文档内容
18.2 特殊的平行四边形（单元教学设计）
一、【单元目标】
通过平行四边形的变化，引申出矩形、菱形和正方形的概念、性质和判定方法，学会从边、角、对角
线的角度去理解特殊的平行四边形的性质，学会从定义、性质和对角线的角度来判定特殊的平行四边形；
形成对知识点的全面理解，同时促进学生思维的发展；
（1）将平行四边形进行添条件转化，使之成为矩形、菱形或正方形。体会平行四边形与特殊的平行
四边形的区别与联系，同时学会边、角和对角线的角度来理解特殊的平行四边形的性质，学会从定义、性
质和对角线的角度来掌握特殊的平行四边形的判定方法，学会通过数形结合的方式，将图形归纳总结出具
体的性质，同时掌握其判定方法；
（2）通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对基础概念的理解，提升了学生的数学抽象素
养，进一步发展了学生的类比推理素养；
（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；
（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，
同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；
（5）通过观察图片，提高学生的观察事物的能力，同时激发学生的学习兴趣，提升学生的人文素养；
二、【单元知识结构框架】
1．矩形的性质
矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．
2．直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3．矩形的判定
有一角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形．
4．菱形的性质
菱形的四边条都相等；
菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
5、菱形的面积
S ＝边长×对应高＝ab(a，b分别是两条对角线的长)
菱形
6．菱形的判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四条边相等的四边形是菱形．7．正方形的定义和性质
四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．
对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分
一组对角．
8．正方形的判定方法
一组邻边相等的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形．
三、【学情分析】
1．认知基础
本节内容主要是特殊的平行四边形的性质和判定方法，特殊的平行四边形的性质主要可以从边、角和
对角线的角度来理解；特殊的平行四边形的判定方法则是从定义、性质和对角线三个角度来熟练记忆；本
节内容是初中学习的重点内容之一，是证明类型的题目的基础，需要熟练掌握；
2.认知障碍
本节内容相对比较多，知识点也比较丰富，故容易出现记忆混淆和记忆不全的情况，所以我们需要学
会数形结合的方法，将特殊的平行四边形画出来，学会从边、角、对角线的角度来进行分析，这样就可以
把概念一网打尽，做到不遗漏，不忘记；同时特殊的平行四边形相互之间的联系与区别，也是我们要掌握
的重点，对应的辅助线的添加也是重点内容；
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约6课时
教学重点：理解并掌握矩形的性质定理及推论； 掌握矩形的判定方法；掌握的定义和性质及菱形面
积的求法；掌握菱形的判定方法；掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算；掌
握正方形的判定条件；
教学难点：会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算；能够运用矩形
的性质和判定解决实际问题 ；灵活运用菱形的性质解决问题；探究菱形的判定条件并合理利用它进
行论证和计算；理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别；
五、【教学问题诊断分析】
【情景引入1】
如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．
我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我
们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示．
【情景引入2】
我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边
形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？
矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：
1．两条对角线相等且互相平分；
2．四个内角都是直角．
这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？
【情景引入3】
将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？这
就是另一类特殊的平行四边形，即菱形．
【情景引入4】
我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一
个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？
菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：
1．两条对角线互相垂直平分；
2．四条边都相等；
3．每条对角线平分一组对角．
这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？
【情景引入5】
做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．
问题：什么样的四边形是正方形？
【情景引入6】
老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形．
小明剪完后，这样检验它：比较了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务．
这种检验可信吗？
小兵用另一种方法检验：量对角线，发现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪出了正方形．这种
检验对吗？
小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的．按照小英的意见，这说明剪
出的四边形是正方形．你的意见怎样？
你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？
18.2.1矩形的性质
问题1：（运用矩形的性质求线段或角）在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形
ABCD的周长为24cm，则AB长为( )
A．1cm B．2cm C．2.5cm D．4cm
【破解方法】解题时矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平
行四边形不具备的性质．
【解析】在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°.根据矩形的性质得到△ABO≌△OCD，则OA
＝OD，∠DAO＝45°，所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝2AB.由矩形ABCD的周长为24cm，得2AB＋4AB
＝24cm，解得AB＝4cm.故选D.
