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第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
第1课时 平行四边形的判定及性质
（4个知识点+11大题型+15道拓展培优题）
分层作业
题型目录
题型一 判断能否构成平行四边形
题型二 添一个条件成为平行四边形
题型三 数图形中平行四边形的个数
题型四 求与已知三点组成平行四边形的点个数
题型五 证明四边形是平行四边形
题型六 利用平行四边形的性质求解
题型七 利用平行四边形的性质证明
题型八 平行四边形性质的其他应用
题型九 利用平行四边形的判定与性质求解
题型十 利用平行四边形的性质与判定证明
题型十一 平行四边形的性质与判定的应用
【知识梳理】
知识点1：平行四边形的性质（一）
1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
知识点2：平行四边形的性质（二）
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
知识点3：平行四边形的判定
1. 与边有关的判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
知识点4：平行四边形的判定与性质
1.平行四边形的性质
3.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
4.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
2.平行四边形的判定
（1）与边有关的判定：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
题型一 判断能否构成平行四边形
1．下列条件不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相互垂直的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
D．两条对角线的中点同为一点的四边形是平行四边形
3．在四边形 中，若分别给出四个条件：① ，② ，③ ，④ ．现以其中的两个为一组，能判定四边形 为平行四边形的条件是 （只填序号，填上一组即可，
不必考虑所有可能情况）．
4．如图，点 、 在直线 上， 为直线 外一点，连结 ，分别以点 、 为圆心， 、 的长为
半径画弧，两弧交于点 ，连接 、 ，则四边形 是平行四边形的理由是 ．
5．在平面直角坐标系中，已知 ， ， ， 是平面内的一点，以 ， ， ， 为
顶点的四边形是平行四边形.
(1)若 ，则平行四边形 中，点 的坐标为________；
(2) 的最小值为________．
题型二 添一个条件成为平行四边形
1．如图，在四边形 中， ，若添加一个条件，能判断四边形 为平行四边形的是
（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形 中， ，要使四边形 成为平行四边形,则应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．在四边形 中， ．要使四边形 是平行四边形，则 的长为 ．
4．如图，在四边形 中， 是边 上一点，连接 并延长，与 的延长线相交
于点 ．请你再添加一个条件： ，使四边形 是平行四边形（写出一种情况即可）．5．如图，E、F是四边形 的对角线 上的两点．
(1)若 ，只添加一个条件： ，使四边形 为平行四边形．
(2)在（1）的条件下，若 ， ，求证：四边形 是平行四边形．
题型三 数图形中平行四边形的个数
1．平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，
第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，
则第⑦个图形中平行四边形的个数为（ ）．
A．40 B．44 C．47 D．493．如图， 、 、
都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；
4．如图，将 向右平移 个单位，得到 ，连接 ， ， ，则图中有 个平行四边形．5．已知 （如图），将它沿 方向平移，平移的距离为 ．
(1)作出经平移后所得的图形 ．
(2)写出 与 构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）．
题型四 求与已知三点组成平行四边形的点个数
1．如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点
的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．2．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．无数
3．在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶点
的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是 ．
4．已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为 ，则
顶点D的坐标为 ．
5．如图，在正方形网格中， 的顶点在边长为1的小正方形的顶点（格点）上，若坐标平面内的点
的坐标分别为 ， ．
(1)通过计算判断 的形状，
(2)若要使以 四个点为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D点的坐标是 ．
题型五 证明四边形是平行四边形
1．在下列四个选项中，不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．如图，下列条件不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图， ， 是相交的两条线段， 分别为它们的中点．当 绕点 旋转时，连接 ， ，
， 所得到的四边形 始终为 形（ 与 不重合）．
4．在 中，点 、 分别是 、 上的点，且 ，点 是 延长线上一点，连接 ．
添加下列条件：① ；② ；③ ；④ ．能使四边形 是平行四边形的
是 （填上所有符合要求的条件的序号）．
5．如图，四边形 中， ，对角线 交于点 ，且 ．求证：四边形 是
平行四边形．题型六 利用平行四边形的性质求解
1．如图，在 中，以点B为圆心， 的长为半径画弧，交 于点E；再分别以点A和点E为圆
心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点F；作射线 ，交 于点G．若 ， ，则 的
长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．在 中， ， ，连接对角线 ，分别以点B，D为圆心，大于 的长为半径作
弧，两弧相交于点M和N，作直线 ，分别交 ， 于点E，F，连接 ，则 的周长为（
）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，在平行四边形 中， 平分 ， ，则平行四边形 的周长是
．4．如图，在平行四边形 中， 平分 ，交 于点 ， 平分 ，交 于点 ，
， ，则 的长为 ．
5．如图，在 中， 平分 交 于点 ．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 是 的中点，连接 ，求证： 平分 ．
题型七 利用平行四边形的性质证明
1． 中，E、F是对角线 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形 一定为平行四边
形的是（ ）
A． B． C． D．
2．证明：平行四边形对角线互相平分，
已知：四边形 是平行四边形，如图所示．求证： ， ．
以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是（ ）
∴ ， ．
∵四边形 是平行四边形．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ， ．
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形 中， 是 上一点， 交 延长线于点 ， ， ，
则 ．
4．如图，在平行四边形 中（ ），直线 经过其对角线的交点 ，且分别交 ， 于
点 ， ，交 ， 的延长线于点 ， ．下列结论：① ；② ；③ ．
其中一定正确的是 （填序号）．5．如图，平行四边形 中， 的平分线交 于E， 的平分线交 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
题型八 平行四边形性质的其他应用
