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专题突破卷 03 导数中的公切线问题
题型一 求在曲线上一点处的切线方程
1．已知函数 则 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．若曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则 （ ）
A． B．1 C． D．
3．定义在R上的偶函数 满足 ，当 时， ，若
，下列命题：
① 是周期函数；
②函数 的图象在 处的切线方程为 ；③函数 的图象与函数 的图象的所有交点的横坐标之和为12；
④ ．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．在平面直角坐标系 中，已知点 为抛物线 ： 上一点，若抛
物线 在点 处的切线恰好与圆 ： 相切，则 （ ）
A． B． C． D．
5．若函数 ，则 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数 ，则下列结论中错误的是（ ）
A．
B． 为减函数
C．
D．曲线 在点 处的切线方程为
7．已知曲线 在点 处的切线与抛物线 也相切，则实数 的值为
（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8．已知曲线 与 ，下面结
论不正确的是（ ）
A． 有公切线
B． 在区间 上均达到一个极大值点和极小值点，则
C．不等式 在 一定成立
D．记点 处 的切线夹角的正切值绝对值是
9．设A，B，C，D为抛物线 上不同的四点，A，D关于该抛物线的对称轴对称，
平行于该抛物线在点D处的切线l.设点D到直线 和直线 的距离分别为 ， ，
已知 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
10．若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 是偶函数，当 时， ，则曲线 在 处的
切线方程为（ ）
A． B． C． D．
12．曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．13．曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
14．已知二次函数 （ 且 ）的图象与曲线 交于点P，与x轴交
于点A（异于点O），若曲线 在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为
（ ）
A． B． C． D．
15．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 的根就是函数 的
零点 ，取初始值 的图象在点 处的切线与 轴的交点的横坐标为
的图象在点 处的切线与 轴的交点的横坐标为 ，一直继续下去，得到
，它们越来越接近 ．设函数 ， ，用牛顿迭代法得到
，则实数 （ ）
A．1 B． C． D．
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！题型二 求过一点的切线方程
16．已知曲线 的一条切线方程为 ，则实数 （ ）
A． B． C．1 D．2
17．若过点 可以作两条直线与曲线 相切，则下列选项正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
18．若过点 可以作曲线 的两条切线，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
19．已知点 不在函数 的图象上，且过点 仅有一条直线与 的图
象相切，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
20．已知函数 ，若函数 有4个零点，则 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．21．若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
22．如图， 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线 为折痕将正方形在其下方的部分
向上翻折，使得每次翻折后点 都落在边 上，记为 ；折痕 与 交于点 ，点
满足关系式 ．以点 为坐标原点建立坐标系，若曲线 是由点 的轨迹及
其关于边 对称的曲线组成的，等腰梯形 的 分别与曲线 切于点
P、Q、 ，且 在x轴上．则梯形 的面积最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
23．若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ）
A． B． C． D．
24．过坐标原点作曲线 的切线，则切线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
25．若曲线 （ 且 ）有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26．已知 ，函数 的零点个数为 ，过点 与曲线 相
切的直线的条数为 ，则 的值分别为（ ）
A． B． C． D．
27．已知抛物线 ： ，过直线 ： 上的动点 可作 的两条切线，记切点
为 ，则直线 （ ）
A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点
28．已知点 是曲线 上任意一点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
29．设点 (异于原点)在曲线 上，已知过 的直线 垂直于曲线 过点 的
切线，若直线 的纵截距的取值范围是 ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
30．已知 为函数 图象上一动点，则 的最大值为
（ ）
A． B． C．1 D．
题型三 已知切线求参数问题
31．函数 恰好有一零点 ，且 ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
32．已知双曲线 的虚轴长为4，C的一条渐近线与曲线 在
处的切线垂直，M，N为C上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，则
（ ）
A． B．4 C． D．2
33．已知直线 恒在曲线 的上方，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
34．已知 ， ，直线 与曲线 相切，则 的
最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
35．贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形
软件通过它来精确画出曲线.三次函数 的图象是可由 ， ， ， 四点确定的贝塞
尔曲线，其中 ， 在 的图象上， 在点 ， 处的切线分别过点 ， .若
， ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！36．已知函数 ，曲线 在 处的切线与直线 平行，
则实数 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
37．若直线 与曲线 相切，则 （ ）
A． B． C． D．
38．首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造
性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．
雪飞天的助滑道可以看成一条线段PQ和一段圆弧 组成，如图所示．在适当的坐标系
下圆弧 所在圆C的方程为 ．若某运动员在起跳点M以倾斜角为
45°且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一
部分，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
39．已知函数 的图象在点 处的切线经过点 ，则实数m的值为
（ ）
A． B． C．1 D．2
40．函数 的图象与直线 相切，则以下错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． D．
41．已知曲线 ，过点 作该曲线的两条切线，切点分别为 ，则（ ）
A． B． C． D．3
42．已知 ，曲线 在点 处的切线 与直线 平行，则直
线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
43．已知函数 ，过点 作曲线 的两条切线，切点分别为
和 ，若 ，则实数 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
44．若曲线 与直线 相切，则实数 （ ）
A． B．1 C．2 D．
45．函数 在区间 的图象上存在两条相互垂直的切线，则 的取值范围
（ ）
A． B． C． D．
题型四 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
46．设曲线 和曲线 在它们的公共点 处有相同的切线，
则 的值为 .
