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10.3 实际问题与二元一次方程组【8 个必考点】
【人教版2024】
【知识点 列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤】....................................................................................1
【必考点1 和差倍分问题】......................................................................................................................................1
【必考点2 几何图形问题】......................................................................................................................................3
【必考点3 数字幻方问题】......................................................................................................................................4
【必考点4 工程问题】..............................................................................................................................................5
【必考点5 行程问题】..............................................................................................................................................6
【必考点6 销售问题】..............................................................................................................................................7
【必考点7 方案问题】..............................................................................................................................................9
【必考点8 古代问题】............................................................................................................................................11
【知识点 列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤】
(1)设:弄清题意和题目中的数量关系,设出未知数;
(2)找:找出题目中的两个等量关系:
(3)列:根据找出的两个等量关系列出方程组;
(4)解:解方程组;
(5)检:检验所得的解是不是方程组的解,检验是否符合题意;
(6)答:写出答案(包括单位).
【必考点1 和差倍分问题】
【例1】某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲
货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱 ，B种货物每箱 ．因为两种货物包装箱
完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检
时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重 ，则甲车有（ ）箱货物装错．
A．5 B．4 C．3 D．2
【例2】如图，足球的表面是由 块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的
一半多 块，则白色皮块的块数是（ ）A．18 B．20 C．22 D．24
【变式1】五一黄金周期间，几位同学一起去郊外游玩男同学都背着红色的旅行包，女同学都背着黄色的
旅行包，其中一位男同学说：“我看到的红色旅行包个数是黄色旅行包个数的1.5倍．”另一位女同学却
说：“我看到的红色旅行包个数是黄色旅行包个数的2倍．”如果这两位同学说的都对，那么女同学的人
数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式2】有一头驴子和一头骡子都驮着袋数不同的货物走街串巷，在众目睽睽之下累得大汗淋漓，驴子
就抱怨负担太重了，骡子说：“你还抱怨，就省省吧！如果你给我一袋，那我所负担的重量就是你的两
倍；如果我给你一袋，你所驮货物的重量才跟我所驮货物的重量一样！”如果每袋货物都是一样重的，那
么驴子原来所驮货物的袋数是 袋．
【变式3】陕西是联合国粮农组织认定的世界苹果最佳优生区，是全球集中连片种植苹果最大区域，某苹
果园现有一批苹果，计划租用A、B两种型号的货车将苹果运往外地销售，已知满载时，用3辆A型车和2
辆B型车一次可运苹果13吨；用4辆A型车和3辆B型车一次可运苹果18吨．求1辆A型车和1辆B型
车满载时一次分别运苹果多少吨？
【变式4】小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，需要长为0.8m的钢管100根，长为2.5m的钢管32
根，并要求这些用料粗细相同且不能是焊接而成的．现钢材市场的钢管每根长为6m．
(1)试问一根长6m的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空（余料作废）．
方法①：当只裁剪长为0.8m的用料时，最多可剪______根．
方法②：当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料______根．
方法③：当先剪下2根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料______根．
(2)用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根6m长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？小明
是这样考虑的：设用（1）中方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪y根6m长的钢管．由题意，可
列方程组，进而得到问题的解决，请帮助小明把过程补充完整．
解：设用（1）中的方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪y根6m长的钢管，
根据题意，得【必考点2 几何图形问题】
【例1】如图，在长方形 中，放入六个形状、大小相同的小长方形，经测量， ，
．图中阴影部分的总面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2】用图①中的长方形木板和正方形木板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖木箱．现
仓库里有 块长方形木板和 块正方形木板，经过工人组装发现，正方形木板恰好用完，而长方形木板余
下 块，则 ， 的值可以是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①所示的方式放置，再
交换两木块的位置，按照图②所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图 所示，若拼成如图 所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为 厘米的小正方形．一个小长方形的长为 厘米．
【变式3】如图，三个大小相同的长方形沿“横—竖—横”排列在一个长为5，宽为4的大长方形中，则图
中一个小长方形的面积等于 ．
【变式4】工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式
的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
(1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录：
正方形纸板 长方形纸板
次数
（张） （张）
第一次 560 940
第二次 420 1002
①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由；
②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？
(2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1:3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸
盒与横式纸盒个数的比值；
(3)拓展延伸：现在仓库里有 张正方形纸板和 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸
