文档内容
14.2.1 平方差公式 教学设计
一、教学目标：
1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.
2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.
二、教学重、难点：
重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解.
难点：平方差公式的应用.
三、教学过程：
情境引入
从前，有位狡猾的地主把一边长为 a米的正方形土地租给张老汉种植. 第二年，这地主对张
老汉说：“我把你这块地一边减少5米，另一边增加5米，租金不变，再继续租给你，你也
没吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得也没吃亏，就答应了. 回到家，就把这件事对邻居们
一讲，大伙一听，都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉很吃惊……那么同学们，你知道张
老汉为什么吃亏吗？
知识精讲
探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x-1)=_______；(2) (m+2)(m-2)=______；(3) (2x+1)(2x-1)=_______.
计算：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
思考：根据下面的演示，你能通过求阴影部分的面积说明平方差公式吗？分析：(1) 左图中阴影部分的面积为_______；(2) 将阴影部分拼成右图的一个长方形，这个
长方形的长是____，宽是____，面积___________.
典例解析
例1.计算：
(1) (3x+2)(3x-2) (2) (-x+2y)(-x-2y)
分析：在(1)中，可以把 3x 看成 a ，2 看成 b ，即
(3x + 2)(3 x - 2)=(3x)2-22
(a + b)(a - b)= a2 - b2
解：(1) (3x+2)(3x-2) =(3x)2-22= 9x2-4
(2) (-x+2y)(-x-2y) =(-x)2-(2y)2= x2-4y2
【点睛】应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这
两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平
方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
【针对练习】
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1) (x+2)(x-2)=x2-2 ( ) 改正：_____________________.
(2) (-3a-2)(3a-2)=9a2-4 ( ) 改正：_____________________.
2.运用平方差公式计算：
(1) (a+3b)(a-3b) (2) (3+2a)(-3+2a)
解：(1)原式=a2-(3b)2=a2-9b2
(2)原式=(2a+3)(2a-3)=(2a)2-32=4a2-9
知识精讲
观察：
(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点.
{7×9= ____ ¿¿¿¿ {11 × 13 = ____ ¿¿¿¿ {79 × 81 = ____ ¿¿¿¿
(2)从上的过程中，你发现了什么规律？
三个连续整数中，首尾两数的积，等于中间数的平方减1.(3)这一规律用字母可表示为___________________，它的正确性可用_____________说明.
典例解析
例2.计算：
(1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) (2) 102×98
解：(1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =y2-22-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5=-4y+1
(2) 102×98=(100+2)×(100-2) =1002-22=10000-4=9996
(y-1)(y+5)= (y2-5)？
(只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行.)
【针对练习】运用平方差公式计算：
(1) 51×49 (2) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
解：(1)原式=(50+1)×(50-1)=502-12=2500-1=2499
(2)原式=(3x)2-42-(6x2-4x+9x-6) =9x2-16-6x2+4x-9x+6=3x2-5x-10
例3.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
原式＝5×12－5×22＝－15.
【针对练习】先化简，再求值：(3a+1)(3a-1)-9a(a-1)，其中a=2．
解：(3a+1)(3a-1)-9a(a-1)
=9a2-1-9a2+9a
=9a-1
当a=2时，原式=9×2-1=17.
例4.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
解：原式＝9n2－1－(9－n2) ＝10n2－10.
∵(10n2－10)÷10=n2-1，
n为正整数，
∴n2-1为整数，
即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
例5.如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为 b的小正方形，然后将剩余部分拼成图 2所示长方形．
(1)上述操作能验证的等式是________．
A.
a2-2ab+b2=(a-b) 2
B.
a2-b2=(a+b)(a-b)
C.