问题2：（运用矩形的性质解决面积问题）如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别
交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )
A. B. C. D.
【破解方法】运用矩形的性质，通过证明全等三角形进行转化，将求不规则图形的面积转化为求简单
图形面积是解题的关键．
【解析】∵在矩形 ABCD 中，AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABO＝∠CDO.在△BOE 和△DOF 中，
∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴S ＝S ，∴S ＝S ＝S .故选B.
△BOE △DOF 阴影 △AOB 矩形ABCD
问题3：（运用矩形的性质证明线段相等）如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心、边BC长为半径
作弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE于F.求证：BF＝AE.
【破解方法】涉及与矩形性质有关的线段的证明，可运用题设条件结合三角形全等进行证明，一般是
将两条线段转化到一对全等三角形中进行证明．
【解析】在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC.∵CF⊥BE，∴∠BFC＝∠A＝90°.
由作图可知，BC＝BE.在△BFC和△EAB中，∴△BFC≌△EAB(AAS)，∴BF＝AE.
问题4：（运用矩形的性质证明角相等）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且
EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.【破解方法】矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决．
【解析】∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF＋∠BFE＝
90°.∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°.∴∠BFE＝∠CED，∴∠BEF＝∠EDC.在△EBF与△DCE中，
∴△EBF≌△DCE(ASA)．∴BE＝CD.∴BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴∠EAD＝45°，∴∠BAE＝
∠EAD，∴AE平分∠BAD.
问题5：（直角三角形斜边上中线的性质）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中
点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD.
【破解方法】当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的
性质进行求解．
【解析】(1)解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝
AF＝AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
(2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F在线段AD的垂直平分线上，∴EF垂直平分AD.
18.2.2矩形的判定
问题6：（有一个角是直角的平行四边形是矩形）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，
AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E.求证：四边形ADCE是矩形．
【破解方法】平行四边形的判定与性质以及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行四边形的判定得
出四边形是平行四边形再证明其中一角为直角即可．
【解析】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE是△BAC的外角平分线，∴∠FAE＝∠EAC.∵∠B＋
∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，∴AE∥BC.又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是
平行四边形，∴AE平行且等于BD.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四边形
ADCE是平行四边形．又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．
问题7：（对角线相等的平行四边形是矩形）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于
点O，延长OA到N，ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．【破解方法】证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的
对角线相等．
【解析】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON
＝OM＝OD＝OB，∴MN＝BD，∴四边形NDMB为矩形．
问题8：（有三个角是直角的四边形是矩形）如图， ▱ABCD各内角的平分线分别相交于点 E，F，
G，H.求证：四边形EFGH是矩形．
【破解方法】题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AH，BH分
别平分∠DAB与∠ABC，∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，∴∠HAB＋∠HBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝
×180°＝90°，∴∠H＝90°.同理∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．
问题9：（矩形的性质和判定的运用）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是
OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
【破解方法】若题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通常证这个四边形
的对角线相等且互相平分．
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE
＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；
(2)解：∵G 是 OC 的中点，∴GO＝GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°.又∵DG＝DG，
∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD.∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∵四边形ABCD是矩形，∴DO
＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝＝4cm，∴S ＝4×4＝16(cm2)．
矩形ABCD问题10：（矩形的性质和判定与动点问题）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝
24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB
方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点
随之停止运动．
(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
【破解方法】①证明一个四边形是平行四边形，若题设条件与这个四边形的边有关，通常证这个四边
形的一组对边平行且相等；②题设中出现一个直角时，常采用“有一角是直角的平行四边形是矩形”来判
定矩形．
【解析】(1)设经过ts，四边形PQCD为平行四边形，即PD＝CQ，所以24－t＝3t，解得t＝6；
(2)设经过t′s，四边形PQBA为矩形，即AP＝
BQ，所以t′＝26－3t′，解得t′＝.
18.2.3菱形的性质
问题11：（利用菱形的性质证明线段相等）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，
CF⊥AD交AD延长线于F.求证：CE＝CF.
【破解方法】菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的
平分线上的点到角的两边的距离相等．
【解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝
CF.
问题12：（利用菱形的性质进行有关的计算）如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝
5cm，OD＝3cm.过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．【破解方法】菱形的对角线互相垂直，则菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所以可以利用勾股
定理解决一些计算问题．
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在直角三角形OCD中，OC＝＝＝4(cm)；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形．又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四边
形OBEC为矩形．∵OB＝OD，∴S ＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．
矩形OBEC
问题13：（利用菱形的性质证明角相等）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.