板用完，则 的值可能是（ ）
A．2013 B．2014 C．2015 D．2016【必考点3 数字幻方问题】
【例1】一个两位数，十位数字比个位数字的 倍大 ．若这个两位数减去 恰好等于个位数字与十位数字
对调后所得的两位数，设十位数字是 ，个位数字是 ，则列方程为 ．
【例2】“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史
上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个 表格，一行的三个数，列的三个数，斜对
角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则 的值为
．
【变式1】有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小 ，又知原来的三位数的百位
上的数的 倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小 ，则原来的数是 ．
【变式2】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入
幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻
方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是 ．
【变式3】如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之
和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字．
【变式4】两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大
的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与
较小的两位数分别是多少？【必考点4 工程问题】
【例1】一家商店进行装修．若请甲，乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单独做6
天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲，乙两队单独完成装修各需多少天？
【例2】穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、
乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进 米，经过6天施工，甲、乙两组共掘
进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进 米．按此施工
进度，能够比原来少用多少天完成任务？
【变式1】安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安
先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工
程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队
单独完成此项工程需要的天数之和为55天．
(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的 ．
【变式2】风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修．若先请甲施工队单独做3天，
再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7200元．若先请甲施工队单独做9
天，再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7600元．
(1)甲、乙两施工队工作1天，风味美饭店老板应各付多少工钱？
(2)若甲、乙两施工队合作，则需要同时做几天才能完成施工任务？
【变式3】羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的 工程、 工程，甲工
程队晴天需要 天完成，雨天工作效率下降 ；乙工程队晴天需 天完成，雨天工作效率下降 ，实
际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（ ）天．
A． B． C． D．
【变式4】某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两
个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工
程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工
米．【必考点5 行程问题】
【例1】甲、乙两人准备自行车骑行比赛，相约一同训练．两人从相距80千米的两地同时出发，相向而
行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发 小时后两者相遇．则甲、乙两人的速度
分别为 ．
【例2】一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行
比顺流航行多用4小时．则该轮船在静水中的速度为 千米/小时，水流速度为 米/小时．
【例3】列二元一次方程组解决实际问题：小明从家到学校需要先走一段上坡路再走一段下坡路，小明上
坡平均每小时走 ，下坡平均每小时走 ，那么从家走到学校需要15分钟，如果放学回家时，小明
的上坡和下坡的平均速度不变，则从学校回家需要20分钟，请问小明家与学校的距离是多少千米？
【例4】甲、乙两人都以不变的速度在400米的环形路上跑步．如果同时同地出发，反向而行，每隔2分
钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次．已知甲比乙跑得快．
(1)甲、乙两人速度分别是多少米每分钟？
(2)甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？
【变式1】小明骑自行车去某景区，出发时，他先以 的速度走平路，而后又以 的速度上坡到
达景区，共用了 ；返回时，他先以 的速度下坡，而后以 的速度走过平路，回到原出发
点，共用了 ，求从出发点到景区的路程．
【变式2】两列火车同时从相距 千米的两地相向出发， 小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车
早出发 小时，那么在第二列火车出发 小时后相遇，求两列火车的速度．
【变式3】一列快车长 ，慢车长 ，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开所用时间为
；若两车相向而行，两车从相遇到完全离开所用时间为 ，求两车的平均速度各是多少？
【变式4】甲，乙在 的环形跑道上跑步，两人从某起点同时出发．如果同向而行，那么经过 甲比
乙多跑一圈；如果反向而行，那么经过 两人第一次相遇．
(1)求甲，乙两人的速度；
(2)甲，乙同向而行时，丙也在跑道上跑步，且与甲，乙方向一致．若出发 后甲追上丙，出发 后乙
追上丙，则出发时丙在甲，乙前面多少米？丙的速度是多少？
【必考点6 销售问题】
【例1】随着冬季的来临，某商场准备购进一批冬装进行销售．若3件甲品牌冬装和1件乙品牌冬装的进
价为210元；2件甲品牌冬装和3件乙品牌冬装的进价为280元．
(1)求甲、乙两种品牌的冬装每件的进价分别为多少元？
(2)若甲品牌冬装每件的售价为80元，乙品牌冬装每件的售价为110元，若该商场同时购进甲、乙两种品牌的冬装共25件，总进价恰好为1400元，求商场销售完这批服装共盈利多少元？
【例2】列方程（组）解应用题：
某超市用9600元购进甲、乙两种商品共200件，这两种商品的进价，标价如下表：
价格
甲种 乙种
类型
进价
30 60
（元/件）
标价
50 90
（元/件）
(1)求甲、乙两种商品各购进多少件？
(2)若甲种商品按标价下降a元出售，乙种商品按标价八折出售，那么这批商品全部售出后，超市共获利
2640元，求a的值．
【变式1】“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和
20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元．
(1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元；
(2)该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础
上加价 进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元．
【变式2】茶叶是我省西南地区特产，某村部分青年返乡创业生产销售 ， 两种茶叶，去年年初制订的
计划是完成总销售利润 万元．经过努力，其中生产销售 种茶叶的利润比原计划增加 ，生产销售
种茶叶的利润比原计划增加 ，实际生产销售的总利润为 万元，他们去年生产销售 ， 两种茶叶
实际完成的销售利润各多少万元？
【变式3】为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两
种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B
款奶茶，共需270元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自
