文档内容
14.1.5 单项式与多项式相乘 教学设计
一、教学目标：
1.探索并掌握单项式乘以多项式的法则.
2.灵活运用单项式乘以多项式的法则进行运算.
二、教学重、难点：
重点：单项式与多项式乘法法的应用.
难点：单项式与多项式相乘时结果的符号的确定.
三、教学过程：
复习回顾
1.请说出单项式与单项式相乘的法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字
母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.什么叫多项式？几个单项式的和叫做多项式.
3.什么叫多项式的项？在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.
练一练：
1.计算：4a2x5·(-3a3bx2)
解：原式=[4·(-3)]·(a2·a3)·(x5·x2)·b=-12a5x7b
2.说出多项式2x2-3x-1的项. 2x2、-3x、-1
知识精讲
章前引言
绿地面积，要把街心花园的一块长 p 米，宽 b 米的长方形绿地，向两边分别加宽 a 米
和 c 米，你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？不同的表示方法之间有什么关系？
如何从数学的角度认识不同表示法之间的关系？
方法一：p(a + b + c) ①
方法二：pa + pb + pc ②
由于①②表示同一个数量，所以p(a + b + c)= pa + pb + pc单项式乘多项式
根据乘法的分配律：
p(a + b + c)= p a + p b + p c
上面的等式提供了单项式与多项式相乘的方法：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
注：积的项数与多项式的项数相同.
典例解析
例1.计算：
2 1
(1) (-4x2)(3x+1) (2) (3ab2-2ab)·2ab
解：(1) (-4x2)(3x+1) =(-4x2)(3x)+(-4x2)×1=(-4×3)(x2 · x)+(-4x2) =-12x3-4x2
2 1 2 1 1 1
(2) (3 ab2-2ab)·2ab=3 ab2·2ab+(-2ab)·2ab=3a2b3-a2b2
把单项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘的问题.
【针对练习】
1.计算：
(1) 3a(5a-2b) (2) (x-3y)·(-6x)
解：(1) 3a(5a-2b) =3a·5a+3a·(-2b) =15a2-6ab
(2) (x-3y)·(-6x) =x·(-6x)+(-3y)·(-6x) =-6x2+18xy
2.化简：x(x-1)+2x(x+1)-3x(2x-5)
解：x(x-1)+2x(x+1)-3x(2x-5)
=x·x+x·(-1)+2x·x+2x·1+(-3x)·2x+(-3x)·(-5)
=x2-x+2x2+2x-6x2+15x
=-3x2+16x
例2.计算:
1 1
(1)a3-2a[ a2-3( a-1)]; (2) [xy(x2﹣xy)﹣x2y(x﹣y)]•3xy2
2 3
1 1 1
(1)解：a3-2a[ a2-3( a-1)]=a3-2a( a2-a+3)=a3-a3+2a2-6a
2 3 2
=2a2-6a．
(2) 解：[xy（x2﹣xy）﹣x2y（x﹣y）]•3xy2＝（x3y﹣x2y2﹣x3y+x2y2）•3xy2＝0．例3.计算：
(1)(-2a2b) 3 ⋅(3b2-4a+6); (2)(-2m) 2 ⋅ (1 m2-5m-3 ) .
4
解：（1） =-8a6b3 （3b2-4a+6）=-24a6b5+32a7b3-48a6b3；
(-2a2b) 3 ⋅(3b2-4a+6) ⋅
（2）(-2m) 2 ⋅ (1 m2-5m-3 ) =4m2 ⋅( 1 m2-5m-3)=m4-20m3-12m2
4 4
【针对练习】计算：
(1) (-3x2 ) 2 ⋅(-x2+2x-1) ; (2) (-2ab) 2 ⋅ (3 ab2-3ab+ 2 a )
4 5
解：(1) ．
(-3x2
)
2 ⋅(-x2+2x-1)=9x4 (-x2+2x-1)=-9x6+18x5-9x4
(2) 解 :(-2ab) 2 ⋅ (3 ab2-3ab+ 2 a ) =4a2b2 ⋅ 3 ab2-4a2b2 ⋅3ab+4a2b2 ⋅ 2 a=
4 5 4 5
8
3a3b4-12a3b3+ a3b2
5
例4．已知 ，求 ， 的值．
ax(5x-3x2y+by)=10x2-6x3y+2xy a b
解：∵
ax(5x-3x2y+by)=5ax2-3ax3y+abxy=10x2-6x3y+2xy
∴5a=10，-3a=-6，ab=2
∴a=2，b=1．
例5.先化简，再求值： ，其中 ．
3a2(a3b2-2ab)-3a(-a2b) 2 (a-2) 2+|b+1|=0
解：
3a2(a3b2-2ab)-3a(-a2b) 2
＝3a5b2-6a3b-3a5b2
＝-6a3b，
∵ ， ， ，
(a-2) 2+|b+1|=0 (a-2) 2≥0 |b+1|≥0
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
解得：a＝2，b＝﹣1，
∴原式＝﹣6×23×（﹣1）＝48．
【针对练习】先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)， 其中a＝－2.解：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)
＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2
＝－20a2＋9a.