a2-ab=a(a-b)
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x2-4 y2=18，x-2y=3，求x+2y．
②计算：( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )．
1- × 1- × 1- ×⋯× 1- × 1-
22 32 42 20212 20222
解：（1）B
（2）①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1 1 1 1 1 1
②原式=(1- )×(1+ )×(1- )×(1+ )×⋯×(1+ )×(1- )
2 2 3 3 2022 2022
1 3 2 4 2021 2023
= × × × ×⋯× ×
2 2 3 3 2022 2022
1 2023
= ×
2 2022
2023
=
4044
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。达标检测
1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A．(a+b)(-a-b) B．(b+m)(m-b) C．(-x-b)(x-b) D．(x+a)(x-a)
2． ，括号内应填（ ）
(5a2+4b2)()=25a4-16b4
A．5a2+4b2 B．5a2-4b2 C．-5a2-4b2 D．-5a2+4b2
3．若(92-1)(112-1) ，则n的值是（ ）
=8×102
n
A．12 B．10 C．8 D．8×9
4．计算2011×2013-20122的结果是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．3
5．已知a2-b2=8,b-a=2，则a+b等于（ ）
A．-8 B．8 C．-4 D．4
6．小明家承包了一个长方形的鱼塘，原来长为 5x米，宽为(5x-4)米，现将这个鱼塘的长和
宽都增加2米，则其面积增加了（ ）
A．(20x+4)平方米 B．(20x-4)平方米
C．4平方米 D．20x平方米
7．在边长为a的正方形中剪去一个边长为 b的小正方形（a>b，如图1），把余下部分沿虚
线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（
）
A． B．
(a+b) 2=a2+2ab+b2 (a-b) 2=a2-2ab+b2
C． D．
a(a+b)=a2+ab (a+b)(a-b)=a2-b2
8．(2+1)(22+1)(24+1)…(216+1)的结果为（ ）
A．232-1 B．232+1 C．232 D．216
9．若20202-4=2018m，则m=______．10．已知 x+y-3=0，x2- y2=-12，则3x ⋅3y=______，x－y的值为______.
11．已知 ， ，则 ______.
m+n=3 m-n=12 (m-5) 2-(n+5) 2=
12．在平面直角坐标系中，已知 A(﹣a，8)，B(﹣11，b)关于y轴对称，其中x＝a+b，y＝2，
则式子(x+2y﹣3)(x﹣2y+3)的值为_____．
1
13．先化简，再求值：(3x+ y)(3x- y)-3x(3x- y)，其中x=-2，y= ．
2
14．如图，大正方形与小正方形的边长分别为a、b，其面积之差是10，求阴影部分的面积．
15．观察下列等式然后完成下面问题：
；
(x-1)(x+1)=x2-1
；
(x-1)(x2+x+1)=x3-1
；
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1
……
(1)验证第二个等式成立；
(2)猜想规律 = ；
(x-1)(xn+xn-1+xn-2+⋯+x2+x+1)
(3)由以上情形，你能求出下面式子的结果吗？ = ；
(x7-1)÷(x-1)
(4)已知x3+x2+x+1=0，求x2021的值．
【参考答案】
1. A
2. B
3. A
4. C5. C
6. B
7. D
8. A
9. 2022
10. 27 -4
11. 6
12. 8
13.解：(3x+ y)(3x- y)-3x(3x- y)
=9x2- y2-9x2+3xy
=3xy- y2；
1
把x=-2，y= 代入原式得：
2
1 (1) 2
原式＝3×(-2)× -
2 2
1
=-3-
4
13
=- ．
4
14.解：由题知：a2-b2=10
1 1
阴影部分的面积是： AE•BC+ AE•BD
2 2
1
＝ AE(BC+BD)
2
1
＝ (AB﹣BE)(BC+BD)
2
1 1 1
＝ (a-b)(a+b)＝ (a2﹣b2)＝ ×10＝5．
2 2 2
答：阴影部分的面积是5．
15.（1）解：左边
=（x-1）(x2+x+1)
=x 3+x2+x-x2-x-1
❑
=x3-1左边=右边，所以等式成立；
（2）解：由题意，得 ；
(x-1)(xn+xn-1+xn-2+⋯+x2+x+1) =xn+1-1
故答案为：=xn+1-1；
（3）解：∵ ，
(x7-1) =(x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)
∴ ；
(x7-1)÷(x-1) =x6+x5+x4+x3+x2+x+1
故答案为：x6+x5+x4+x3+x2+x+1；
（4）解：∵ 即 ，
x3+x2+x+1=0 (x-1)(x3+x2+x+1)=0
∴x4-1=0即x=±1，
当x=1时，不合题意舍去；
∴ ．
x2021=(-1) 2021=-1
四、教学反思：
