文档内容
拔高专题 抛物线与圆的综合
一、基本模型构建
常见模型
思考 圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可求交点 坐标
，根据交点可求三角形的 边长 ，由于圆的位置不同，三角形的形状
也不同。再根据三角形的形状，再解决其它问题。
二、拔高精讲精练
探究点一：抛物线、圆和直线相切的问题
例1: （2015•崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点
C，与x轴相交于A，B两点．
（1）则点A，B，C的坐标分别是A （ 2 ， 0 ） ，B （ 8 ， 0 ） ，C （ 0 ， 4 ） ；
（2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y= （x-5）2+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M
相切；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如
果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（1）解：连接MC、MA，如图1所示：∵⊙M与y轴相切于点C，∴MC⊥y轴，∵M（5，4），
∴MC=MA=5，OC=MD=4，
∴C（0，4），∵MD⊥AB，∴DA=DB，∠MDA=90°，∴AD= =3，∴BD=3，∴OA=5-
3=2，OB=5+3=8，
∴A（2，0），B（8，0）；
（2）证明：把点A（2，0）代入抛物线y= （x-5）2+k，得：k=- ，∴E（5，- ），
∴DE= ，∴ME=MD+DE=4+ = ，EA2=32+（ ）2= ，∵MA2+EA2=52+ = ，
1 ..ME2= ，
∴MA2+EA2=ME2，∴∠MAE=90°，即EA⊥MA，∴EA与⊙M相切；
（3）解：存在；点P坐标为（5，4），或（5， ），或（5，4+ ）；理由如下：
由勾股定理得：BC= = =4 ，分三种情况：①当PB=PC时，点P在
BC的垂直平分线上，点P与M重合， ∴P（5，4）；
②当BP=BC=4 时，如图2所示：∵PD= = = ，∴P（5， ）；
③当PC=BC=4 时，连接MC，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：PM=
= = ，∴PD=4+ ，
∴P（5，4+ ）；综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，
点P的坐标为（5，4），或（5， ），或（5，4+ ）．
【变式训练】（2015•柳州）如图，已知抛物线y=- （x2-7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于
A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．
（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；
（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切
线．
2 ..（1）解：∵y=- （x2-7x+6）=- （x2-7x）-3=- （x- ）2+ ，∴抛物线的解析式化为顶点式为：
y=- （x- ）2+ ，顶点M的坐标是（ ， ）；
（2）解：∵y=- （x2-7x+6），∴当y=0时，- （x2-7x+6）=0，解得x=1或6，∴A（1，0），B（6，
0），∵x=0时，y=-3，∴C（0，-3）．连接BC，则BC与对称轴x= 的交点为R，连接AR，则
CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC=
=3 ．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（6，0），C（0，-3），∴ ，解得
，∴直线BC的解析式为：y= x-3，令x= ，得y= × -3=- ，∴R点坐标为（
，- ）；
（3）证明：设点P坐标为（x，- x2+ x-3）．∵A（1，0），B（6，0），∴N（ ，0），∴以AB为直
径的⊙N的半径为 AB= ，∴NP= ，即（x- ）2+（- x2+ x-3）2=（ ）2，化简整理得，x4-
14x3+65x2-112x+60=0，（x-1）（x-2）（x-5）（x-6）=0，解得x=1（与A重合，舍去），x=2，x=5
1 2 3
（在对称轴的右侧，舍去），x=6（与B重合，舍去），∴点P坐标为（2，2）．∵M（ ， ），N（
4
，0），∴PM2=（2- ）2+（2- ）2= ，PN2=（2- ）2+22= = ，
MN2=（ ）2= ，∴PM2+PN2=MN2，∴∠MPN=90°，∵点P在⊙N上，∴直线MP是⊙N
的切线．
3 ..【教师总结】本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析式
的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识；综合性强．
探究点二：抛物线、圆和三角形的最值问题
例2（: 2015•茂名）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（-2，0），D（-8，0）两点，与
y轴相切于点B（0，4）．
（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点
F的坐标。
解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，把B（0，4），C（-2，0），D（-8，0）代入得：
，
解得 ．∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y= x2+ x+4；
（2）∵y= x2+ x+4= （x+5）2- ，∴E（-5，- ），设直线CE的函数解析式为y=mx+n，直
4 ..线CE与y轴交于点G，则 ，解得： ，∴y= x+ ，在y= x+ 中，
令x=0，y= ，∴G（0， ），
如图1，连接AB，AC，AG，则BG=OB-OG=4- = ，CG= = = ，
∴BG=CG，AB=AC，
在△ABG与△ACG中， ，∴△ABG≌△ACG，∴∠ACG=∠ABG，∵⊙A与y轴
相切于点B（0，4），∴∠ABG=90°，∴∠ACG=∠ABG=90°∵点C在⊙A上，∴直线CE与⊙A
相切；
（3）存在点F，使△BDF面积最大， 如图2连接BD，BF，DF，设F（t， t2+ t+4），过F作
FN∥y轴交BD于点N，设直线BD的解析式为y=kx+d，则 ，解得 ．∴
直线BD的解析式为y= x+4，
∴点N的坐标为（t， t+4），∴FN= t+4-（ t2+ t+4）=- t2-2t，∴S =S +S =
DBF DNF BNF
△ △ △
OD•FN= ×8×（- t2-2t）=-t2-8t=-（t+4）2+16，∴当t=-4时，S 最大，最大值是16，当t=-4
BDF
△
时， t2+ t+4=-2，∴F（-4，-2）．
【变式训练】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过
点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D．已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），
5 ..（0，-4）．
（1）求此抛物线的表达式与点D的坐标；
（2）若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值。
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），∴ ，解得
，
∴抛物线的解析式为：y= x2- x-4；∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．如答图1，连接AC、
BC，由勾股定理得：AC= ，BC= ．∵AC2+BC2=AB2=100，∴∠ACB=90°，∴AB为圆
的直径．由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，∴D（0，4）；
（2）解法一：设直线BD的解析式为y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），∴ ，解得
， ∴直线BD解析式为：y=- x+4．设M（x， x2- x-4），如答图2-1，过点M作
ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，- x+4）．∴ME=（- x+4）-（ x2- x-4）=- x2+x+8．
∴S =S +S = ME（x -x ）+ ME（x -x ）= ME（x -x ）=4ME，∴S =4（-
BDM MED MEB E D B E B D BDM
△ △ △ △
x2+x+8）=-x2+4x+32=-（x-2）2+36．∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；
解法二：如答图2-2，过M作MN⊥y轴于点N．设M（m， m2- m-4），∵S = OB•OD=
OBD
△
6 ..=16，S = （MN+OB）•ON= （m+8）[（- m2- m-4）]=- m（ m2- m-4）-4（
梯形OBMN
m2- m-4），
S = MN•DN= m[4-（ m2- m-4）]=2m- m（ m2- m-4），∴S =S +S
MND BDM OBD 梯形
△ △ △
-S =16- m（ m2- m-4）-4（ m2- m-4）-2m+ m（ m2- m-4）=16-4（ m2-
OBMN MND
△
m-4）-2m=-m2+4m+32=-（m-2）2+36；∴当m=2时，△BDM的面积有最大值为36．
【教师总结】本题考查了待定系数法求解析式，在解答此类问题时要注意构造出辅助线，利用
圆的有关性质、勾股定理、三角形面积的求法等综合求解.
7 ..
