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培优点 3 隐零点问题
导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”，既能确定其
存在，但又无法用显性的代数进行表达．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通
过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题．
考点一 不含参函数的隐零点问题
例1 (2022·济宁质检)已知函数f(x)＝acos x＋bex(a，b∈R)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的
切线方程为y＝－x.
(1)求实数a，b的值；
(2)当x∈时，f(x)≤c(c∈Z)恒成立，求c的最小值．
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规律方法 已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，利用零点存
在定理，判断零点存在，设方程f′(x)＝0的根为x ，则①有关系式f′(x)＝0成立，②注意
0 0
确定x 的合适范围．
0
跟踪演练1 (2022·郑州模拟)已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2ln x(a>0)．
(1)若a>0，求f(x)的单调递增区间；
(2)当a＝0时，证明：f(x)<2ex－x－4 (其中e为自然对数的底数)．
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考点二 含参函数的隐零点问题
例2 已知函数f(x)＝ln x－kx(k∈R)，g(x)＝x(ex－2)，若g(x)－f(x)≥1恒成立，求k的取值
范围．
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________________________________________________________________________规律方法 已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无
法求出，设方程f′(x)＝0的根为x ，则①有关系式f′(x)＝0成立，该关系式给出了x ，a
0 0 0
的关系；②注意确定x 的合适范围，往往和a的范围有关．
0
跟踪演练2 (2022·凉山模拟)设函数f(x)＝x－aln x－2.若a＝1，f′(x)为f(x)的导函数，当
x>1时，ln x＋1>(1＋k)f′(x)，求整数k的最大值．
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