文档内容
14.3 角的平分线(第 2 课时) 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
在学生学习了角平分线性质的基础上，本节课进一步研究角平分线性质定理的逆定理——角的内部到
角的两边距离相等的点在角的平分线上。这是全等三角形知识的运用和延续，是今后学习三角形的内心的
基础。
2. 内容分析
本节课建立在学生已学习角平分线性质的基础上，体现了数学知识 “性质与判定” 的逻辑对应关系，
是对相关知识体系的完善。引导学生在已有知识框架中自然过渡到新内容的学习，符合学生的认知规律。
在教学过程中，需要引导学生运用全等三角形的判定和性质来推导逆定理，从而加深对全等三角形知识的
理解和灵活运用能力的培养。该逆定理是 “今后学习三角形的内心的基础”，让学生认识到当前知识的
重要性，激发其学习动力。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并证明角平分线性质定理的逆定理。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）探索并证明角平分线性质定理的逆定理，会用角平分线性质定理的逆定理解决问题。
（2）经历角平分线性质定理的逆定理的探究过程，培养逻辑推理能力，体会逆向思维；在应用逆定
理解决问题的过程中，体会转化思想。
（3）在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，提高有条理地思考和表达的能力；在
解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识。
2. 目标解析
（1）学生既要理解逆定理的具体内容，还要掌握其探索和证明过程。探索是对知识形成路径的感知，
证明则是对逻辑严谨性的把握。学生还须具备将逆定理与具体情境结合的能力，包括识别问题中 “到角
两边距离相等” 的条件，或将定理作为推理依据解决几何证明、计算等问题，体现知识的应用价值。
（2）本节课通过引导学生探索和证明角平分线性质定理的逆定理，渗透逻辑推理思想；借助性质与
逆定理的对比，让学生体验逆向思维；同时，将新问题转化为全等三角形知识来解决，强化转化思想，提
升知识迁移能力。
（3）在探究和证明角平分线性质定理的逆定理过程中，发展直观想象和数学抽象素养，提升逻辑推
理能力。在解决实际问题时，学生能够将实际情境抽象为数学模型，运用逆定理解决问题，增强数学建模
意识和应用意识。三、教学问题诊断分析
1. 问题分析
（1）对逆定理的条件与结论理解混淆
学生可能误将逆定理与原定理的条件、结论颠倒，或忽略“角的内部”这一关键前提，导致对定理的
适用范围判断错误。
（2）应用逆定理解决问题时难以识别适用场景
面对实际问题，学生可能找不到“到角两边距离相等”的隐含条件，或不知道用逆定理判断点与角平
分线的位置关系。
2. 解决策略
（1）利用表格梳理原定理与逆定理的条件和结论，用不同颜色标注“角的内部”这一限制条件，结
合反例加深理解，强化对定理的精准认知。
（2）设计分层例题，从直接给出距离相等条件的基础题，到需要作辅助线（垂线）的综合题，逐步
引导学生提炼“距离相等→点在角的平分线上”的解题思路，同时通过错题辨析强化应用细节。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能熟练运用角平分线性质定理的逆定理解决问题。
四、教学过程设计
（一）复习引入
1.上节课我们学习了基本尺规作图：作一个角的平分线.你能说说作图的步骤吗？
2.角的平分线具有什么性质呢？
3.反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗?也就是说，到角两边距离相等的点一定
在角的平分线上吗?
4.如何证明一个几何命题呢？
一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
设计意图：呈现 “角的平分线” 包含定义、画法、性质、判定的知识框架，且体现 “性质与判定
互逆”，帮助学生梳理知识脉络，清晰认识角的平分线相关知识的整体结构，理解判定（逆定理）在结构
中的位置，完善认知体系。
（二）合作探究
已知： 点 P 是∠ AOB 内部一点， PD ⊥ OA ， PE ⊥ OB ，垂足分别为 D ， E . PD = PE .
求证： 点 P 在∠ AOB 的平分线上 .
解 ∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
∴ Rt△OPD≌Rt△OPE(HL).
∴ ∠POD=∠POE，即OP平分∠AOB，
∴点P在∠AOB的平分线上.
角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
符号语言：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴ OP平分∠AOB .
在角的内部，角的平分线(顶点除外)可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
设计意图：在证明过程中，引导学生从垂直条件得到直角，依据全等三角形的判定（HL）证明三角形
全等，再由全等推出角相等，最终得出点在角平分线上，一步步严谨推导，强化学生的逻辑推理能力。给
出判定定理的符号语言，规范学生的几何表达，帮助学生学会用简洁、准确的符号语言描述定理。
（三）典例分析
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证:
(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等；
(2)△ABC的三条角平分线交于一点.
分析 (1)由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到
三边的距离相等. (2)要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上.
证明 (1)过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
(2)由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上，
∴△ABC的三条角平分线交于一点.
设计意图：本例题聚焦角平分线的性质定理与逆定理的综合运用，构建知识关联网络。通过“性质证
距离相等→逆定理证点在角平分线上”的逻辑，让学生深度体会二者“互逆且互补”的关系，强化知识的
综合运用能力。提前让学生感知“角平分线交点”具备的特殊性质（到三边等距、三线共点 ），为“三
角形内心”的学习筑牢基础。
（四）巩固练习
1．如图，点P在∠MAN内部，PC⊥AM，PB⊥AN，垂足分别为B，C．若PB=PC，∠MAN=46°，则
∠APC的度数为（ D ）
A．23° B．44° C．46° D．67°
2．如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线OB，且与射线OA交于点C，另一把直尺压
住射线OA，且与第一把直尺交于点P，作射线OP，已知∠POB=40°，则∠ACP的度数是（ C ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
第1题图 第2题图 第3题图
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上一点，过点D作DE⊥AB于点E，若
DE=DC，则∠ADE的度数为 75° ．
4．如图，M，N分别是边OA，OB上的点，点P在射线OC上，下列条件不能说明OC平分∠AOB的是
（ C ）
A．PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN B．PM=PN，OM=ON
C．OM=ON，∠OPM=∠OPN D．PM⊥OA，PN⊥OB，OM=ON第4题图 第5题图
5．如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，则①△ABE≌△ACF；②△BOF≌△COE；③点O
在∠BAC的角平分线上，其中正确的结论是（ A ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF.求证:FD平分
∠BFE.
证明 ∵AB⊥CD，CE⊥AD，
∴∠ABD=∠CED=90°.
在△ABD和△CED中，
∴ △ABD≌△CED(AAS).
∴ DB=DE，
又∵DB⊥FB，DE⊥FE，
∴FD平分∠BFE.
7.如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，
BF，CG相交于点 P，求证:
(1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等；
(2)点P在∠A的平分线上.
证明 (1)过点P作PD⊥AD，PE⊥BC，PF⊥AE，垂足分别为D，E，F.
∵BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
(2)由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等，∴点P在∠A的平分线上.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知
的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（黑龙江）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（
B ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
第1题图 第2题图
2．（2020·湖北）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，BD,CE交于点
F，连接AF，下列结论：①BD=CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE=45°．其中正确结论的个
数有（ C ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（七）小结梳理
设计意图：用思维导图帮助学生梳理角平分线的定义、画法、性质和判定，将零散知识串联，构建清
晰、完整的知识网络，强化对角平分线相关知识的整体认知。
（八）布置作业
1.必做题：习题14.3 第2，3题.
2.探究性作业：复习题14 第14题.
五、教学反思