【破解方法】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．
【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB，∴OH＝BD＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH.又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，∴∠OHB＝∠ODC.在Rt△COD中，∠ODC＋
∠DCO＝90°.在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.
问题14：（运用菱形的性质解决探究性问题）感知：如图①，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分
别在边AB、AD上．若AE＝DF，易知△ADE≌△DBF.
探究：如图②，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE＝DF，
△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展：如图③，在 ▱ABCD中，AD＝BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在
OA、AD的延长线上．若AE＝DF，∠ADB＝50°，∠AFB＝32°，求∠ADE的度数．
【破解方法】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质的综合
运用，解题时一定要熟悉相关的基础知识并进行联想．
【解析】探究：△ADE与△DBF全等．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵AB＝BD，∴AB＝AD＝
BD，∴△ABD 为等边三角形，∴∠DAB＝∠ADB＝60°，∴∠EAD＝∠FDB＝120°.∵AE＝DF，
∴△ADE≌△DBF；拓展：∵点O在AD的垂直平分线上，∴OA＝OD.∴∠DAO＝∠ADB＝50°，∴∠EAD＝∠FDB＝
130°.∵AE＝DF，AD＝DB，∴△ADE≌△DBF，∴∠DEA＝∠AFB＝32°，∴∠EDA＝∠OAD－∠DEA＝
18°.
问题15：（菱形的面积）已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，
则该菱形的面积是( )
A．16 B．8 C．4 D．8
【破解方法】菱形的面积有三种计算方法：①将其看成平行四边形，用底与高的积来求；②对角线分
得的四个全等三角形面积之和；③两条对角线的乘积的一半．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，OA＝AC＝2，OB＝BD，AC⊥BD，∠BAD＋∠ABC＝
180°.∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝4，∴OB＝＝＝2，∴BD＝2OB＝
4，∴S ＝AC·BD＝×4×4＝8.故选B.
菱形ABCD
18.2.4菱形的判定
问题16：（利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形）如图，在△ABC中，
D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
求证：四边形BCFE是菱形．
【破解方法】菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．
【解析】证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝2DE且
DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．
问题17：（利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形）如图，AE∥BF，AC平
分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：
(1)AC⊥BD；
(2)四边形ABCD是菱形．
【破解方法】用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该
四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．
【解析】证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝
∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∵AE∥BF，∴∠CBD＝
∠BDA，∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA＝CB.∵BC∥DA，∴四边形 ABCD 是平行四边形．
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
问题18：（利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形）如图，已知△ABC，按如下步骤
作图：
①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF.
(1)求证：△AED≌△CFD；
(2)求证：四边形AECF是菱形．
【破解方法】判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形
为起点进行判定．
【解析】证明：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC
＝∠FCA，∠CFD＝∠AED.在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD(AAS)；
(2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF.∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝FA，∴EC＝EA＝
FC＝FA，∴四边形AECF为菱形．
问题19：（菱形判定中的开放性问题）如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD
的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形 AECF为菱形，则添加的一个条件可以是
__________(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)．
【破解方法】菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相
垂直的平行四边形是菱形．
【解析】∵AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB.∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF.同理ED＝CD.∵AD＝BC，AB＝CD，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∵对
角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是AC⊥EF.问题20：（菱形的性质和判定的综合应用）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD
上一点，BE交AC于F，连接DF.
(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
【破解方法】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定
是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
【解析】(1)证明：在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC.在△ABF 和△ADF 中，∴△ABF≌△ADF(SAS)，
∴∠AFD＝∠AFB.∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE；
(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.∵AB
＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；
(3)解：当EB⊥CD于E时，∠EFD＝∠BCD.理由如下：∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD，∠BCF
＝∠DCF.在△BCF和△DCF中，
∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，则∠BCD＋∠CBF
＝∠EFD＋∠CDF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD.
18.2.5正方形的性质
问题21：（特殊平行四边形的性质的综合）菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )
A．对角线相等且互相平分
B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分
D．四条边相等，四个角相等
【破解方法】正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
【解析】选项A不正确，菱形的对角线不相等；选项B不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线
不互相垂直；选项C正确，三者均具有此性质；选项D不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相
等．故选C.