主选择加料一份或者不加料．
(1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元；
(2)在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了220元，请问有几种购买方
案？
(3)若小华恰好用了380元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的 ，则B款加料的奶茶
买了多少杯？【变式4】佰洋电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是2025年
3月前两周的销售情况：
销售数量
销售时
销售总额
段
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 18000元
第二周 4台 10台 31000元
(1)求A，B两种型号的净水器的销售单价？
(2)由于前两周两种净水器都销售一空，电器公司第三周采购这两种型号的净水器共30台，恰好花费54000
元，求A种型号的净水器采购了多少台？
(3)在（2）的条件下，电器公司第三周开始销售部分刚购进的A型号和B型号净水器，但发现市场将要被
新款智能净水器所取代，为扩大销售量，将剩余B种型号净水器按售价的七折进行销售，A种型号净水器
原售价不变，当第三周采购的30台净水器都销售一空后统计这30台净水器的利润为6700元，求电器公司
第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为多少个？
【必考点7 方案问题】
【例1】已知用2辆 型车和1辆 型车装满货物一次可运货10吨；用1辆 型车和2辆 型车装满货物
一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用 型车 辆， 型车 辆，一次运完，且恰
好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)一辆 型车和一辆 型车装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案．
(3)若 型车每辆租金1000元/次， 型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租
金费．
【变式1】一方有难八方支援，某市政府筹集了 抗旱物资打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供
选择，每辆车的运载能力和运费如下（假设每辆车均满载）：
车型 甲 乙 丙
每辆汽车运载量 5 8 10
50
每辆汽车运费/元 400 600
0
(1)若全部物资都用乙、丙两种车型来运送，需运费8200元，乙、丙两种车型各需几辆？(2)为了节约运费，该市政府决定一共安排16辆运送车辆，且甲、乙、丙三种车型都参与运送，请你用列
方程组的方法求三种车型各有多少辆．
(3)哪种方案的运费最少？最少是多少元？
【变式2】途经武冈境内的新新高速预计2025年底可完工通车，为了加快施工进度， 施工方将引进A，B
两种型号的卡车进入工地运载施工材料．已知用2辆A型车和1辆B型车装满施工材料一次可运10吨；用
1辆A型车和2辆B型车装满施工材料一次可运11吨．
(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满施工材料一次可分别运多少吨？
(2)现有80吨施工材料需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆 至少1辆且A型车数
量少于B型车），一次运完，且恰好每辆车都装满施工材料、若A型车每辆需费用100元/次，B型车每辆
需费用120元/次，请你设计出所有用车方案并选出最省钱的用车方案，求出此时最少费用．
【变式3】某景点的门票价格如下表：
购票人数 90及以上
门票单价/元 48 45 42
(1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40
且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？
(2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，
但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付
门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人．
【变式4】绍兴是个鱼米之乡，物产丰富，每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，现有甲、乙、丙三种车型
供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（t/辆） 1 3 4
汽车运费（元/辆） 100 250 300
(1)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费5300元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆；
(2)如果打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，且它们的总辆数为20辆，请你设计一种满足条件的运
输方案，并求出该方案的总费用．（每个档次的得分不同，优秀>良好>合格）
车型 甲 乙 丙 总费用
注意：4800元 总费用 元为良好总费用 元为合格
汽车辆
数【必考点8 古代问题】
【例1】在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图 ，图中各行从左到右列
出的算筹数分别表示未知数 ， 的系数与相应的常数，图 的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表
达就是 ，则图 所示的算筹图所表示的方程组为 （ ）
A． B．
C． D．
【例2】我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙
10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的 ．若设甲原有 钱，乙原有 钱，则可列
方程（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】我国古代数学著作《九章算术》中有一道“买田”问题，其大致意思是：用一万钱可买好田和
坏田共一百亩，若……问好田和坏田分别买了多少亩？设买好田x 亩，坏田y 亩，可列出符合题意的方程组 根据已有信息，则题中用“……”表示的缺失条件应为 （ ）
A．好田三百亩用一钱，坏田五百亩用七钱
B．好田七百亩用五百钱，坏田一亩用三百钱
C．好田五百亩用七钱，坏田三百亩用一钱
D．好田一亩用三百钱，坏田七亩用五百钱
【变式2】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载有这样一道题：“今有善行者行一百步，
不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之．” 意思是：同样时间段内，
走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上
走路慢的人？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了y步，根据题意可列方程
组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】我国传统数学名著 九章算术 记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六
两 问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有 头牛、 只羊，值 两银子； 头牛、 只羊，值 两银
子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)某商人准备用 两银子买牛和羊 要求既有羊又有牛，且银两须全部用完 ，且羊的数量不少于牛数量
的 倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【变式4】阅读下列材料，解决问题．
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史
上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱
一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”
译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这
一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
(1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只．①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）．
②根据题意，列出一个含有x，y的方程________．
(2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有
多少只？
(3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由．
