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14.2 三角形全等的判定
题型一 用SSS证明三角形全等
1．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上， ， ，
，求证： ．
2．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图， ．求证： ．3．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，A、D、F、B在同一直线上， ，且
．求证： ．
4．（24-25八年级上·天津和平·期中）已知： ，求证： ．
题型二 全等的性质和SSS综合
1．（23-24八年级上·广西桂林·期中）如图，点A、E、B、D在同一条直线上，且
．
(1)求证： ；
(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．
2．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，点 、 、 、 在一条直线上， ， ，
，求证： , .3．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，点 ， ， ， 在同一直线上， ， ，
．试说明： ．
4．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知：如图， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
题型三 用SAS证明三角形全等
1．（24-25八年级上·广东湛江·期中）已知 ， ， ， 在 上，且 ，求证：
．
2．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知：如图，点 ， ， ， 在一条直线上，
， ， ．求证： ．
3．（24-25八年级上·北京·期中）补全证明过程：如图，已知B，E，F，C四个点在同一条直线上，， ， ，求证： ．
证明：∵ ，
∴______ ______，
即______ ______
在 和 中，
∴ （______）．
4．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图， ， ， ．求证： ．
题型四 全等的性质和SAS综合
1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，点E在边 上， 与 交于点F， ， ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ，则 ________ ．
2．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图， ， ， ， ，B，C，E三点
在同一条直线上．(1)求证： ；
(2)探究 与 之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由．
3．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，已知 ， 是 的边 和 上的高， 为 的延
长线上一点， 为 上一点，且 ， ．
(1) ．
(2)请写出 与 的关系，并说明理由．
4．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图， 与 中， ， ，
，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)求 的度数．
题型五 用ASA(AAS)证明三角形全等
1．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图， 相交于点O， ， ．求证：
．2．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，点 在同一直线上， ， ， ．
求证： ．
3．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图， 且 ， ．求证： ．
4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，点 ， 在线段 上， ， ，
．求证： ．
题型六 全等的性质和ASA(AAS)综合
1．（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，点 在一条直线上， ，求
证： ．2．（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，点 在一条直线上， ，
求证： ．
3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图， ， 于 ， 于 ， 、 交于点
，求证： ．
4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在 中， 平分 是线段 上
一点， 交直线 于点 ，且 ．
(1)求证: ;
(2)求 的度数．
题型七 用HL证明三角形全等
1．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图， 分别是 、 上的点，M、N分别是
上的点，若 、 ，求证： ．2．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，已知 ，垂足分别为E，F，
，求证： ．
3．（24-25八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，点 ， ， ， 在一条直线上， ， ，
．求证： ．
4．（24-25八年级上·宁夏固原·阶段练习）如图， 交于点 ．求证：
．
题型八 全等的性质和HL综合
1．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图， 与 相交于点 ， ， 于点 ，
于点 ，求证： ．2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上， ，
， ， ，
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在 中， 于点D，E为 上一点，且
， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，试求△ 的面积．
4．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图， ， 相交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
题型九 添加条件使三角形全等
1．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，在四边形 中， ，若用“ ”证明
，需添加的条件是 ．2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，已知 ，若添加一个条件使 ，则可
添加 ．
3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，线段 与 相交于 点， ，请添加一个
条件 使得 ．（写出一种情况即可）
4．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如图， ，只添加一个条件使 ，添加的条件
是 ．（只需添加一个即可）．
题型一 倍长中线模型
1．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在 中， 平分 ，E为 的中点，
．求证： ．
2．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，点E在 的中线 的延长线上，且 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的取值范围；
(3)若 ，求证： 是直角三角形．
3．（22-23八年级上·山东滨州·期末）如图， 是 的中线， ， ，求中线 的取值
范围．
4．（21-22八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图， 为 中 边上的中线 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的取值范围．
题型二 旋转模型
1．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知： ， ， ．(1)如图1当点 在 上， ______．
(2)如图2猜想 与 的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）
2．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】
（1）如图1， 是正方形， ，当 在 边上， 在 边上时，请你探究 、 与
