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16．1 二次根式
第 1 课时 二次根式的概念
一是看根指数是不是2，二是看被开方数是
不是非负数．
1．能用二次根式表示实际问题中的数 解：因为，，＝，(x≤3)，，(ab≥0)中的根
量及数量关系，体会研究二次根式的必要性； 指数都是2，且被开方数为非负数，所以都
(难点) 是二次根式.的根指数不是2，，(x≥0)，的被
2．能根据算术平方根的意义了解二次 开方数小于0，所以不是二次根式．
根式的概念及性质，会求二次根式中被开方 方法总结：判断一个式子是不是二次根
数中字母的取值范围．(重点) 式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)
带二次根号“”；(2)被开方数是非负数．
探究点二：二次根式有意义的条件
【类型一】 根据二次根式有意义求字母
的取值范围
一、情境导入 求使下列式子有意义的x的取值
问题1：你能用带有根号的式子填空吗？ 范围．
(1) 面 积 为 3 的 正 方 形 的 边 长 为 (1)；(2)；(3).
________，面积为 S 的正方形的边长为 解析：根据二次根式的性质和分式的意
________． 义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，
(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面 列不等式(组)求解．
积为130m2，则它的宽为________m. 解：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜.当
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面 x＜时，有意义；
所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位： (2)由题意得解得x≤3且x≠2.当x≤3
m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表 且x≠2时，有意义；
示t，则t＝______． (3)由题意得解得x≥－5且x≠0.当x≥
问题2：上面得到的式子，，，分别表示 －5且x≠0时，有意义．
什么意义？它们有什么共同特征？ 方法总结：含二次根式的式子有意义的
二、合作探究 条件：
探究点一：二次根式的定义 (1)如果一个式子中含有多个二次根式，
下列各式中，哪些是二次根式，哪 那么它们有意义的条件是各个二次根式中
些不是二次根式？ 的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式
(1)；(2)；(3)； 子中含有分母，则除了保证二次根式中的被
(4)；(5)；(6)(x≤3)； 开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
(7)(x≥0)；(8)；(9)； 【类型二】 利用二次根式的非负性求解
(10)(ab≥0)． (1)已知a、b满足＋|b－|＝0，解关
解析：要判断一个根式是不是二次根式， 于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1；
第 1 页 共 2 页(2)已知x、y都是实数，且y＝＋＋4，求
yx的平方根．
解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对 通过将新知识与旧知识进行联系与对
值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非 比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已
负性即可求得x的值，进而求得y的值，进 有的知识进行探究，由此引入二次根式．在
而可求出yx的平方根． 教学过程中让学生感受到研究二次根式是
解：(1)根据题意得解得则(a＋2)x＋b2＝ 实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧
a－1，即－2x＋3＝－5，解得x＝4； 密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．
(2)根据题意得解得x＝3.则y＝4，故yx
＝43＝64，±＝±8，∴yx的平方根为±8.
方法总结：二次根式和绝对值都具有非
负性，几个非负数的和为0，这几个非负数
都为0.
探究点三：和二次根式有关的规律探究
性问题
先观察下列等式，再回答下列问
题．
①＝1＋－＝1；
②＝1＋－＝1；
③＝1＋－＝1.
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，
写出的结果；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，试
写出用
含n的式子表示的等式(n为正整数)．
解析：(1)从三个等式中可以发现，等号
右边第一个加数都是1，第二个加数是个分
数，设分母为n，第三个分数的分母就是n＋
1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数
部分的分子也是1，分母是前项分数的分母
的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规
律的式子．
解：(1)＝1＋－＝1；
(2)＝1＋－＝1(n为正整数)．
方法总结：解答规律探究性问题，都要
通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通
过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示
出来．
三、板书设计
1．二次根式的定义
一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做
二次根式．
2．二次根式有意义的条件
被开方数(式)为非负数；有意义⇔a≥0.
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