文档内容
1.2.1 有理数的概念 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教2024版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第一章“有理
数”1.2有理数及其大小比较第1课时，内容包括理解有理数的概念，掌握有理数的两种分类方法.
2.内容解析
本节课是在引入了负数和学习了运用正数与负数表示具有相反意义的量的基础上，将小学阶段学习的
数扩充到有理数并对有理数进行分类，既是小学阶段学习的数到有理数的衔接与过渡，也是后面学习数轴、
相反数、绝对值以及有理数运算的基础.本节课还初步渗透了集合的思想和分类的方法，形成新的知识体系，
使学生感受数的应用价值以及增强学生数感.因此，本节内容在教材中处于十分重要的地位.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解有理数的概念.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解有理数的意义，了解数由整数到分数到负数进而发展到有理数的扩充过程.
（2）了解有理数两种不同的分类方法，会判断一个有理数是正数、负数，或是正整数、负整数、正
分数和负分数.
2.目标解析
（1）有理数的意义是在正数、负数概念的基础上给出的.有理数概念的教学，应在全面回顾正整数、
正分数、0，以及负整数、负分数的基础上，先完善整数、分数的内涵，再给出有理数的概念.
（2）有理数概念的教学，应该让学生体会有理数概念的扩充过程，了解正整数、自然数的差异，了
解有理数0的地位和作用，并会用两种不同的标准理清有理数的分类，初步体会分类思想在有理数概念学
习中的使用.
三、教学问题诊断分析
通过小学阶段的学习，学生对数已经有了比较全面深刻的认识，不过同时思维也造成了一定程度的定
势，这就容易与数的概念的扩充发生冲突.另外，刚刚步入初中的学生年龄小，对概念的理解能力不强，对
枯燥的数字不如具体事物感兴趣，抽象思维能力弱，好奇、好动、好表现，不能长时间集中精力，因此，
他们更喜欢参与生动有趣的教学活动，更容易接受形象直观的教学模型，更渴望得到教师的表扬与鼓励.
本节课还初步渗透了集合的思想和分类的方法，所以本堂课不仅是发展学生原有的认知结构，形成新的知
识体系的主要通道，而且是渗透数学思想方法，感受数的应用价值以及增强学生数感的有效载体.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：准确领会、掌握有理数的分类方法.
四、教学过程设计
（一）出示问题，回顾旧知
1.上一节我们学习了哪些内容？
（1）用正数、负数表示具有相反意义的量；
（2）“0”不再仅仅表示没有，在记数中有实际意义；
（3）0既不是正数，也不是负数.
2. 如果自行车车条的长度比标准长度长 2mm，记作+2mm，那么比标准长度短 1.5mm，应记为
-1.5 mm.
3. 粮食每袋标准重50kg，先测得甲、乙、丙三袋粮食分别重：52kg，49kg，49.8kg，如果超重部分用
正数表示，请用正数和负数记录甲、乙、丙三袋粮食的超重数和不足数.
+2kg，－1kg，－0.2kg
师生活动：教师引导学生回忆上一节内容，学生可举出日常生活中的实例.学生在小组内快速回答第
2、3题.
【设计意图】学生根据所学内容，回忆所学过的数，同时举出相应的例子，一可以让学生复习旧的知
识，二可以在所提问题中发现新的知识，引发学生的探究欲望. 在已有的认知结构基础上，让学生经过阅
读、思考、交流后，发表意见，评价补充，加深认知，回忆数的扩充过程.
（二）推进新课
问题1：我们在小学和前一节已经学习过哪些数？请你任意说出一些.
师生活动：学生根据所学内容，回忆所学过的数，同时举出相应的例子，既可以让学生复习旧的知识，
又可以在所提问题中发现新的知识.
追问1：①既是正数又是整数的数有___________________.
②既是负数又是整数的数有___________________.
③ 0是正数吗？是负数吗？是整数吗？
④既是正数又是分数的数有___________________.