问题22：（利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题）如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC
是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.(1)求证：BE＝CF；
(2)求BE的长．
【破解方法】正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因
此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．
【解析】(1)证明：∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠B＝90°.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°.∵AE 平分
∠BAC，∴BE＝EF.又∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝
∠FCE＝45°，∴EF＝FC，∴BE＝CF；
(2)解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，CE＝1－x.在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE＝x.∴x＝1－x，解得
x＝－1，即BE的长为－1.
问题23：（利用正方形的性质解决角的计算或证明问题）在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，
连接DF，点E为DF的中点．连接BE、CE、AE.
(1)求证：△AEB≌△DEC；
(2)当EB＝BC时，求∠AFD的度数．
【破解方法】正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，
要注意分析图形中有哪些相等的线段等．
【解析】(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°.∵点E为DF中点，∴AE＝
EF＝DE＝DF，∴∠EAD＝∠EDA.∵∠BAE＝∠BAD－∠EAD，∠CDE＝∠ADC－∠EDA，∴∠BAE＝
∠CDE.在△AEB和△DEC中，
∴△AEB≌△DEC(SAS)；
(2)解：∵△AEB≌△DEC，∴EB＝EC.∵EB＝BC，∴EB＝BC＝EC，∴△BCE 是等边三角形，
∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝90°－60°＝30°.∵EB＝BC＝AB，∴∠BAE＝×(180°－30°)＝75°.又∵AE＝EF，
∴∠AFD＝∠BAE＝75°.
问题24：（利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系）如图，AE是正方形ABCD中∠BAC
的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O.求证：(1)BE＝BF；
(2)OF＝CE.
【破解方法】在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂
直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．
【解析】证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABE＝∠AOF＝90°，∴∠BAE＋
∠AEB＝∠CAE＋∠AFO＝90°.∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE＝∠BAE，∴∠AFO＝∠AEB.又
∵∠AFO＝∠BFE，∴∠BFE＝∠AEB，∴BE＝BF；
(2)连接O和AE的中点G.∵AO＝CO，AG＝EG，∴OG∥BC，OG＝CE，∴∠OGF＝∠FEB.∵∠AFO
＝∠AEB，∴∠OGF＝∠AFO，∴OG＝OF，∴OF＝CE.
问题25：（有关正方形性质的综合应用题）如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长
线上一点，且AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是________cm.
【破解方法】在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变
成我们熟悉的图形面积，从而解决问题．
【解析】∵四边形AFCE是正方形，∴AF＝AE，∠E＝∠AFC＝∠AFB＝90°.在Rt△AED和Rt△AFB中，
∴Rt△AED≌Rt△AFB(HL)，∴S ＝S .∵S ＝24cm2，∴S ＝24cm2，∴AE＝EC＝2cm.根
△AED △AFB 四边形ABCD 正方形AFCE
据勾股定理得AC＝＝4(cm)．故答案为4.
18.2.6正方形的判定
问题26：（利用“一组邻边相等的矩形是正方形”证明四边形是正方形）如图，在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．【破解方法】要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
【解析】证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.又
∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．
问题27：（利用“有一个角是直角的菱形是正方形”证明四边形是正方形）如图，在四边形ABFC中，
∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.
(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；
(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．
【破解方法】正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判
定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用判定定理
1或判定定理2进行判定．
【解析】解：(1)四边形BECF是菱形．理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠3
＝∠1.∵∠ACB＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，∴EC＝AE，∴BE＝AE.∵CF＝
AE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；
(2)当∠A＝45°时，菱形 BECF是正方形．证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠3＝45°，
∴∠EBF＝2∠3＝90°，∴菱形BECF是正方形．
问题28：（正方形的性质和判定的综合应用）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上
的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE.求证：
(1)EF＝FP＝PQ＝QE；
(2)四边形EFPQ是正方形．
【破解方法】此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意解题的关键是证得
△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP.
【解析】证明：(1)∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝
AD.∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP.在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS)，∴EF＝FP＝PQ＝QE；(2)∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四边形EFPQ是菱形．∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ.∵∠AFP＋
∠APF＝90°，∴∠APF＋∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四边形EFPQ是正方形．
问题29：（ 与正方形的判定有关的综合应用题） 如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O
作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平
分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF.
