文档文本内容
人教版初中数学八年级下册
19.1.1变量与常量 教学设计
一、教学目标：
1.了解变量与常量的意义.
2.在实际问题中，会区分常量与变量，能够建立变量之间的关系式.
二、教学重、难点：
重点：掌握在简单的过程中辨别常量和变量的方法.
难点：体会变化与对应的数学思想，感悟事物之间相互联系.
三、教学过程：
情境引入
“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变
化……
知识精讲
问题1 汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为 s km，行驶时间为 t h.
1.请同学们根据题意填写下表：
t/h 1 2 3 4 5
s/km
2.在以上这个过程中，变化的量是：_______________；不变化的量是：_____________.
3.试用含 t 的式子表示 s ：________.
这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程___随行驶时间___的变化过程.
问题2 电影票售价为10元/张.第一场售出票150张票，第二场售出票205张票，第三场售出
310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入y 元.
1.第一场票房收入=_________________；
第二场票房收入=_________________；
第三场票房收入=_________________.
2.在以上这个过程中，变化的量是：________________________；不变化的量是：
__________.
3.试用含 x 的式子表示 y ：________.
这个问题反映了票房收入____随售票张数____的变化过程.
问题3 你见过水中涟漪吗，如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径 r 分别
为10cm，20cm，30cm时，圆的面积 S 分别为多少？
1.圆的面积公式：_______.
当r=10cm时，S=____________；
当r=20cm时，S=____________；
当r=30cm时，S=____________.2.在以上这个过程中，
变化的量是：______________________；不变化的量是：___________.
这个问题反映了圆的面积____随圆的半径____的变化过程.
问题4 用10m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长 x 分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，它的
邻边长 y 分别为多少？
1.请同学们根据题意填写下表：
x/m 3 3.5 4 4.5
y/m
2.在以上这个过程中，
变化的量是：__________________；不变化的量是：_________.
3.试用含 x 的式子表示 y ：_______.
这个问题反映了矩形的一邻边长___随另一边长___的变化过程.
归纳：
1.小结：在上面的问题反映了不同事物的变化过程，其中有些些量(例如时间 t，路程 s；售
出票数 x，票房收入 y；圆的面积 S，半径 r…)的值按照某种规律变化；有些量的值始终不
变(例如汽车的速度60km/h，电影票的单价10元/张，圆周率π…).
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.
2.剖析：s = 60t，y =10x，S=πr2.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.
典例解析
例1.指出下列问题的变量和常量：
(1)某市的自来水价为4元/t.现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为
x t，月应交水费为 y 元.
解：变量是用水量x和应交水费y，常量是水价4元/t.
(2)某地手机通话费为0.2元/min.李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间
为 t min，话费卡中的余额为 w 元.
解：变量是通话时间 t 和话费余额 w，常量是话费0.2元/min和存入话费30元.
(3)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为 r，圆周长为 C，圆周率(圆周长与直径之
比)为π.
解：变量是圆的半径r和圆的周长C，常量是圆周率π.(4)把10本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放)，第一个抽屉放入 x 本，第二个抽屉放入
y 本.
解：变量是第一个抽屉放入的本数 x 和第二个抽屉放入的本数 y，常量是10本书.
【针对练习】指出下列事件过程中的变量和常量：
（1）汽油的价格是7.4元/升，加油 x 升，车主加油付油费为 y 元；
解：变量是加油升数 x ，车主加油付油费 y ，常量是汽油的价格是7.4元/升.
（2）小明看一本200 页的小说，看完这本小说需要 t 天，平均每天所看的页数为 n ；
解：变量是看完这本小说需要的天数 t 和平均每天所看的页数 n ，常量是一本书的页数
200.
（3）用长为40 cm 的绳子围矩形，围成的矩形一边长为 x cm，其面积为 S cm2．
解：变量是矩形一边长为 x ，其面积为 S ，常量是绳子的长度40 cm .
（4）若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是
β=90－α.
解：变量是一个锐角的度数α，则另一个锐角的度数β，常量是90.
例2.阅读并完成下面一段叙述：
⒈某人持续以a米/分的速度用分钟时间跑了s米，其中常量是 ，变量是 .
