文档内容
16.1 二次根式（单元教学设计）
一、【单元目标】
通过提出三个问题，引出二次根式的概念，让学生对新概念的出现产生兴趣，并积极探究二次根式的
概念与性质，形成对知识点的全面认识，并促进学生思维的发展；
（1）通过一些计算面积的实例，引出二次根式的概念，让学生知道生活中也有很多二次根式的例子，
同时体会到二次根式有意义的条件，确定被开方数字母的取值范围；经过二次根式的性质的发现过程，体
会归纳、猜想的思想方法；同时掌握二次根式的性质并用来进行简单的计算；
（2）通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对基础概念的理解，提升了学生的数学抽象素
养，进一步发展了学生的类比推理素养；
（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；
（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，
同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；
二、【单元知识结构框架】
1．二次根式的定义
一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
2．二次根式有意义的条件
被开方数(式)为非负数；有意义⇔a≥0.
3．二次根式的性质1：()2＝a(a≥0)；
4．二次根式的性质2：＝a(a≥0)．
5．代数式的定义
用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式
子叫做代数式．
三、【学情分析】
1．认知基础
本节内容是学习二次根式的基础，理解二次根式的概念，同时理解二次根式有意义的条件，并熟悉二
次根式的性质用来进行有关的计算；二次根式是初中阶段重要的知识点之一，学习好二次根式，为后续的
计算打下良好的基础；
2.认知障碍
1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；
2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范
围．
3．经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；4．了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算．
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约3课时
教学重点： 能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；
教学难点： 能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母
的取值范围；经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；了解并掌握二次根式的性质，
会运用其进行有关计算．
五、【教学问题诊断分析】
【情景引入】
问题1：你能用带有根号的式子填空吗？
(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为________．
(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h＝
5t2，如果用含有h的式子表示t，则t＝______．
问题2：上面得到的式子，，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？
问题3：等于什么？
我们不妨取a的一些值，如2，－2，3，－3，…分别计算出对应的的值，看看有什么规律．
＝＝2；＝＝2；
＝＝3；＝＝3；…
你能概括一下的值吗？
16.1.1 二次根式
问题1：（二次根式的定义）
下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6)(x≤3)；
(7)(x≥0)；(8)；(9)；
(10)(ab≥0)．
【破解方法】判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号
“”；(2)被开方数是非负数．
【解析】因为，，＝，(x≤3)，，(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根
式.的根指数不是2，，(x≥0)，的被开方数小于0，所以不是二次根式．
问题2：（根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围）求使下列式子有意义的x的取值范围．(1)；(2)；(3).
【破解方法】含二次根式的式子有意义的条件：
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须
是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分
母不为零．
【解析】：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜.当x＜时，有意义；
(2)由题意得解得x≤3且x≠2.当x≤3且x≠2时，有意义；
(3)由题意得解得x≥－5且x≠0.当x≥－5且x≠0时，有意义．
问题3：（利用二次根式的非负性求解） (1)已知a、b满足＋|b－|＝0，解关于x的方程(a＋2)x＋b2
＝a－1；
(2)已知x、y都是实数，且y＝＋＋4，求yx的平方根．
【破解方法】二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.
【解析】(1)根据题意得解得则(a＋2)x＋b2＝a－1，即－2x＋3＝－5，解得x＝4；
(2)根据题意得解得x＝3.则y＝4，故yx＝43＝64，±＝±8，∴yx的平方根为±8.
问题4：（和二次根式有关的规律探究题）先观察下列等式，再回答下列问题．
①＝1＋－＝1；
②＝1＋－＝1；
③＝1＋－＝1.
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出的结果；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用
含n的式子表示的等式(n为正整数)．
【破解方法】(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母
为n，第三个分数的分母就是n＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前
项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．
【解析】：(1)＝1＋－＝1；
(2)＝1＋－＝1(n为正整数)．
16.1.2 二次根式的性质
问题5：（二次根式的性质）化简：(1)()2；(2)；(3)；(4)(－)2.
【破解方法】利用＝|a|进行计算与化简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数
要为非负数．
【解析】(1)()2＝5；(2)＝5；(3)＝5；(4)(－)2＝5.
问题6：（ () 2 ＝ a (a ≥ 0 ) 的有关应用 ）在实数范围内分解因式．
(1)a2－13；(2)4a2－5；(3)x4－4x2＋4.
【破解方法】一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．这
就需要把一个非负数表示成平方的形式．
【解析】(1)a2－13＝a2－()2＝(a＋)(a－)；
(2)4a2－5＝(2a)2－()2＝(2a＋)(2a－)；
(3)x4－4x2＋4＝(x2－2)2＝[(x＋)(x－)]2＝(x＋)2(x－)2.
问题7：（结合数轴利用二次根式的性质进行化简）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
＋2－|a－b|.
【破解方法】结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围
和熟练运用二次根式的性质．
【解析】从数轴上a，b的位置关系可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，且b＞a，故a＋1＜0，b－1＞0，a－
b＜0.原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.
问题8：（二次根式的化简与三角形三边的关系）已知a、b、c是△ABC的三边长，化简－＋.
【破解方法】解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，再进行变换后，结合二次根式
的性质进行化简．
【解析】∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－
b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b－c.问题9：（利用分类讨论的思想进行二次根式的化简）已知x为实数时，化简＋.
【破解方法】利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正负，对于式
子＝|a|，当a的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏．
【解析】＋＝＋＝|x－1|＋|x|.当x≤0时，x－1＜0，原式＝1－x＋(－x)＝1－2x；当0＜x≤1时，x
－1≤0，原式＝1－x＋x＝1；当x＞1时，x－1＞0，原式＝x－1＋x＝2x－1.