(1)求证：∠ECF＝90°；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，要使四边形AECF为正方形，△ABC应该满足条件：______________________(直
接添加条件，无需证明)．
【破解方法】
【解析】(1)证明：∵CE 平分∠BCO，CF 平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，
∴∠ECF＝×180°＝90°；
(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形 AECF是矩形．理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝
∠BCE，∠OFC＝∠GCF.又∵∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，
∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF.又∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，∴四边形AECF是平行四
边形．∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．
(3)∠ACB＝90°
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
1．菱形具有但是平行四边形不具有的性质（ ）
A．对角线互相平分 B．邻边相等 C．对角线相等 D．是中心对称图
形
【答案】B
【分析】本题考查的是平行四边形与性质的性质，熟记平行四边形与菱形的性质是解本题的关键．
【详解】解：A、对角线互相平分菱形和平行四边形都具有的性质，故本选项错误；
B、邻边相等，菱形具有平行四边形不具有，故本选项正确；
C、对角线相等，菱形和平行四边形都不具有的性质，故本选项错误；D、是中心对称图形，菱形和平行四边形都具有的性质，故本选项错误；
故选：B．
2．如图，菱形 的对角线 ， 的长分别为6和8，则这个菱形的面积是（ ）
A．48 B．40 C．24 D．20
【答案】C
【分析】本题考查菱形的面积．菱形的面积等于对角线长乘积的一半，列式计算即可．
【详解】 菱形 的对角线 ， 的长分别为6和8
这个菱形的面积为 ．
故选：C．
3．如图，将一个长为 ，宽为 的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿
所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质、菱形面积的计算等知识点．熟练掌握以上知识点是解题的关键，矩形对
折两次后，再沿两邻边中点的连线剪下，所得菱形的两条对角线的长分别原来矩形长和宽的一半，即 ，
，然后可求得菱形的面积．
【详解】解：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为 ， ，
而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形沿对角线两次对折的图形，
所以菱形的两条对角线的长分别为 ， ，．
故选：A．
4．在矩形 中， ，过对角线 的中点O作 的垂线交直线 于点E，若 的面积为
3，则 的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查矩形性质、垂直平分线的性质及勾股定理的应用，分两种情况结合垂直平分线性质解决
即可．
【详解】解：分两种情况进行分析：
如图所示，
由题意可得， 为 的垂直平分线．
∴ ．
∵ ，
又∵ ，
∴ ．
在 中，由勾股定理，得 ，
∴ ；
如图2所示，为 的垂直平分线，同上可得 ．
故 的长为 或 ．
5．如图，点A在 上，点G在 上，矩形 的边长分别是4和6，则正方形 的面积为
．
【答案】24
【分析】
本题主要考查特殊四边形面积的求解，根据同底同高判断正方形 的面积等于 的面积的2倍，
矩形 的面积等于 的面积的2倍，从而得出正方形 的面积等于矩形 的面积即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故答案为：24．
6．如图，点E是矩形 中 边上的一点，将 沿 折叠为 ，点F落在边 上，若
，则 ．【答案】 /40度
【分析】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．根据矩形的性质得出 ，根
据折叠的性质得出 ，根据平角的定义，即可求解．
【详解】解： 四边形 为矩形，
，
沿 折叠为 ，
，
，
，
故答案为： ．
7．如图，在 中， ，垂足为E，点F在 上，且 ．求证：四边形 是矩形．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定与选择、矩形的判定等知识点．熟记定理内容是解题关键．先证四边
形 是矩形．再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可求证 ．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴四边形 是平行四边形．∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形．
8．如图，O为矩形 的对角线的交点，过O作 分别交 、 于点F、E，若 ，
，求四边形 的面积．
【答案】
【分析】根据题意可证 ，则有 ，可得四边形 为菱形，设 ，
可得 和 ，利用勾股定理即可求得 ，进一步得到菱形的面积．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 与 互相垂直平分，
∴四边形 为菱形，
∴ ．
设 ，则 ， ．
在 中， ，即 ，解得 ．
∴ ．
即四边形 的面积为 ．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质以及勾股定理，解题的
关键是熟知菱形的判定和性质．
9．如图，在矩形 中，已知 ，求线段 ．【答案】3
【分析】
本题考查矩形的性质．根据矩形对角线相等互相平分求解即可．
【详解】解：∵矩形 ，
∴ ， ，
∴ ．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
1．下列命题是假命题的是（ ）
A．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等的菱形是正方形
【答案】A
【分析】本题考查了判断命题的真假，熟记相关结论即可．
【详解】解：一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故A是假命题，符合题意；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故B是真命题，不符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C是真命题，不符合题意；