⑤既是负数又是分数的数有___________________.
追问2：在上述列举的数中，我们可以怎样进行分类？师生活动：学生根据数的特征进行分类，显然可以把小学学过的数（正数）分成一类――正数，把正
数前面加负号（负数）的数分成一类――负数，0既不是正数也不是负数；也可以分成整数和分数，于是
有下列分类：
正整数：如1，2，3，…；
零：0；
负整数：如－1，－2，－3，…；
正分数：如 ， ， ，0.1，5.32，0.3，….
负分数：如 ， ， ，－0.5，－150.5，….
师生活动：学生可能只给出很粗略的分类，如只分为“正数”和“负数”或“零”三类，此时，教师
应给予引导和鼓励．例如，对于数5，可这样问：5和5. 1有相同的类型吗？5可以表示5个人，而5. 1可
以表示人数吗？（不可以）所以它们是不同类型的数，数5是正数中整个的数，我们就称它为“正整数”，
而5. 1不是整个的数，称为“正分数”．……（由于小数可化为分数，以后把小数和分数都称为分数）
通过教师的引导、鼓励和不断完善，以及学生自己的概括，最后归纳出我们已经学过的5类不同的数，
它们分别是“正整数，零，负整数，正分数，负分数”．
【设计意图】通过问题的引入，复习旧知识，使学生感受数的分类方法.
问题2：上面各个的数字是否都能写成分数的形式？写写看.
师生活动：教师引导学生与同桌分析、交流、归纳，理解有理数以及有理数的分类，按照课本的说法，
得出“有理数”的概念：可以写成分数形式的数称为有理数，其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，
可以写成负分数形式的数为负有理数．
引入负数后，我们对数的认识就扩大到了有理数范围：正整数，零和负整数统称整数，正分数和负分
数统称分数．整数和分数统称有理数，这里的分数特指是分母不为1的分数，整数有时可以认为是分母是
1的分数．看书了解有理数名称的由来．
师强调：“统称”是指“合起来总的名称”的意思．
【设计意图】结合小学的知识，让学生通过计算作出判断，并在思考后归纳得出结论：有限小数或无
限循环小数都可以化成分数，为下一问题做好铺垫. 通过将三者进行比较，归纳得出有理数是一个整数和
一个非零整数的比的本质特征，让学生深入理解有理数的概念.
问题3：有理数、分数、整数与非零整数的比三者之间有何关系？
师生活动：引导学生对比、分析，归纳得出有理数的本质特征.
追问1：任意写出三个有理数，并说出是什么类型的数，与同伴进行交流．追问2：讲述有理数的意义及由来.
【设计意图】引导学生进行对有理数进行分类，从而体会分类讨论的数学思想．
问题4：根据有理数的概念，你如何对有理数分类？
学生活动：根据以上知识学生组内交流，进行分类．
师生活动：按照以上的分类，你能作出一张有理数的分类表吗？你能说出以上有理数的分类是以什么
为标准的吗？（是按照整数和分数来划分的）
或
师说明：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集．所有的有理数组成的数集叫做有理数
集，所有整数组成的数集叫做整数集．
【设计意图】通过对有理数的分类，让学生感受数学的分类思想和集合思想，体验数的分类方法. 经
过将数字进行归类，让学生理解整数和分数的概念.领会有理数的形式特征，理解有理数的概念.
问题5：你能解决下列问题吗？谈谈你的看法？
（1）0是整数吗？是正数吗？是有理数吗？
（2）-5是整数吗？是负数吗？是有理数吗？
（3）自然数是整数吗？是正数吗？是有理数吗？
（4）下列有理数中，哪些是整数？哪些是分数？哪些是正数？哪些是负数？
-7、10.1、89、0、-0.67、 、
（解答）（1）0是整数、不是正数但是有理数；（2）－5是整数、负数、有理数；（3）自然数是整
数，不是所有的自然数是正数（比如0），所有的自然数都是有理数；（4）整数：－7、89、0；分数：
10.1、-0.67、 、 ；正数：10.1、89、 ；负数：-7、-0.67、 .
