文档内容
第十九章 一次函数
19.4 一次函数的实际应用 分层作业
题型目录
考查题型一 分配方案问题
考查题型二 最大利润问题
考查题型三 行程问题
考查题型四 几何问题
考查题型一 分配方案问题
一、单选题
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再
按每千米 元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车
方案，则他的行驶里程是（ ）
A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米
2．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、
教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表：
甲种客车 乙种客车
载客量（单位：人/辆） 45 30
租金（单位：元/辆） 400 280
则最节省费用的租车方案是（ ）
A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆
C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆
二、解答题
3．（22-23八年级下·河南漯河·阶段练习）在“美丽安顺，清洁乡村”活动中，李家村村长提出了两种购
买垃圾桶方案：
方案1：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元；
方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元．
设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y 元，交费时间为x个月；方案2的购买费和每月垃圾处理费共
1
为y 元，交费时间为x个月．
2(1)直接写出 与x之间的函数关系式；
(2)在同一坐标系内，画出函数 的图象；
(3)在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？
4．（21-22八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）为了美化校园环境，争创绿色学校，某县教育局委托园林公司
对A、B两校进行校园绿化．已知A校有3600平方米空地需铺设草坪，B校有2400平方米空地需铺设草坪．
在甲、乙两地分别有同种草皮3500平方米和2500平方米出售，且售价一样．若园林公司向甲、乙两地购
买草皮，其路程和运费单价表如下：
A校 B校
运费单价
路程（千米） 路程（千米） 运费单价（元）
（元）
甲
20 0.15 10 0.15
地
乙
15 0.20 20 0.20
地
(1)设甲地运往A校的草皮为x平方米，总运费为y元，写出y与x的函数关系式；
(2)请你设计一种运费最少的方案，并说明最少费用是多少？
5．（23-24八年级下·全国·假期作业）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某校准备在某超市为书法课购买一批毛笔和宣纸，已知毛笔的单价为5元，宣纸的单价
为0.36元．该校准备购买毛笔50支，宣纸 张 ，该超市给出以下两种优惠方案．
方案 ：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；
方案 ：购买的宣纸超出200张的部分打七五折，毛笔不打折．
设方案 的总费用为 元，方案 的总费用为 元．
(1)请分别求出 ， 与 之间的函数表达式；
(2)若该校准备购买宣纸300张，则选择哪种方案更合算？请说明理由．
6．（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某厂派出车队运送 箱货物到 两地，若用大、小货车
共 辆，则恰好能一次性运完；大货车每辆能装 箱，小货车每辆能装8箱，其运往 两地的运费如下
表：
目的
地 地（元/辆） 地（元/辆）
车型
大货
车
小货
车
(1)求这 辆车中大、小货车各多少辆；
(2)现安排其中 辆货车前往 地，其余货车前往 地．设前往 的大货车为 辆，前往 两地的总运费
为 元，试求出 与 的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，若运往 的货物为 箱，请你写出此时的货车调配方案，并求出总运费；7．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）某种中性笔在甲、乙两家文具店的标价都是4元/支，在促销活
动期间，两家文具店都进行了优惠活动．
甲文具店：购买不超过20支按原价销售，超过20支，则超出的部分按6折销售；
乙文具店：不论买多少，全部按八折销售．
(1)分别写出在甲、乙两家文具店购买这种中性笔所付总费用 、 （元）与购买支数 之间的函
数表达式；
(2)请你通过计算分析说明促销活动期间在哪家文具店购买划算？
8．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）移动公司手机话费有A套餐（月租25元，通话费每分钟 元）和B
套餐（月租0元，通话费每分钟 元）两种．设A套餐每月话费为 元，B套餐每月话费为 元，月通话
时间为 分钟．
(1)分别表示出 、 与 的函数关系式；
(2)月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样?