问题10：（二次根式的规律探究性问题）细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题．
()2＋1＝2，S＝，
1
()2＋1＝3，S＝，
2
()2＋1＝4，S＝.
3
(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA 的长；
10
(3)求出S＋S＋S＋…＋S的值．
【破解方法】解题时通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔
细思考，善用联想．
【解析】(1)()2＋1＝n＋1，S＝(n是正整数)；
n
(2)∵OA＝，OA＝，OA＝，…∴OA＝；
1 2 3 10
(3)S＋S＋S＋…＋S＝＋＋＋…＋＝(1＋2＋3＋…＋10)＝.
问题11：（代数式的定义及简单应用）按照下列程序计算，表格内应输出的代数式是____________．
→→→→→
【破解方法】根据实际问题列代数式的一般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代表的意思进行
仔细辨析；(2)分清语言和图形表述中各种数量的关系；(3)根据各数量间的运算关系及运算顺序写出代数
式．
【解析】根据程序所给的运算，用代数式表示即可，
根据程序所给的运算可得输出的代数式为－n.故答案为－n.六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
1．（2023上·四川眉山·九年级校考期末）式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据 即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ，
故选：C
2．（2023上·海南·九年级期末）化简 的结果是（ ）
A． B． C．6 D．36
【答案】C
【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据公式 进行求解即可．
【详解】解：
故选：C．
3．（2023下·新疆阿克苏·八年级期末） 在实数范围内有意义，则a的取值范围是
【答案】 且
【分析】本题考查了二次根式有意义，被开方数为非负数，分母不为0，据此即可作答．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ 且
故答案为： 且
4．（2023上·河南周口·九年级校联考阶段练习）已知 ，则 ．
【答案】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及负整数指数幂的计算，根据二次根式有意义的条件得出
是解题关键．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ，
即：
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
5．（2023下·七年级课时练习）下列各式有意义，求 的取值范围．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2) 为任意实数
(3)
(4) 且
【解析】略
6．（2023下·七年级课时练习）已知 ．求 的值．
【答案】
【详解】由题意知， ， ．
原式变形为整理，得 ，两边平方，得
，即 ．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
1．（2022下·重庆酉阳·八年级校考期末）式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握定义是解题关键．如果一个式子中含有多个二
次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．直接利用二次根式的定
义分析得出答案．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故选：A．
2．（2023上·河南周口·九年级校联考阶段练习）下列语句中，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若a为任意实数，则 D．若a为任意实数，则
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质， ，据此即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴若 ，则 ，故A正确；
若 ，则 ，
∴ ，故B错误；，故C错误；
，故D错误；
故选：A
3．（2023上·河南平顶山·八年级统考期中）化简二次根式 的结果等于 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据 进行求解即可．
【详解】解： ，
故答案为：3．
4．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）要使二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的意义和性质及解不等式．概念：式子 叫二次根式．性质：
二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的意义可知，被开方数必须为
非负数，列不等式即可．
【详解】解：∵二次根式 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
5．（2023下·山东东营·八年级校考阶段练习）已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【分析】根据二次根式的定义可得 和 ，可得出 从而求出 ，即可得出结果．【详解】解：由题意可得，
，
，
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义和性质是解此题的关键．
6．（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）计算： ，圆圆的做法是
．
圆圆的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．
【答案】不正确，过程见解析
【分析】利用二次根式的性质进行化简求值，即可得到答案．
【详解】解：不正确，解题过程如下：
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．注意如果被开方数是代数式
和的形式，不能直接拆分．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1．（2023上·山东淄博·九年级校考期末）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据二次根式的性质，被开方数大于或
等于0，分母不等于0，列不等式组，即可求出x的取值范围．
【详解】解：由题意得： ，解得： ，
故选A．
2．（2024上·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期末）已知 ，化简二次根式 的正确结果为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是二次根式的定义和性质；根据二次根式的被开方数为非负数可得到 ，
由此可得到y的取值范围，然后依据 得到x的取值范围，最后根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：由 可知 ，
，
，
，
， ，
，
故选：B．
3．（北京市昌平区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）若实数 在数轴上的对应点的位置如图所
示，则 .
【答案】
【分析】本题考查了根据数轴判断有理数的大小，二次根式的性质，绝对值的意义，先根据数轴判断出来
的大小，然后化简二次根式即可，判断出来 的正负是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得 ，
，
根据 的取值可得： ，故答案为： ．
4．（2024上·甘肃天水·九年级统考期末）若 ，则 ．
【答案】2023
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．利用二次根式有意义的条件求得 和 的值，代入 计算即
可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2023．
5．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）已知如图，化简代数式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式，根据数轴上点的位置得到 ，进而得到
，据此化简二次根式和绝对值即可得到答案．
【详解】解；由题意得， ，
∴ ，
∴
．
6．（2023上·河南郑州·八年级校考期中）先观察等式，再解答问题：
① ；② ；
③ ．(1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想 的结果，并验证；
(2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）．
(3)应用上述结论，请计算 的值．
【答案】(1) ，见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，观察式子找规律，根据规律解题即可．
（1）利用题中等式的计算规律得出结果，并验证．
（2）找出第n个等式的左边为 ，右边为1与 的和，列出等式即可．
（3）按照（2）得出的等式关系，代入 即可求得结果．
【详解】（1）解： 的结果为 ；
验证：
（2）第n个等式的左边为 ，等式右边为1与 的和，
故等式如下：（3）
七、【教学反思】