对角线相等的菱形是正方形，故D是真命题，不符合题意；
故选：A
2．如图所示，在菱形 中，对角线 和 相交于点O，若 ， ，则菱形 的边长
为（ ）A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查菱形性质，勾股定理．根据题意可得 ， ， ，再根据勾股定理即可得到本
题答案．
【详解】解：∵四边形 为菱形， ， ，
∴ ， ， ， ，
在 中， ，
∴菱形 的边长为 ，
故选：D．
3．如图，四边形 是正方形，延长 到点 ，使 ，连结 ，则 的度数是（ ）
A． B． C．40 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查正方形的性质及等腰三角形，关键是根据正方形的性质得到角的大小，然后根据等
腰三角形的性质进行求解即可．根据正方形的性质及等腰三角形的性质进行求解即可．
【详解】解： 四边形 是正方形，
，
，，
．
故选B．
4．在矩形 中， ，点E为射线 上一点，将 沿着 翻折，使得点B的对应点F落在
射线 上，若线段 ，连接 ，则 的值为 ．
【答案】 或
【分析】
分两种情况：①如图1所示，点F落在线段 上，②如图2所示，点F落在射线 上，证明四边形
为正方形并求出正方形的边长，根据勾股定理即可求得答案．
【详解】
解：①如图1所示，点F落在线段 上，
∵
∴
∵四边形 是矩形，
∴
由折叠的性质得
∴四边形 为正方形，
∴
在 中，
②如图2所示，点F落在射线 上，
∵ ，
∴
∴ ，
∵四边形 是矩形，∴
由①可知四边形 为正方形，
∴ ．
在 中，
综上所述， 的值为 或 ．
故答案为： 或
【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，正方形的性质和判定等知识，熟练掌握折叠的性质，证明
四边形 为正方形是解决问题的关键．
5．如图所示，直线 经过正方形 的顶点 ，分别过正方形的顶点 、 作 于点 ，
于点 ，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，首先证明 ，
再利用 定理证明 ，进而得到 ， ，然后再根据线段的和差关系可得答
案，关键是推出 ．
【详解】
解： 四边形 是正方形，
， ，
，
，，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
故答案为：12．
6．如图，在正方形 中， ，E是 的中点，按以下步骤作图．分别以点A和点E为圆心，以
大于 的长为半径作弧，两弧相交于点G，H．作直线 交 于点F．则 的长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查正方形的性质，作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，勾股定理．先由作法得出
且 平分 ，从而得到 ，在 中，设 ，则 ，由勾股
定理，得 ，求解即可．
【详解】
解：连接 ，由作图可知， 且 平分 ，
，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∵E是 的中点，
，
在 中，设 ，则 ，
由勾股定理，得 ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
7．如图，在四边形 中， ， 平分 ， ，E为 的中点，连结 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见详解
(2)【分析】
（1）先通过一组对边平行且相等证明四边形 是平行四边形．再结合角平分线的定义以及边的等量
代换，得邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答．
（2）先由菱形的性质，证明 是等边三角形．进而得出 再结合勾股定理得 ，根
据三角形的面积公式建立式子，进行计算，即可作答．
【详解】（1）证明：∵E为 的中点，
∴
∵
∴
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ 平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴平行四边形 是菱形．
（2）∵四边形 是菱形，
∴
∴ ．
∴ ， 是等边三角形．
∴ ．
∴ ．
∴
∴ ．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质以及角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
8．如图， 是矩形 的对角线．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作点 关于 的对称点 ．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接 ，交 于点 ．求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）按作过 外一点的垂线的尺规作图方法作出 的垂线，垂足为O，再以O为圆心，在射线 上
的另一侧截取 ，即得点 关于 的对称点 ；
（2）由线段垂直平分线的性质得 ，由等腰三角形的性质得 ；再由矩形的性质及
平行线的性质即可得 ，从而证得结论成立．
【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求．（作法不唯一）
（2）证明：由对称的性质，可知 垂直平分线段 ，
∴ ．
∴ ．
∵四边形 为矩形，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，对称的性质，垂直平分线的性质，矩形的性质，等腰三角形的判
定与性质，正确作图是解题的关键．
9．如图，在 中， ，延长 至 D，使得 ，过点 A，D 分别作 ，
， 与 相交于点E，连接 ，证明：
【答案】见详解
【分析】
本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，矩形的判定以及性质，先证明四边形 是平行四边形，
由平行四边形的性质得出 ， ，再证明四边形 是矩形，根据矩形得性质得出
，进而即可证明 ．
【详解】
证明：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，点D在 的延长线上，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，∴ ．
由∵