之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2， 是正方形， ，当 在 的延长线上， 在 的延长线上时，请你探究
、 与 之间的数量关系，并证明你的结论．
3．（21-22八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在 中， ， ，直线 经过点C，且
于点D， 于点E．(1)当直线 绕点C旋转到图1的位置时，求证：① ；② ；
(2)当直线 绕点C旋转到图2的位置时，试问 、 、 具有怎样的等量关系，并加以证明；
(3)当直线 绕点C旋转到图3的位置时，试问 、 、 具有怎样的等量关系？（请直接写出这个
等量关系，不需要证明）．
4．（20-21八年级上·山西临汾·期中）如图， ， ， ，
（1）求 的度数；
（2）若 ，求证： ．
题型三 垂线模型
1．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图， 为等腰直角三角形， ， ．
(1)求证： ；
(2)求证：
2．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知 中， 90°， ，直线
经过点 直线 ， 直线 ，垂足分别为点 ．求证： ．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在 中， 三点都在直线 上，并且有
．请写出 三条线段的数量关系，并说明理由．3．（20-21八年级上·四川广安·期末）在 中， ，过点C作直线 ，过点A作
于点M，过点B作 于点N．
（1）如图1，当直线 在 外时，证明： ．
（2）如图2，当直线 经过 内部时，其他条件不变，则 与 之间有怎样的数量关系？
请说明理由．
4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图， 三点在同一条直线上， ， ，
．
(1)求证： ；
(2)当 满足__________时， ？
题型四 证明线段的和差问题
1．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在 中， ， ， 与
的平分线 ， 交于点 ．
(1)求 的度数；
(2)求证： ．
2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形 中， ，点 ，点 分别在边 ，上，已知 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，若点 ，点 分别在边 ， 的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成
立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由．
3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图， 为等腰直角三角形， ，直线 经过点A且
绕点A在 所在平面内转动，作 ， 为垂足．
(1)如图①，求证： ；
(2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出 三条
线段的数量关系．
4．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图①，在△ 中， ， 90°，直线 是过 点
的任意一条直线， 于点 ， 于点 ．(1)求证：△ △ ．
(2)猜想 ， ， 三条线段之间的数量关系．（不写证明）
(3)在图②中，将图①中的直线 绕点 逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与 ， 重
合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形．
题型五 全等三角形综合问题
1．（24-25八年级上·河南南阳·期中）综合与探究．
如图①， ， ， ，垂足分别为A、B， ．点 在线段 上以 的
速度由点 向点 运动，同时点 从点B出发在射线 上运动．它们运动的时间为 （当点P运动结
束时，点Q运动随之结束）．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当 时， 与 是否全等，并判断此时线段
和线段 的位置关系，请分别说明理由；
(2)如图②，若“ ， ”改为“ ”，点Q的运动速度为 ，其他条件不
变，当点P、Q运动到何处时有 与 全等，请直接写出相应的x的值．
2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中， 为高， ，点E为 上的一点，
，连接 ，交 于O，若 ．(1)求 的度数；
(2)动点 从点 出发，沿线段 以每秒 个单位长度的速度向终点 运动，动点 从点 出发沿射线
以每秒 个单位长度的速度运动， 、 两点同时出发，当点 到达点 时， 、 两点同时停止运动，设
点 的运动时间为 秒，
①设 的面积为 ．请用含 的式子表示 ，并直接写出相应的 的取值范围；
②点 是直线 上一点，且 ．当 与 全等时，求 的值．
3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）四边形 中， ， ， ， 分别是边 ，
上的动点，且 ．
(1)如图1，当 ， 分别在线段 ， 上时，
①填空：若设 ，则 之间的数量关系是______；
②猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)如图2，当 ， 分别运动到在线段 ， 延长线上时，其它条件不变，（1）中②你的猜想是否仍
然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数据关系，并证明．
4．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 满足
．(1)求点 、 的坐标；
(2)如图1，若 的坐标为 ，且 于点 交 于点 ．
①求证： ．
②试求点 的坐标．
(3)如图2，若点 为 的中点，点 为 轴正半轴上一动点，连接 ，过 作 交 轴于 点，
当 点在 轴正半轴上运动的过程中，式子 的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的
值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
1．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中有点 和y轴上一动点 ，
其中 ，以点A为直角顶点在第四象限内作等腰直角 ，设点C的坐标为 ．
(1)当 时，点C的坐标为 ．
(2)动点A在运动的过程中，试判断 的值是否发生变化，若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理
由．(3)当 时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使 与 全等？若存在，请直接
写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（24-25八年级上·江西上饶·期末）（1）如图1， ， ，以 点为直角顶点， 为腰在第
三象限作等腰 ．求 点的坐标；
（2）如图2， ， 为 轴负半轴上的一个动点，当点 向 轴负半轴向下运动时，在 轴下方，以
为直角顶点， 为腰作等腰 ，过 作 轴于 点，求 的值；
（3）如图3，已知点 坐标为 ，点 在 轴的负半轴上沿负方向运动时，作 ，始终保持
， 与 轴负轴交于点 ， 与 轴正半轴交于点 ，当 点在 轴的负半轴
上沿负方向运动时，求 的值．
3．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图， 的两条高 与 交于点O， ， ．
(1)若 ，则 ______；
(2)求 的长；
(3)点F是射线 上一点，且 ，动点P从点O出发，沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终
点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线 以每秒5个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P、
Q两点同时停止运动，设运动时间为t（秒），当 与 全等时，直接写出t的值．
4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知，如图 ，在梯形 中， 直线 ， 直线 ，垂足
分别为D，E，点C在直线 上， ，(1)如图1，判断 的形状，并说明理由；
(2)如图1，若 ，求梯形 的面积；
(3)如图2，设梯形 的周长为m， 边中点O处有两个动点P，Q同时出发，沿着
的方向移动，点Q的速度是点P速度的3倍，当点P第一次到达点B时，两点
同时停止移动．
①两点同时停止移动时，点Q移动的路程与点P移动的路程之差____ ；（填“ ”“ ”或“ ”）
②移动过程中，点P与点Q能否相遇，如果能，直接写出两点相遇的位置．