1．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是轴对称图形；
③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是( )
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
2．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得 ，固定 ．逆时针转
动 ，在转动过程中，关于平行四边形 的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在
转动过程中，平行四边形 的面积有最大值，最大值是 ，则（ ）
A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对
3．平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是 ．
4．在平行四边形ABCD中，动点P从点B出发，沿B C D A运动至点A停止，设点P运动的路程为
x， ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所⇒示，⇒则⇒四边形ABCD的面积是 ．
△5．下面是小明在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选
择其中一种，完成证明．
平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，四边形 是平行四边形．求证：
， ．
方法一： 方法二： 方法三：证明：如图，连接 、
证明：如图，连接 ． 证明：如图，延长 至点E． ， 与 交于点O．
你选择方法______．
证明：
题型九 利用平行四边形的判定与性质求解
1．如图，在四边形 中， ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形 ．固定一张纸条，另一
张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）A．四边形 的周长不变 B．四边形 的面积不变
C． D．
3．如图，在 中， ， ， ，将 沿 方向向右平移得到 ．
若四边形 的面积为 ，则平移距离为 ．
4．如图，在四边形 中， 平分 ， ，则 ．
5．【问题探究】如图，六边形 的六个内角均为 ，分别延长 、 交于点G，得到 ．
请判断 的形状，并证明你的结论．
【结论应用】若 ， ， ， ，直接写出六边形 的周长为 ．
题型十 利用平行四边形的性质与判定证明
1．图1，在平行四边形 中， 是锐角，在边 和 上找点E、F，使四边形 是平行四边形，现图2中有甲、乙两种方案，则说法正确的是（ ）
A．方案甲正确 B．方案乙正确
C．方案甲和乙均正确 D．两方案均不正确
2．如图，在平行四边形 中， ， 是对角线 上不同的两点，连接 ， ， ， 下列条
件中，不能得出四边形 一定是平行四边形的为( )
A． B． C． D．
3．如图，在 中，点 是 的中点， ， ， ，则 的面积为 ．
4．如图，已知 ， ， ， ， 是 的垂直平分线，分别交 、 于E、
F，连接 ，则 的周长是 ．5．如图，点 是平行四边形 对角线 上的两点，且 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ．求线段 的长．
题型十一 平行四边形的性质与判定的应用
1．已知在平面直角坐标系中有三个点： 、 、 ．在平面内确定点D，使得以A、
B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可能是( )
A． B． C． D．
2．如图，在 中， ，点E，F，G分别在边 ， ， 上， ， ，
则四边形 的周长是（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
3．已知 中， ， ，则中线 的取值范围是 ．
4．如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段
的端点在格点上，要求以 为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个
平行四边形．5．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的风网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，
以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度．
(1)使三边的长度都是有理数的直角三角形．
(2)使三边的长度都是无理数的直角三角形．
(3)使一边长为 且面积为6的平行四边形．
1．（2024下·浙江·九年级自主招生）平行四边形 中， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）已知直角坐标系内有四个点 ， ， ，
，若以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的 ， 的值可以是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2022下·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，将平行四边形 沿对角线 折叠，使点B落在点
处，若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广东肇庆·统考二模）如图1，在平行四边形 中，点P沿 方向从点A移动到点
C，设点P移动路程为x，线段 的长为y，图2是点P运动时y随x运动时y随x变化的关系图象，则
的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
5．（2024上·福建泉州·八年级校考期末）如图，在 中， ， ，点E是 边上的中点，
将 沿 翻折得 ，连接 ，A、G、E在同一直线上，则点G到 的距离为（ ）
A． B． C． D．6．（2024上·山东东营·八年级统考期末）已知 的顶点 在第三象限，对角线 的中点在坐标原
点，一边 与 轴平行且 ．若点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
7．（2024上·山东济宁·八年级统考期末）如图，已知点 ， ， ， ，C为直线
EF上一动点，则 的对角线CD的最小值是 ．
8．（2024下·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）在平行四边形 中， 的平分线 交 于
点 ， 的平分线 交 于点 ，若 ， ，则 的长为 ．
9．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，在 中， ， 是 的中点， 是 上
一点，连接 ， ， ，且 ．给出下列结论：① 平分 ；② ；③
为等边三角形；④ ．其中正确的结论为 ．（填序号）．
10．（2024上·浙江金华·八年级统考期末）如图，在直角坐标系中，点 的坐标 ，把线段 沿 轴
正方向移动4个单位，得到四边形 ．若点 在 轴上，当 时，点 的坐标为 ．
11．（2024下·北京海淀·九年级北京市十一学校校考开学考试）如图，在 中， ，
于点 ，延长 到点 ，使 ．过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ， ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ，直接写出 的长．
12．（2024下·北京·九年级校考开学考试）如图， 的对角线 ， 相交于点 ，点 ， 在
上，且 ．
(1)求证： ；
(2)过点 作 ，垂足为 ，交 于点 ，若 的周长为12，求四边形 的周长．
13．（2024下·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）在平行四边形 中，
， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，若 平分 ，连接 ，请直接写出图中的等腰三角形（ 除外）．14．（2024上·山东淄博·八年级统考期末）已知，如图， ．
(1) 的对角线 相交于点 ，直线 过点 ，分别交 于点 ．求证： ；
(2)将 （纸片）沿直线 折叠，点 落在点 处，点 落在点 处，设 交 于点 分别
交 于点 ．
①求证： ；
②连接 ，求证： ．
15．（2023上·山东济南·八年级统考期末）已知：如图，在四边形 中， ， 平分
交 于点E， ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，连接 、 ，若 ，求 的度数．
