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14.3 角的平分线
题型一 作角平分线
1．（24-25八年级上·广东江门·期中）尺规作图：(不写作法，保留作图痕迹)作 的角平分线 ．
2．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在 中，作 的平分线交 于点D；（不写作法，
只保留作图痕迹．）
3．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知 是 的一个外角， ．(1)尺规作图，作 角平分线 ．（不写作法，保留痕迹）；
(2)求证： ．
4．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图， 中， ， ，垂足为D．
(1)求作 的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；）
(2)若 的平分线分别交 ， 于 ， 两点，证明： ．
题型二 用角平分线的性质定理证明
1．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在 中， 平分 ，且
，垂足分别为E，F．求证：
(1) ，
(2) ．
2．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在 中， 平分 ，点 是 的中点， 于
点 ， 于点 ．求证： ．3．（24-25八年级上·陕西安康·期末）如图，在 中， ， 是 的平分线，
于点M，N在边 上且 ．
(1)求证： ．
(2)试判断 与 之间存在的数量关系，并说明理由．
4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知 平分 ， 于点 ， 交
的延长线于点F，且 ，求证： ．
5．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在 中， ， 平分 ， 于点
E，点F在 上， ，求证： ．
题型三 用角平分线的性质定理求面积
1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知 的周长是 ， ， 分别平分 和
， 于点 ，且 ， 的面积是 ．2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在 中， ， 的平分线 交 于点 ，
若 ， ， ，则 的面积是 ．
3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在 中， ， 是 的平分线，如果
的面积为 ，那么 的面积为 ．
4．（22-23八年级上·黑龙江鸡西·期中）如图， 是 的角平分线， ，则
的面积是 ．
题型四 用角平分线的性质定理求线段长度
1．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，在 中， 为 的平分线， 于E，
于F， 的面积是 ， ， ，求 的长．2．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，在 中， 平分 ，过点 作 于点 ，
作 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在 中， 是它的角平分线．求证 ．
(1)在图1中完成上面的证明过程；
(2)在图2中，如果 ， ， ， 求 的长．
4．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在 ， ， 平分 ， 于点
E，点F在 上， ．
(1)求证： ；(2)若 ， ，求 的长．
题型五 用角平分线的性质定理求点到直线的距离
1．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图， 是 的角平分线，若 ， ，则点
到 的距离是 ．
2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在 中，以点A为圆心，小于 长为半径作圆弧，分别
交 于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于 的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线
，交 于点D． ，那么点D到 的距离是 ．
3．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在 中， ，
O是 与 平分线的交点，则点O到 的距离为 ．
4．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，若
，则点 到斜边 的距离为 ．题型六 角平分线的判定定理
1．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图， ，M是 的中点， 平分 ，求证：
平分 ．
2．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在 中， 是 的中点， 于 ，
于点 ，且 ．求证： 平分 ．
3．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图， ， 于点E， 交 的延长线于点
D，且 ，求证： 是 的平分线．
4．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）在三角形 中， 为 的中点， ， ，
垂足分别是 ， ， ．求证：点 在 的平分线上．题型七 角平分线性质的实际应用
1．（22-23八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路和铁路的距离相等，
并且离交叉处 ，这个集贸市场应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺 ）
2．（2023·吉林长春·模拟预测）三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路
的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法．
3．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，要在 区建一个电子商品批发市场，使它到公路 、铁路 的
距离相等，并且离公路与铁路的交叉处 ，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位
置，保留作图痕迹，比例尺为 ）．
4．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图公路AE、AF、BC两两相交．求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在 和 中， ， ，若
，连接 交于点 ；
(1)求证： ．
(2)求 的度数．
(3)连接 ，求证： 平分 ．
(4)如图2， 是等腰直角三角形， ， ， ，点 是射线 上的一点，
连接 ，在直线 上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形 ，连接 ，若 ，请直接
写出 的值．
2．（24-25八年级上·广东汕头·期中）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 、 、 的长分别为a、b、c，且满足
，点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线 匀速运动，设点P运动
时间为t秒．则A的坐标为_________，B的坐标为_________．
【数学理解】
（1）如图2，连接 ，当 平分 时，求出t的值．【深入探究】
（2）过P作 交直线 于D，交y轴于Q，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使
与 全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）【发现问题】（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在
中，若 ，求 边上的中线 的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下
解决方法：如图①，延长 到点E，使 ，连接 ，得到 ，他用到的判定定理是
__________；（用字母表示），可以求得 边上的中线 的取值范围是__________．
【解决问题】
（2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”的字样，可以考虑构造全等三角形，要学好
数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图 ，当 平分 时，若
，求 的值（用含m，n的式子表示）；（3）如图 ， 平分 ，延长 到E，使得 ，连接 ，若 ，
求 的值．
4．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，且 ， 满
足 ．
(1)求点 ， 坐标；
(2)如图1，以 为斜边构造等腰直角 ，请直接写出点 的坐标；
(3)如图2，已知等腰直角 中， ， ，点 是腰 上的一点（不与 ， 重合），
连接 ，过点 作 ，垂足为点 ．
①若 是 的角平分线，求证： ；
②探究：如图3，连接 ，当点 在线段 上运动时（不与 ， 重合）， 的大小是否发生变化？
若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，
是一个任意角，在边 ， 上分别取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 ，
重合，即 ．过角尺顶点 的射线 便是 的平分线，已知角尺的夹角 ．
【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理；
【变式判断】张明同学认为当 时，工人师傅就不需要先在边 ， 上分别取 ，直
接移动角尺，使角尺的两边分别与 ， 相交于点 ， ，且满足 ，如图2所示，便可以得
到 平分 ，你觉得张明的观点对吗？并说明理由；
【拓展探究】如图3， ， 平分 ， 是射线 上的一点，点 在射线 上运动，过
点 作 ，与直线 交于点 ，过点 作 于点 .若 ， ，请直接写出 的
长．
2．（24-25八年级上·山东临沂·期中）综合与实践
【问题情境】
在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识：
定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，
如图1，在四边形 中， ， ，这种四边形被称为等补四边形．
【探究实践】
经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现．（1）如图2，李明发现，连接 ，则 为 的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理
由；
（2）如图3，王红发现，在等补四边形 中，当 ， ， 时， ，
与 之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图4，已知 ， ， ，若 ， ，则 的长度是
_________．
3．（23-24八年级上·江苏泰州·期中） 如图1，在平面直角坐标系 中，点 点P为x
轴正半轴上一点，直线 直线 ，垂足为C，直线 与y轴交于点E，设P点的横坐标为m．
(1)求证： ；
(2)求E点坐标 (用含m的代数式表示)；
(3)如图2， 连接 ，作点O关于 的对称点D，连接 与 轴交于点F．
①求证：当 时， 平分 ；
②试探索 三条线段长度之间的数量关系，直接写出结论．
4．（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）已知点 是 平分线上一点， 的两边 、 分别
与射线 、 相交于 ， 两点，且 过点 作 ，垂足为 ．(1)如图 ，当点 在线段 上时，求证： ；
(2)如图 ，当点 在线段 的延长线上时，探究线段 、 与 之间的等量关系；
(3)如图 ，在（ ）的条件下，若 ，连接 ，作 的平分线 交 于点 ，交
于点 ，连接 并延长交 于点 若 ， ，求线段 的长．
