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第 2 课时 二次根式的性质
＝(x＋)2(x－)2.
方法总结：一些式子在有理数的范围内
1．经历二次根式的性质的发现过程，体 无法分解因式，可是在实数范围内就可以继
验归纳、猜想的思想方法；(重点) 续分解因式．这就需要把一个非负数表示成
2．了解并掌握二次根式的性质，会运用 平方的形式．
其进行有关计算．(重点，难点) 探究点二：二次根式性质的综合应用
【类型一】 结合数轴利用二次根式的性
质求值或化简
已知实数a，b在数轴上的位置如
图所示，化简：＋2－|a－b|.
一、情境导入
等于什么？
我们不妨取a的一些值，如2，－2，3， 解析：根据数轴确定a和b的取值范围，
－3，…分别计算出对应的的值，看看有什么 进而确定a＋1、b－1和a－b的取值范围，
规律． 再根据二次根式的性质和绝对值的意义化
＝＝2；＝＝2； 简求解．
＝＝3；＝＝3；… 解：从数轴上a，b的位置关系可知－2
你能概括一下的值吗？ ＜a＜－1，1＜b＜2，且b＞a，故a＋1＜0，b
二、合作探究 －1＞0，a－b＜0.原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a
探究点一：二次根式的性质 －b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.
【类型一】 利用＝ | a | 、 ( ) 2 ＝ a 进行计算 方法总结：结合数轴利用二次根式的性
化简： 质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断
(1)()2；(2)；(3)；(4)(－)2. 字母的取值范围和熟练运用二次根式的性
解析：根据二次根式的性质进行计算即 质．
可． 【类型二】 二次根式的化简与三角形三
解：(1)()2＝5；(2)＝5；(3)＝5；(4)(－)2＝ 边关系的综合
5. 已知a、b、c是△ABC的三边长，
方法总结：利用＝|a|进行计算与化简， 化简－＋.
幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根 解析：根据三角形的三边关系得出b＋c
式的被开方数要为非负数． ＞a，b＋a＞c.根据二次根式的性质得出含有
【类型二】 () 2 ＝ a ( a ≥ 0) 的有关应用 绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可．
在实数范围内分解因式． 解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋
(1)a2－13；(2)4a2－5；(3)x4－4x2＋4. c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－
解析：由于任意一个非负数都可以写成 a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a
一个数的平方的形式，利用这个即可将以上 －c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b
几个式子在实数范围内分解因式． －c.
解：(1)a2－13＝a2－()2＝(a＋)(a－)； 方法总结：解答本题的关键是根据三角
(2)4a2－5＝(2a)2－()2＝(2a＋)(2a－)； 形的三边关系得出不等关系，再进行变换后，
(3)x4－4x2＋4＝(x2－2)2＝[(x＋)(x－)]2 结合二次根式的性质进行化简．
第 1 页 共 2 页【类型三】 利用分类讨论的思想对二次 探究点三：代数式的定义及简单应用
根式进行化简 按照下列程序计算，表格内应输
已知x为实数时，化简＋. 出的代数式是____________．
解析：根据＝|a|，结合绝对值的性质，将 →→→→→
x的取值范围分段进行讨论解答． 解析：根据程序所给的运算，用代数式
解：＋＝＋＝|x－1|＋|x|.当x≤0时，x－ 表示即可，
1＜0，原式＝1－x＋(－x)＝1－2x；当0＜ 根据程序所给的运算可得输出的代数
x≤1时，x－1≤0，原式＝1－x＋x＝1；当x 式为－n.故答案为－n.
＞1时，x－1＞0，原式＝x－1＋x＝2x－1. 方法总结：根据实际问题列代数式的一
方法总结：利用二次根式的性质进行化 般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代
简时，要结合具体问题，先确定出被开方数 表的意思进行仔细辨析；(2)分清语言和图形
的正负，对于式子＝|a|，当a的符号无法判 表述中各种数量的关系；(3)根据各数量间的
断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重 运算关系及运算顺序写出代数式．
不漏． 三、板书设计
【类型四】 二次根式的规 律探究性问题 1．二次根式的性质1：()2＝a(a≥0)；
细心观察，认真分析下列各式，然 2．二次根式的性质2：＝a(a≥0)．
后解答问题． 3．代数式的定义
()2＋1＝2，S＝， 用基本运算符号(基本运算符号包括加、
1
()2＋1＝3，S＝， 减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字
2
()2＋1＝4，S＝. 母连接起来的式子叫做代数式．
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新的教学理念要求教师在课堂教学中
注意引导学生进行探究学习，在课堂教学中，
对学生探索求知作出了引导，并且鼓励学生
自由发言，但在师生互动方面做得还不够，
(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上 小组间的合作不够融洽，今后的教学中应多
述变化规律； 培养学生合作交流的意识，这样有助于他们
(2)推算出OA 的长； 今后的学习和生活．
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(3)求出S＋S＋S＋…＋S的值．
解析：利用直角三角形的面积公式，观
察上述结论，会发现第n个三角形的一直角
边长就是，另一条直角边长为1，然后利用
面积公式可得．
解：(1)()2＋1＝n＋1，S＝(n是正整数)；
n
(2)∵OA＝，OA＝，OA＝，…∴OA
1 2 3 10
＝；
(3)S＋S＋S＋…＋S＝＋＋＋…＋＝(1
＋2＋3＋…＋10)＝.
方法总结：解题时通过分析找到各部分
的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律
要认真观察、仔细思考，善用联想．
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