专题一培优点3　隐零点问题_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_二轮复习_2023年高考数学二轮复习讲义+课件（全国版文科）_2023年高考数学二轮复习讲义（全国版文科）_440

培优点 3 隐零点问题 导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”，既能确定其 存在，但又无法用显性的代数进行表达．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通 过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题． 考点一 不含参函数的隐零点问题 例1 (2022·济宁质检)已知函数f(x)＝acos x＋bex(a，b∈R)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的 切线方程为y＝－x. (1)求实数a，b的值； (2)当x∈时，f(x)≤c(c∈Z)恒成立，求c的最小值． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 规律方法 已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，利用零点存 在定理，判断零点存在，设方程f′(x)＝0的根为x ，则①有关系式f′(x)＝0成立，②注意 0 0 确定x 的合适范围． 0 跟踪演练1 (2022·郑州模拟)已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2ln x(a>0)． (1)若a>0，求f(x)的单调递增区间； (2)当a＝0时，证明：f(x)<2ex－x－4 (其中e为自然对数的底数)． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 考点二 含参函数的隐零点问题 例2 已知函数f(x)＝ln x－kx(k∈R)，g(x)＝x(ex－2)，若g(x)－f(x)≥1恒成立，求k的取值 范围． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无 法求出，设方程f′(x)＝0的根为x ，则①有关系式f′(x)＝0成立，该关系式给出了x ，a 0 0 0 的关系；②注意确定x 的合适范围，往往和a的范围有关． 0 跟踪演练2 (2022·凉山模拟)设函数f(x)＝x－aln x－2.若a＝1，f′(x)为f(x)的导函数，当 x>1时，ln x＋1>(1＋k)f′(x)，求整数k的最大值． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________