47．已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象在公共点处有相同的切线，
则公共点坐标为 .
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！48．已知函数 ，函数 ．若过点
的直线l与曲线 相切于点P，与曲线 相切于点 ，当P、Q两点不
重合时，线段PQ的长为 ．
49．已知函数 点 ， 在曲线 上（ 在第一象限），过 ，
的切线相互平行，且分别交 轴于 ， 两点，则 的最小值为 ．
50．若两个函数 和 存在过点 的公切线，设切点坐
标分别为 ，则 .
51．已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象在公共点处有相同的切
线，则 .
52．曲线 在 处的切线与曲线 相切于点 ，若 且
，则实数 的值为 .
53．已知函数 的图象与函数 且 的图象在公共点处有相同的切线，
则 ，切线方程为 .
54．已知函数 .若曲线 在点 处的切线与其在点
处的切线相互垂直，则 的一个取值为 .
55．写出与函数 在 处有公共切线的一个函数 .56．写出与函数 在 处有公共切线的一个函数 ．
57．若曲线 上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线 的
“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为 ．
．
58．已知实数x，y满足 ，则 的最小值为
．
59．已知曲线 在点 处的切线与曲线 相切，则
.
60．已知曲线 与曲线 （ ）相交，且在交点处有相同的切线，
则 .
1．已知曲线 在点 处的切线与曲线 有且仅有一个公共点，
则实数a的值是（ ）
A． B．0 C．0或8 D．8
2．直线 与曲线 相切于点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知定义在 上的函数 满足 ，则曲线 在点
处的切线方程为
A． B．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！C． D．
4．过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．3
5．已知函数 为奇函数，其图象在点 处的切线方程为 ，记 的
导函数为 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
6．点P是曲线 上一个动点，则点P到直线 的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数 与 在 处有相同的切线，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．已知函数 在点 处的切线方程为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．若曲线 在点 处的切线与 在点 处的切线平行，则
（ ）
A．3 B．2 C． D．
10．若过点 可作3条直线与曲线 相切，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．11．对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 恰有一个极值点
B． 有最小值但没有最大值
C．直线 与曲线 的公共点个数最多为4
D．经过点 可作曲线 的两条切线
12．已知函数 的导函数为 ，则 ，过点 且与曲线
相切的直线方程为 .
13．若函数 的图象在点 处的切线方程为 ，则
；若方程 有两个不等的实根，则实数 的取值范围为 .
14．已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)求函数 的极值.
15．已知 ，其中 ．
(1)若函数 在 处的切线与 轴平行，求 的值；
(2)求 的极值点；
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(3)若 在 上的最大值是0，求 的取值范围．
16．已知函数 ， ，其中 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)证明：当 时 ；
(3)对任意 ， 恒成立，求实数a的取值范围.
17．已知函数 ， ， 为 的导函数．（注：
是自然对数的底数）
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 无极值点，求实数 的取值范围．
18．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证： ；
19．已知函数 .
(1)若 ，求 的图象在点 处的切线方程；
(2)若关于x的方程 恰有两个不同的实数解，求a的取值范围.20．已知 ，函数 ，其中 是自然对数的底数.
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程.
(2)已知 ， 时，讨论函数 的单调性.
(3)求证：函数 存在极值点，并求极值点 的最小值.
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