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使得这个点到
13.4 课题学习：最短路径问题 导学案
点 A，点 B 的
一、学习目标：
距离的和最短？
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
重点：应用所学知识解决最短路径问题.
难点：选择合理的方法解决问题.
二、学习过程：
作 法 ：
课前热身
____________
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
____________
_________;(依
据 ：
____________
________).
探 究 2 ： 点
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪
A，B 分别是
条最短？为什么？
直线 l 同侧
的两个点，如
何在 l 上找
到一个点，使
得这个点到点
A、点 B 的距
问题解决---（牧马人饮马问题）
离的和最短？
问题：如图，牧马人从 A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B地.
牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？
探究1：现在假设点A,B分别是直线l 异侧的两个点，如何在l上找到一个点请呈现证明过程：
典例解析
例1.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，
点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
由于河岸
宽度是固定的，
因此当 AM+NB
最 小 时 ，
AM+MN+NB 最
小. 这样问题
例2.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点
就进一步转化
C是y轴上的一个动点，且 A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长
为：当点N在
最小时点C的坐标是（ ）
直线b的什么
A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0）
位 置 时 ，
AM+NB 最小？
能否通过图形
的变化(轴对
称、平移等)，
把右图的情况
问题解决---（造桥选址问题）
转化为左图的
问题 ：(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥
情况？
MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，
桥要与河垂直.)达标检测
1.如图，直线
l 是一条河，
P、Q 是两个
村庄．欲在 l
上的某处修建
如图，将 AM沿与河岸垂直的方向平移，点 M移动到点 N，点A移动到点
一个水泵站,
A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什
向 P、Q 两地
么位置时，A′N+NB最小？（请在组内讨论，并画出图形）
供水，现有如
下四种铺设方
案,图中实线
表示铺设的管
道，则所需管
道最短的是(
)
请呈现证明过程：
典例解析
2. 如 图 ， 在
例3.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经
△ ABC 中 ，
两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方
AB=AC，AD、
向的,怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
CE 是△ABC 的
两条中线，P
是 AD 上一个
动点,则下列
线段的长度等
于 BP+EP 最小
值的是( )A.BC B.CE C.AD D.AC 且建的桥都是
与河岸垂直的．
桥建在何处才
能使从 A 到 B
的路径最短?
(保留作图痕
3.有一条以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现要 迹,不写作法)
在河上建一座桥梁 MN(桥与河岸垂直)，使两村庄之间的距离最短，从作图痕
迹上来看，正确的是( )
4.如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3.
7.如图，已知
(1)用直尺和圆规作边AB的垂直平分线MN;
∠MON=40°，
(2)在直线MN上找一点D，使△ADC的周长最小，并求出△ADC的最小周长.
P 为∠MON 内
一 定 点 ， OM
上有一点 A，
ON 上有一点
5.甲、乙、丙、丁四人做接力游戏，开始时，甲和乙分别站在∠AOB内的点P
B ， 当 △ PAB
与点Q处，丙站在OA上，丁站在OB上.游戏规则:甲将接力棒传给乙，乙将接
的周长取最小
力棒传给丙，丙将接力棒传给丁，最后丁跑到终点P处.如果甲、乙、丙、丁
值 时 ， 求
四人速度相同，试作图求出丙、丁必须站在何处，他们比赛所用时间最短.
∠APB的度数.
6.如图，如果A，B两地之间有两条平行的河流，现要在河上分别建一座桥，