学生活动：学生独立思考上述问题，必要时进行适当的讨论，然后学生进行适当的交流，个别同学在
交流中逐步完善自己对问题的看法．
教师活动：学生根据上述学习，组内讨论，师强调：1. 整数中除了正整数和负整数，还有0；2. 两个
整数的比（如 ， 等）、有限小数（如0.2，－3.14等）、无限循环小数（如 ）等都是分数；3. 小
数除有限小数、无限循环小数外，还有一类无限不循环小数（无理数），不在有理数的学习范围（以后学习）. 所以，我们不能说小数都是有理数.
【设计意图】消除学生对有理数称谓的疑惑，让学生了解有理数的意义，进一步加深对有理数概念的
理解，突出本堂课的教学重点.
（三）典例分析
例1：指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数：
13，4.3， ，8.5%，-30，-22%， ，-7.5，20，-80，1.2.
解：正有理数：13，4.3，8.5%， ，20，1.2，其中，正整数有13，20.
负有理数： ，-30，-22%，-7.5，-80，其中，负整数有-30，-80.
例2：把下列各数填入他所属于的集合的圈内：
15，-5，0.1，-5.32，-80，123，2.333， ， ， .
正整数 负整数
正分数 负分数
（解答）
教师点拨：（1）把一些数看作一个整体，那么这个整体就叫这些数的集合．其中的每一个数叫做这
个集合的一个元素．（2）特别要注意“零”是整数集合、非负数集合、有理数集合中的一个元素；“零”不仅表示“没有”，而且具有非常确定的内容，如零时、零度；“零”是正负数的界限；“零”是
偶数；“零”能被任何非零数整除；“零”也是一个不可缺少的数码；在数的表示中起着十分重要的作用．
（3）非负有理数包括正有理数和零，在数学里，“正”和“整”不能通用，是有区别的：“正”是相对
于负来说；“整”是相对于分数而言的．
追问：上面练习中的四个集合合并在一起就是全体有理数的集合吗？
【设计意图】通过对数的分类的练习，感受数的分类方法，体验分类的思想和原则.
（四）针对训练
1. 在2 ，-5 ， ，0 ，-1 中是分数的是 . （ ）
2. 判断下面说法是否正确：
①正整数和负整数的总和就是整数； （ × ）
②分数包括了正分数和负分数和 0； （ × ）
③有理数是整数和分数的统称； （ √ ）
④0是整数 （ √ ）
⑤分数包括了小数、分数、百分数； （ √ ）
3. 下列说法正确的有几个？（4个）
①零是整数；②零是有理数；③零是自然数； ④零是正数；⑤零是负数；⑥零是非负数.
4. 下列说法错误的有几个？（2个）
①负整数和负分数统称为负有理数；
②正整数，0和负整数统称为整数；
③正有理数与负有理数组成全体有理数；
④一个有理数不是正数，就是负数；
⑤一个分数，不是正分数，就是负分数；
⑥最小的正整数是1.
5.下列说法正确的是（ D ）.
A. 非负有理数就是正有理数； B. 0仅表示没有，是有理数；
C. 正整数和负整数统称为整数； D. 整数和分数统称为有理数.
6.下列说法错误的是（ C ）.
A. 没有最大的有理数；
B. 正整数与正分数前面添加“－”后都是负数；
C. 因为正号可以省略，所以0是正数；D. 有限小数与无限循环小数都是有理数.
7. 最小的正整数是 1 ，最大的负整数是 -1 .
