文档内容
12.4 角平分线的性质和判定
【考点1 角平分线的性质在线段中的应用】
【考点2 角平分线的性质在求角中的应用】
【考点3 角平分线的性质在实际中的应用】
【考点4角平分线的性质的判定】
【考点5 角平分线的性质的判定和性质综合】
知识点1 角的平分线的性质
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
1
2、分别以M,N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
2
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别
为D，E。∴PD=PE。
【考点1 角平分线的性质在线段中的应用】
【典例1】（2023秋•南宁期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，
若BC＝5，BD＝3，则点D到AB的距离是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-1】（2024春•惠来县期中）如图，AP平分∠BAC，PD⊥AC于点D，若PD＝6，
则P到AB的距离是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式1-2】（2024•米东区一模）如图，在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于点
D，过点 D 作 DE⊥AB，垂足恰好是边 AB 的中点 E，若 AD＝3cm，则 BE 的长为
（ ）
A． B．4cm C． D．6cm
【变式1-3】（2024•天山区一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺规作图法作出射线
AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点2 角平分线的性质在求面积中的应用】
【典例2】（2023秋•公安县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝
8，CD＝3，则△ABD的面积是（ ）A．12 B．8 C．24 D．11
【变式2-1】（2023秋•保定期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD
交BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（ ）
A．30 B．15 C．20 D．27
【变式2-2】（2023秋•韶关期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的
角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．
A．24 B．27 C．30 D．33
【变式2-3】（2023秋•绿园区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，若AB＝10，AC
＝8，则S△ABD ：S△ACD ＝（ ）
A．25：16 B．5：4 C．16：25 D．4：5【考点3 角平分线的性质在实际中的应用】
【典例3】（2023秋•铜官区期末）如图，直线l ，l ，l 表示三条公路．现要建造一个中转
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站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【变式3-1】（2023秋•德庆县期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一
凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三边的中垂线的交点
【变式3-2】（2020春•章丘区期末）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形
区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的
距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．在AC、BC两边高线的交点处
B．在AC、BC两边中线的交点处
C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处【变式3-3】（2023春•宝鸡期中）如图所示，点H是△ABC内一点，要使点H到AB、BC
的距离相等，且S△ABH ＝S△ACH ，点H是（ ）
A．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
C．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
D．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
知识点 2 角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
重要拓展：
1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，
三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，
它们的面积比等于另外两边的长度的比。
∵AD是∠BAC的角平分线；
∴DF=DE；
1 1
∵S = AB·DF；S = AC·DE；
△ADB 2 △ADC 2
S AB
△ADB
∴ = ；
S AC
△ADC【题型4角平分线的性质的判定】
【典例4】（2024春•秦都区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线
BE，CF相交于点G，连接AG．求证：AG平分∠BAC．
【变式 4-1】（2024•古浪县二模）如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．
【变式4-2】（2024•武威三模）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝
CF
求证：AD平分∠BAC．【变式4-3】（2023秋•广安期末）如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于D，
且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC．
【题型5 角平分线的性质的判定和性质综合】
【典例5】（2023秋•凤山县期末）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，
∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接
DE．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD ＝15，求△ABE的面积．
【变式5-1】（2023秋•宁津县校级期中）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD
于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AE＝8，DE＝2，求AB的长．【变式5-2】（2023春•来宾期中）如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON
于B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．
（1）求证：OP平分∠MON．
（2）若∠MON＝80°，求∠PAB的度数．
【变式 5-3】（2022秋•池州期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，
DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
一．选择题（共7小题）
1．（2024•广南县模拟）如图，射线OP平分∠AOB，PC⊥OA，垂足为C，点M是射线
OB上的一个动点，若CP＝10，则线段PM最短为（ ）A．5 B．10 C．15 D．20
2．（2024•柳州三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，BC＝6，对角线BD
平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．15 B．12 C．8 D．6
3．（2023秋•哈密市期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如
果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集
贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
4．（2024春•苏家屯区校级月考）如图所示，点 O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，
OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝3，AB＝12，则△AOB的面积是（ ）
A．9 B．18 C．24 D．30
5．（2023秋•定陶区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线
的交点，且BC＝4cm，AC＝5cm，则点O到边AB的距离为（ ）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
6．（2024•振兴区校级模拟）如图，AM是△ABC的角平分线，以M为圆心适当长为半径
画弧交直线AB于D，E两点，分别以D，E为圆心以大于 为半径画弧，两弧相交
于点N（M，N位于直线AB的两侧），作直线MN交AB于点F，若AC＝5，MF＝2，
则△AMC的面积为（ ）
A．3 B．7 C．5 D．10
7．（2023秋•建湖县期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点
P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
二．解答题（共5小题）
8．（2024春•章丘区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，
DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，求证：D在∠BAC的角平分线上．9．（2022秋•利川市期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，
且AE平分∠BAD．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）求证：AB+CD＝AD．
10．（2023秋•西乡塘区校级月考）如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，
且∠BAD与∠BCD互补．
（1）点D到∠ABC两边的距离是否相等？如果相等，请说明理由．
（2）求证：AD＝CD．11．（2023春•定边县校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝
76°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若DE⊥AC，垂足为E，DE＝2，AB＝6，求△ABD的面积．
12．（2023秋•龙山区期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．
（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数．
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，求△ADC的面积．