当a＝－2时，
原式＝－20×4－9×2＝－98.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.计算2x(3x2+1)，正确的结果是( )
A.5x3+2x B.6x3+1 C.6x3+2x D.6x2+2x
2.在一次数学课.上，学习了单项式乘多项式.小明回家后拿出课堂笔记本复习，发现这样一道
题: -3x(-2x2+3x-1)=6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写( )
A.9x2 B.-9x2 C.9x D.-9x
3.要使6x3(x2+ax+1)的展开式中不含x4项，则a应等于( )
1
A.-6 B. -1 C. D.0
6
4.计算:
(1)3a(2a2-1) (2)(2x-y)(-4x) (3)2x(x-2)-4x(x-1)
5.计算:
-3[y-(3x2-3xy)]-[y+2(4x2-4xy)]
6.先化简再求值：
[ 5x y2(x2-3xy)-(-3x2y) 3] ⋅(xy) 2
，其中x＝-1，y＝2.
7.任意给定一个非零数a，按下列程序计算．
（1）请用含a的代数式表示计算程序，并给予化简；
（2）当输入的数a=-5时，求输出结果．
8.一家住房的平面结构如所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上瓷砖，至少需
要多少平方米的瓷砖？【参考答案】
1. C
2. B
3. D
4.解:(1)3a(2a2-1)=6a3-3a; (2)(2x-y)(-4x)=-8x2+4xy;
(3)2x(x-2)-4x(x-1)=2x2-4x-4x2+4x=2x2-4x2-4x+4x=-2x2
5.解：原式
=-3[y-3x2+3xy]-[y+8x2-8xy]
=-3 y+9x2-9xy- y-8x2+8xy
=9x2-8x2-9xy+8xy-3 y- y
=x2-xy-4 y．
6.解：
[ 5x y2(x2-3xy)-(-3x2y) 3] ⋅(xy) 2
=(5x3y2-15x2y3+27x6 y3)⋅x2y2
=5x5y4-15x4 y5+27x8y5，
当x＝﹣1，y＝2时，
原式＝
5×(-1) 5×24-15×(-1) 2×25+27×(-1) 8×25
＝-5×16-15×32+27×32
＝304．
7.解：（1）由题意可得，计算程序为：(2a-4)×a-3a+5，
(2a-4)×a-3a+5
=2a2-4a-3a+5
=2a2-7a+5，
即运算程序为(2a-4)×a-3a+5，化简后的结果为2a2-7a+5；
（2）当a=﹣5时，输出结果为：，
2a2-7a+5=2×(-5) 2-7×(-5)+5=90
即当输入的数a=﹣5时，输出结果是90．
8.解：由题意得：
y(4x-x-2x)+x(4 y-2y)+2x×4 y
=xy+2xy+8xy，
=11xy（平方米），
答：至少需要11xy平方米的瓷砖．
四、教学反思：
本节知识的重点是让学生理解单项式与多项式相乘的法则，并能应用. 这就必须要求学生
对乘法的分配律以及单项式与单项式相乘的法则有一定的基础，因此课前可以要求学生先复
习该部分的知识，同时在上新课前也可以通过练习题让学生回忆知识. 对于运算法则的得
出，教师通过“试一试”逐步解题，通过计算演示法则的内容，更有利于学生理解运算法则.