8. 所有正数组成正数集合，所有负数组成负数集合.把下面的有理数填入它属于的集合的圈内：
教师活动：引导学生进行自主分析问题，在分析问题的过程抓住细节，启发学生进行解决问题，在学
生没有思路时进行适当的提示等．
教师强调：把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称“数集”，所有有理数组成的数集叫做
有理数集．类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有负数组成的数集叫做负数集……；数集一般用
圆圈或大括号表示，因为集合中的数是无限的，而第8题中只填了所给的几个数，所以应该加上省略号．
【设计意图】巩固所学知识，通过对数的分类的体验，进一步理解有理数的两种分类方法，感受分类
的原则．
（五）知识归纳，当堂巩固
教师活动：知识归纳：我们从例题和练习中体会到，有理数如果要分两大类的话，可以有两种分法：
①分成“正有理数”和负有理数.（按正负数分）
②分成整数和分数（按有理数的定义分）
同时，我们从例题和练习中可以看到，我们要特别地对“0”多加注意，“0”既不是正数又不是负数，
但是“0”是自然数或整数.
【当堂巩固】 图中两个圆圈分别表示正数集合和整数集合，请任意写出几个符合条件的数并填入两
个圆圈的重叠部分.你能说出这个重叠部分表示什么数的集合吗？
【能力提升】 某中学初一男生测试引体向上，以10个为标准，超过次数用正数表示，不足次数用负
数表示，其中6个男生的成绩如下：（1）这6名男生有几名达到标准？达标率为百分之几？
（2）他们共做了多少个引体向上？
解：（1）次数记为+3，0，+4的男生达标， .
答：这6名男生有3名达到标准，达标率为50%.
（2）10×6+（+3-4+0-2+4-1）=60
答：他们共做了60个引体向上.
【设计意图】巩固所学知识，加深对有理数分类的认识，感受分类思想．
（五）感受中考
1．（3分）（2023•江西1/23）下列各数中，正整数是（ ）
A．3 B．2.1 C．0 D．－2
【解答】解：A 3是正整数，则A符合题意；
B 2.1是有限小数，即为分数，则B不符合题意；
C 0既不是正数，也不是负数，则C不符合题意；
D －2是负整数，则D不符合题意；
故选：A．
（七）课堂小结
这一节课我们学到了什么？
1. 什么是有理数？
2. 有理数的分类：
（1）按整数与分数划分；
（2）按正有理数，0，负有理数划分.
【设计意图】让学生回顾本节课所学的重点内容，谈谈自己对有理数的概念及有理数的两种分类方法
的理解，同时注意分类要做到不重不漏．
（七）布置作业
P16：教材习题1.2：第1题．
五、教学反思
本节课是第一章“有理数”1.2有理数第1课时，在理解有理数概念的同时，还初步渗透了集合的思想和分类的方法，所以本节课不仅是发展学生原有的认知结构，形成新的知识体系的主要通道，而且是渗
透数学思想方法，感受数的应用价值以及增强学生数感的有效载体.
本节课在引入了负数后对所学过的数按照一定的标准进行分类，提出了有理数的概念．分类是数学中
解决问题的常用手段，通过本节课的学习使学生了解分类的思想并进行简单的分类是数学能力的体现，教
师在教学中应引起足够的重视．关于分类标准与分类结果的关系，分类标准的确定可向学生作适当的渗透，
集合的概念比较抽象，学生真正接受需要很长的过程，本课不要过多展开.
关于有理数的分类可视学生的程度确定是否有必要进一步教学：应使学生了解分类的标准不一样时，
分类的结果也是不同的，所以分类的标准要明确，使分类后每一个参加分类的对象属于其中的某一类而且
只能属于这一类，教学中教师可举出通俗易懂的例子作些说明，可以按年龄，也可以按性别、地域来分等.
两种分类方法，应以第一种方法为主，第二种方法可视学生的情况进行.
本节课具有开放性的特点，给学生提供了较大的思维空间，能促进学生积极主动地参加学习，亲自体
验知识的形成过程，可避免直接进行分类所带来的枯燥性；同时还体现合作学习、交流、探究提高的特点，
对学生分类能力的养成有很好的作用.
