文档内容
12.4 角平分线的性质和判定
【考点1 角平分线的性质在线段中的应用】
【考点2 角平分线的性质在求角中的应用】
【考点3 角平分线的性质在实际中的应用】
【考点4角平分线的性质的判定】
【考点5 角平分线的性质的判定和性质综合】
知识点1 角的平分线的性质
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
1
2、分别以M,N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
2
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别
为D，E。∴PD=PE。
【考点1 角平分线的性质在线段中的应用】
【典例1】（2023秋•南宁期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，
若BC＝5，BD＝3，则点D到AB的距离是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BC＝5，BD＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3＝2，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝2，
即点D到AB的距离是2，
故选：A．
【变式1-1】（2024春•惠来县期中）如图，AP平分∠BAC，PD⊥AC于点D，若PD＝6，
则P到AB的距离是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解答】解：∵AP是∠BAC的平分线，PD⊥BC于点D，
∴点P到边AB的距离等于PD＝6．
故选：C．
【变式1-2】（2024•米东区一模）如图，在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于点
D，过点 D 作 DE⊥AB，垂足恰好是边 AB 的中点 E，若 AD＝3cm，则 BE 的长为（ ）
A． B．4cm C． D．6cm
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DE⊥AB，E为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠B＝∠CAD＝∠BAD，
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠BAD+∠CAD＝180°﹣∠C＝90°，
∴∠B＝∠CAD＝30°，
∵∠C＝90°，AD＝3cm，
∴CD＝ AD＝ cm，
由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝ （cm），
∴AB＝2AC＝3 cm，
∴BE＝AE＝ AB＝ （cm），
故选：A．
【变式1-3】（2024•天山区一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺规作图法作出射线
AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故选：A．
【考点2 角平分线的性质在求面积中的应用】
【典例2】（2023秋•公安县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝
8，CD＝3，则△ABD的面积是（ ）
A．12 B．8 C．24 D．11
【答案】A
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，如图所示：
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，CD＝3，
∴CD＝DE＝3，
∴
故选：A．
【变式2-1】（2023秋•保定期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD
交BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（ ）A．30 B．15 C．20 D．27
【答案】B
【解答】解：过D作DH⊥AB于H，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DH＝DC＝3，
∵AB＝10，
∴△ABD的面积＝ AB•DH ×10×3＝15．
故选：B．
【变式2-2】（2023秋•韶关期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的
角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．
A．24 B．27 C．30 D．33
【答案】B
【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3，
同理可得OF＝OD＝3，
∴S△ABC ＝S△OAB +S△OBC +S△OAC＝ ×OE×AB+ ×OD×BC+ ×OF×AC
＝ （AB+BC+AC），
∵△ABC的周长是18，
∴S△ABC ＝ ×18＝27（cm2）．
故选：B．
【变式2-3】（2023秋•绿园区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，若AB＝10，AC
＝8，则S△ABD ：S△ACD ＝（ ）
A．25：16 B．5：4 C．16：25 D．4：5
【答案】B
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB和AC的距离相等，
∴S△ABD ：S△ACD ＝AB：AC＝10：8＝5：4，
故选：B．
【考点3 角平分线的性质在实际中的应用】
【典例3】（2023秋•铜官区期末）如图，直线l ，l ，l 表示三条公路．现要建造一个中转
1 2 3
站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ）A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【答案】D
【解答】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．
【变式3-1】（2023秋•德庆县期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一
凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三边的中垂线的交点
【答案】B
【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：B．【变式3-2】（2020春•章丘区期末）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形
区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的
距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．在AC、BC两边高线的交点处
B．在AC、BC两边中线的交点处
C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
【答案】C
【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．
故选：C．
【变式3-3】（2023春•宝鸡期中）如图所示，点H是△ABC内一点，要使点H到AB、BC
的距离相等，且S△ABH ＝S△ACH ，点H是（ ）
A．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
C．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
D．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
【答案】B
【解答】解：如图，延长AH，交BC于点E，
∵点H到AB、BC的距离相等，
∴点H在∠ABC的平分线上，∵S△ABH ＝S△ACH ，S△BHE ＝S△CHE ，
∴S△ABE ＝S△ACE ，
∴AE是BC边上的中线，
∴点H是∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点，
故选：B．
知识点 2 角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
重要拓展：
1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，
三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，
它们的面积比等于另外两边的长度的比。
∵AD是∠BAC的角平分线；
∴DF=DE；
1 1
∵S = AB·DF；S = AC·DE；
△ADB 2 △ADC 2
S AB
△ADB
∴ = ；
S AC
△ADC【题型4角平分线的性质的判定】
【典例4】（2024春•秦都区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线
BE，CF相交于点G，连接AG．求证：AG平分∠BAC．
【答案】见详解．
【解答】证明：过点G作GH⊥BC于点H，GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，
∵BE，CF分别平分∠ABC和∠ACB，
∴GM＝GH，GN＝GH，
∴GM＝GN．
∵GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，
∴AG平分∠BAC．
【变式 4-1】（2024•古浪县二模）如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．
，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD是△ABC的角平分线．
【变式4-2】（2024•武威三模）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝
CF
求证：AD平分∠BAC．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
在Rt△ADE与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD平分∠BAC．
【变式4-3】（2023秋•广安期末）如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于D，
且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DF＝DE，
∴AD平分∠BAC．
【题型5 角平分线的性质的判定和性质综合】
【典例5】（2023秋•凤山县期末）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，
∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接
DE．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD ＝15，求△ABE的面积．
【答案】（1）答案见解答过程；（2） ．