⒉s米的路程不同的人以不同的速度a米/分各需跑的时间为t分，其中常量是_____，变量
是________.
3.根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论： ________________________ _ .
【点睛】区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以
取不同的值.
例3.一家快递公司的收费标准如图．用t表示邮件的质量，p表示每件快递费，n表示快递邮
件的件数．(1)填写下表．
(2)在投寄快递邮件的事项中，t，p，n是常量，还是变量？若0<t≤10，投寄n件邮件的快递
费记为w，此时t，p，n，w中哪些是常量？哪些是变量？
（2）解：在投寄快递邮件的事项中，t，p，n都是变量．若0<t≤10，则p为常量，t，n，w
均为变量．
例4.弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试
填下表：
怎样用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度L(cm)?
解：由题意可知m每增加1，L增加0.5，所以L=10+0.5m.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中,变量有( )
①行驶速度; ②行驶时间; ③行驶路程; ④汽车油箱中的剩余油量.
A. 1个 B.2个 C.3个 D. 4个
2.小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q (元)与他买这种笔记本的本数x
之间的关系是( )
A. Q=8x B. Q=50-8x C. Q=8x-50 D.Q=8x+503.下表是某报纸公布的世界人口数据情况:
上表中的变量是( )
A.仅有一个，是时间(年份) B.仅有一个，是人口数
C.两个，一个是人口数，一个是年份 D.一个也没有
4.如果水的流速是50米/分(一定量)，那么每分钟的流水量Q(立方米)与所选择的水管半径
D(米)之间的关系式是Q=50πD2, 其中变量是_________，常量是________.
5.某种报纸每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，则y与x的关系式是________这里变量是
_______，常量是_______.
6.矩形相邻两边长分别为x，y，面积为30，则用含x的式子表示y为________，这里变量是
_______，常量是_____.
7.观察下表并填空:
y与n的关系式为__________，这里变量是_______，常量是________.
8.根据条件写出下列关系式，并指出它们的变量和常量:
(1)某市的自来水价为4元/t.现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为 x
t，月应交水费为 y 元.
(2)某地手机通话费为0.2元/min.李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间
为 t min，话费卡中的余额为 w 元.
(3)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为 r，圆周长为C，圆周率(圆周长与直径之
比)为r.
(4)把10本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放)，第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y
本.
9.某电影院地面的一部分是扇形，座位按下列方式设置:
(1)上述哪些量在变化?(2)第5排、第6排各有多少个座位?
(3)第n排有多少个座位?请说明你的理由.
10.父亲告诉小明: “距离地球越远，温度越低.”父亲还出示了下面的表格:
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，请你和小明一起回答:
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?
(2)如果用h表示距离地面的高度，用t表示相应的温度，那么随着h的变化，t如何变化?
(3)你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗?
(4)你能预测距离地面6千米的高空温度是多少吗?
【参考答案】
1. C
2. B
3. C
4. D与Q; 50与π
5. y=0.4x; x与y; 0.4
6. y=30/ 与
7. y=2n-
𝑥
3;
; x
n与
y
y
;
;
3
2
0
与-3
8. 解:(1) y=4x.变量是x和y；常量是4.
(2) w=30-0.2t.变量是t和w；常量是30和-0.2.
(3) C=2πr.变量是r和C；常量是2π.
(4) y=10-x.变量是x和y；常量是10.
9.解:(1)排数和相应的座位数在变化.
(2)第5排、第6排分别有76、80个座位.
(3)由表格的规律可知，排数增加1，相应增加4个座位，因此第n排有(4n+56)个座位.
10.解:(1) 距离地面的高度和温度
(2) 随着h的不断升高，t不断降低，关系可以表示为t=20-6h
(3) t=20-6h=20-6×5=-10℃
(4) t=20-6h=20-6×6=-16℃
四、教学反思：整个教学过程中，作为教学主导的老师需特别注重对学生感受知识与处理问题的能力与结果
的即兴评价. 应引导学生在学习中多举例，多类比，多思考，多体会，以此激发和培养学生
的学习兴趣，理解和接受常量与变量的概念，改变对概念下程式化的定义，切实提高学生的
学习兴趣，降低函数学习入门的难度.
