： ，-5， ，-5.32，-80.
当堂巩固
略
能力提升
1. 解：（1）次数记为+3，0，+4的男生达标， .
答：这6名男生有3名达到标准，达标率为50%.
（2）10×6+（+3-4+0-2+4-1）=60
答：他们共做了60个引体向上.
感受中考
1．【解答】解：A 3是正整数，则A符合题意；
B 2.1是有限小数，即为分数，则B不符合题意；
C 0既不是正数，也不是负数，则C不符合题意；
D －2是负整数，则D不符合题意；
故选：A．