【解答】（1）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，如图：
∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°，
∴∠FAE＝∠CAD＝40，
即CA为∠DAF的平分线，
又EF⊥AB，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∴点E在∠ADC的平分线上，
∴DE平分∠ADC；
（2）解：设EG＝x，
由（1）得：EF＝EH＝EG＝x，
∵S△ACD ＝15，AD＝4，CD＝8，
∴ AD•EG+ CD•EH＝15，
即：4x+8x＝30，
解得：x＝2.5，
∴EF＝x＝2.5，
∴S△ABE ＝ AB•EF＝ ×7×2.5＝ ．
【变式5-1】（2023秋•宁津县校级期中）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD
于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AE＝8，DE＝2，求AB的长．
【答案】（1）见解答；（2）6．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，
∴∠DEC＝∠CFB＝90°，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF，
在△CDE与△CBF中，
，，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴CE＝CF，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：由（1）可得BF＝DE＝2，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AE＝AF＝8，
∴AB＝AF﹣BF＝6．
【变式5-2】（2023春•来宾期中）如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON
于B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．
（1）求证：OP平分∠MON．
（2）若∠MON＝80°，求∠PAB的度数．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB，
∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，
∴OP平分∠MON（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（2）解：∵∠MON＝80°，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，
∴∠APB＝360°﹣90°×2﹣80°＝100°，
∵∠PAB＝∠PBA，
∴∠PAB＝ （180°﹣100°）＝40°．
【变式 5-3】（2022秋•池州期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，
DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
一．选择题（共7小题）
1．（2024•广南县模拟）如图，射线OP平分∠AOB，PC⊥OA，垂足为C，点M是射线
OB上的一个动点，若CP＝10，则线段PM最短为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【解答】解：根据垂线段最短可知，当PM⊥OB时，PM的值最短，
∵OP平分∠AOB，CP⊥OA，PM⊥OB，
∴PM＝CP＝10，∴PM的最小值为10．
故选：B．
2．（2024•柳州三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，BC＝6，对角线BD
平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．15 B．12 C．8 D．6
【答案】B
【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝4，
∵BC＝6，
∴△BCD的面积＝ BC•DE＝ ×6×4＝12，
故选：B．
3．（2023秋•哈密市期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如
果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集
贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【答案】C【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．
4．（2024春•苏家屯区校级月考）如图所示，点 O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，
OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝3，AB＝12，则△AOB的面积是（ ）
A．9 B．18 C．24 D．30
【答案】B
【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝3，
∴△AOB的面积＝ ．
故选：B．
5．（2023秋•定陶区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线
的交点，且BC＝4cm，AC＝5cm，则点O到边AB的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】A
【解答】解：∵点O为∠CAB与∠ACB的平分线的交点，∴点O在∠ACB的角平分线上，
∴点O到△ABC的三边的距离相等，
过O作OP⊥AB，连接OB，
S△
ABC
＝ ＝ OP•
（AB+BC+AC），
又∵AC＝5，BC＝4，△ABC为直角三角形，∠B＝90°
∴AB＝3，
∴ ×3×4＝ •OP（3+4+5），
解得：OP＝1．
故选：A．
6．（2024•振兴区校级模拟）如图，AM是△ABC的角平分线，以M为圆心适当长为半径
画弧交直线AB于D，E两点，分别以D，E为圆心以大于 为半径画弧，两弧相交
于点N（M，N位于直线AB的两侧），作直线MN交AB于点F，若AC＝5，MF＝2，
则△AMC的面积为（ ）
A．3 B．7 C．5 D．10
【答案】C
【解答】解：由作法得MF垂直平分AB，
∵AM平分∠BAC，
∴点M到AB的距离等于点M到AC的距离等于MF＝2，
∴△AMC的面积＝ ×2×5＝5．故选：C．
7．（2023秋•建湖县期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点
P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】D
【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC，
∴PA＝PE＝PD，
∵AD＝10，
∴PE＝5，即点P到BC的距离是5，
故选：D．
二．解答题（共5小题）
8．（2024春•章丘区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，
DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，求证：D在∠BAC的角平分线上．【答案】见解答．
【解答】解：∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△BDE和△DCF中，
，
∴△BDE≌△DCF（AAS），
∴DE＝DF，
而DE⊥AB，DF⊥AC，
∴D在∠BAC的角平分线上．
9．（2022秋•利川市期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，
且AE平分∠BAD．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）求证：AB+CD＝AD．
【答案】见解析．
【解答】证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，
∴BE＝EF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴CE＝EF，
又∵∠C＝90°，EF⊥AD，
∴DE是∠ADC的平分线．
（2）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠B＝∠C＝90°，
∴AB＝AF，DC＝DF，
∴AB+CD＝AF+FD＝AD．
10．（2023秋•西乡塘区校级月考）如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，
且∠BAD与∠BCD互补．
（1）点D到∠ABC两边的距离是否相等？如果相等，请说明理由．
（2）求证：AD＝CD．
【答案】（1）见解析；
（2）证明见解析．
【解答】（1）解：点D到∠ABC两边的距离相等，理由：角平分线上的点到角的两边
的距离相等．
（2）证明：在BC上截取BE＝AB，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
∵BD＝BD，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴∠A＝∠BED，AD＝DE，
∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，
∴∠C＝∠DEC，
∴DC＝DE，
∴AD＝CD．11．（2023春•定边县校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝
76°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若DE⊥AC，垂足为E，DE＝2，AB＝6，求△ABD的面积．
【答案】（1）32°；
（2）6．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝76°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝32°．
（2）过D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DF＝DE＝2，
∵AB＝6，
∴△ABD的面积＝ AB•FD＝6．
12．（2023秋•龙山区期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数．
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，求△ADC的面积．
【答案】（1）130°；
（2）2．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝ ∠ACB＝ ×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝1，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝1，
∴△ADC的面积＝ DF•AC＝ ×1×4＝2．