∴ ．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1．如图，矩形 的两条对角线相交于点 ， ， ，则矩形的边 的长是（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理
的应用，先证明 ， ，可得 ，证明 ，
可得 ，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：∵四边形 是矩形，且 ， 交于点O，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
2．如图，四边形 为菱形，A、B两点的坐标分别是 ， ，对角线相交于点O，则点C的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
本题主要考查了菱形．熟练掌握菱形的性质，关于原点对称的两点的坐标性质，是解题关键．
根据菱形的对称性，关于坐标原点对称的两点的横纵坐标都互为相反数，逐一判断即得．
【详解】
∵菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，
∴A、C两点关于原点中心对称；
∵点A的坐标是 ，
∴C点坐标为 ，
故选：B．
3．如图，已知点P是正方形 对角线 上一点，且 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题主要考查正方形的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据正方形性质得
，结合等腰三角形的性质得 ，即可求得答案．【详解】
解：∵四边形 是正方形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
4．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形 ，若测得 ， 之间的距离为
，点 ， 之间的距离为 ，则四边形 的面积为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了菱形的判定与性质，证得四边形 是菱形是解题的关键．先证四边形 是菱形，可得
， ，由勾股定理可求 的长，即可求解．
【详解】
解：如图，作 于 ， 于 ，连接 ， 交于点 ，
由题意知， ， ，
四边形 是平行四边形．
两张纸条等宽，
．
，，
平行四边形 是菱形，
， ，
， 之间的距离为 ，点 ， 之间的距离为 ，
， ，
，
，
四边形 面积 ．
故答案为： ．
5．如图，在矩形 中， ，P是 上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作
和 的垂线，垂足分别为E、F．求 ．
【答案】
【分析】
本题考查矩形的性质，三角形的面积，连接 ，利用勾股定理列式求出 ，再利用三角形的面积表示
，然后根据 求出 即可．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵矩形 的两边 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
6．如图，在 中， ， 是 的中线，点E，F分别是 ， 的中点，连接
，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质；
先根据三角形中位线定理可得 ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案．
【详解】解：∵点E，F分别是 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ， 是 的中线，
∴ ，
故答案为： ．
7．如图，在四边形 中 平分 为 的中点，连接 ．(1)求证：四边形 为菱形；
(2)若 求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是
解题的关键．
（1）先通过一组对边平行且相等证明四边形 是平行四边形．再结合角平分线的定义以及边的等量
代换，得邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答．
（2）先由菱形的性质，证明 是等边三角形．再结合勾股定理得 ，根据三角形的面积公式建
立式子，进行计算，即可作答．
【详解】（1）证明：∵E为 的中点，
∴
∵
∴
又∵
∴四边形 是平行四边形．
∵ 平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴平行四边形 是菱形．（2）解：∵四边形 是菱形，
∴
∴ ．
∴ 是等边三角形．
∴ ．
∴ ．
∴
∴ ．
8．如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线 与 相交于点M，与 相交于点O，与 相
交于N，连接
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2) 长为 ．
【分析】（1）根据矩形性质求出 ，推出 ，证△ ，
推出 ，得出平行四边形 ，推出菱形 ；
（2）根据菱形性质求出 ，在 中，根据勾股定理得出 ，推出
，求出即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴
∵
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是菱形．
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴MB=MD，
设 长为x，则 ，
在 中，
即
解得： ．
答： 长为 ．
【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用．注意
对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
9．如图，在 中，对角线 ， 交于点 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，作 的平分线 交 于点 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】
本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关
键．（1）根据平行四边形的性质得到 ， ，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）
如图，根据矩形的性质得到 ， ，根据角平分线的定义得到
，根据勾股定理得到 ，根据直角三角形的性质即可得到结
论．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ．
，
，
平行四边形 为矩形；
（2）如图，
四边形 是矩形，
， ．
为 的平分线，
．
， ， ，
，
，
， ，
，
．七、【教学反思】