(3)什么情况下B套餐更省钱?9．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）初二年级组织师生参加春游，准备租用 两型客车（每种型号
的客车至少租用一辆），A型车每辆租金500元， 型车每辆租金600元，若5辆A型和2辆 型车坐满后
共载客300人；3辆A型和4辆 型车坐满后共载客320人．
(1)每辆A型车、 型车坐满后各载客多少人？
(2)若年级计划租用A型和 型两种客车共14辆，总租金不高于7800元，并将全年级610名师生载至目的
地．则年级有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
10．（22-23八年级下·四川巴中·阶段练习）北京 官方特许商品旗舰店在北京冬奥会召开期间，购进一
批 不同型号的盲盒，购进 个A型号的盲盒和 个， 型号的盲盒需要 元，购进 个A型号的盲盒
和 个 型号的盲盒需要 元．
(1) 不同型号的盲盒单价各是多少元？
(2)该旗舰店计划购进 不同型号的盲盒共 件，其中 型号的盲盒的个数不大于 型号的盲盒个数，
并且计划费用不超过 元，请问有几种购买方案？ 哪种方案最省钱？
11．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了无人机操作校本课程．现需购买A、B两种型号的无人机．已知2台A型无人机和3台B型无人机共需
3400元，4台A型无人机和5台B 型无人机共需6200元．
(1)求A型、B型两种无人机的单价分别是多少元？
(2)学校准备购买A型和B型无人机共100台，购买B型无人机不超过A型无人机的2倍．商家给出购买A
型无人机打九折优惠，购买B型无人机打八折优惠，问购买A型无人机多少台时花费最少？最少花费是多
少元？
考查题型二 最大利润问题
1．（22-23八年级下·四川泸州·期末）某蔬菜商需要租赁货车运输蔬菜，经了解，当地运输公司有甲、乙
两种型号货车，其租金和运力如表：
(1)若该商人计划租用甲、乙货车共10辆，其中甲货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；
租金（元/辆） 最大运力（箱/辆）
甲货
1000 80
车
乙货
600 40
车
(2)在（1）的条件下，若这批蔬菜共520箱，所租用的10辆货车可一次将蔬菜全部运回，请给出最节省费
用的租车方案，并求出最低费用．
2．（23-24八年级下·河南郑州·期中）郑州外国语中学为迎接40周年校庆，决定委托设计公司制作 、两种纪念章，已知制作3个 种纪念章比制作2个 种纪念章多花140元，制作4个 种纪念章与制作5
个 种纪念章所需钱数相同．
(1)求 ， 两种纪念章每个的价格；
(2)设计公司也给出了优惠方案， 种纪念章打九折．若学校打算制作 ， 两种纪念章共300个，且 种
纪念章的个数不多于 种纪念章个数的一半，则学校最少要花费多少钱？
3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）我市计划对1000m2的区域进行绿化，由甲、乙两个工程队合作完成．
已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队的2倍；当两队分别各完成200m2的绿化时，甲队比乙队少用2天．
(1)求甲、乙两工程队每天能完成的绿化的面积；
(2)两队合作完成此项工程，若甲队参与施工n天，试用含n的代数式表示乙队施工的天数；
(3)若甲队每天施工费用是0.6万元，乙队每天为0.25万元，且要求两队施工的天数之和不超过15天，应如
何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用
4．（23-24八年级下·全国·课后作业）在国道202公路改建工程中，某路段长 ，由甲、乙两个工程
队拟在30天内（含30天）合作完成．已知两个工程队各有10名工人（设甲、乙两个工程队的工人全部参
与改建，两工程队内每人每天的工作量相同）．甲工程队1天、乙工程队2天共修路 ；甲工程队2天、乙工程队3天共修路 ．
(1)试问甲、乙两个工程队每天分别修路多少米？
(2)已知甲工程队每天的施工费用为 万元，乙工程队每天的施工费用为 万元，要使该工程的施工费
用最低，甲，乙两队需各做多少天？最低费用为多少？
5．（23-24八年级下·陕西西安·期中）我校运动会需购买 ， 两种奖品，其中 奖品的单价是 元；
奖品的单价是 元．计划购买 两种奖品共 件，购买费用不超过 元，且 种奖品的数量不大于
种奖品数量的 倍．
(1)求出 种奖品的数量范围；
(2)设购买费用为 元，写出 （元）与 种奖品的数量 （件）之间的函数关系，并确定最少费用 的
值．
6．（23-24八年级下·福建福州·期中）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子
是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经
了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购
进乙种粽子的个数相同．(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的
利润为W元．超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
7．（23-24八年级下·陕西西安·期中）初二年级组织师生到秦岭国家植物园研学，准备租用A、B两种型号
的客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型和
2辆B型车坐满后共载客300人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客320人．
(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？
(2)若年级计划租用A型和B型两种客车共40辆，要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，则采用哪
种租车方案租金最少？最少租金是多少元？
8．（23-24八年级下·陕西西安·期中）某校春季运动会开幕式上要进行航模表演．某商店看准商机，推出
了 和 两款飞机模型．该店计划购进两种模型共 个，购进 模型的数量不超过 模型数量的 倍．
、 两款飞机模型的售价、进价如下表所示：
售价 进价模
型
模型
(1)求商家至少购进多少个 款飞机模型？
(2)如果 模型的进价上调 元 ， 模型的进价不变，但限定 模型的数量不少于 模型的数量，
两种模型的售价均不变．航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的最大利润是 元，请求出符合条件
的 的值．
9．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智
慧启发，让人滋养浩然之气”． 我校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《格列佛游
记》两种读物．已知购买2本《艾青诗选》和1本《格列佛游记》需35元；购买3本《艾青诗选》与购买
2本《格列佛游记》需 60元．
(1)购买1本《艾青诗选》和1本《格列佛游记》各需多少元？
(2)若班级计划《艾青诗选》和《格列佛游记》共45本，《格列佛游记》的数量不少于《艾青诗选》数量
的2倍，设购买《艾青诗选》m本，求购买读物所需最少费用是多少元？
10．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯
的进价、售价如下表：
类型 价格 进价（元/盏） 售价（元/盏）
A型 30 45B型 50 70
(1)若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各进多少盏．
(2)若设商场购进A型台灯m盏，销售完这批台灯所获利润为P，写出P与m之间的函数关系式．
(3)若商场规定B型灯的进货数量不超过A型灯数量的4倍，那么A型和B型台灯各进多少盏售完之后获得
利润最多？
11．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）疫情过后，地摊经济逐步步入大众视野，某个体户购买
了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要118元；若购进腊梅8束，百合6束，
需要214元．
(1)求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？
(2)若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为28元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共90
束，计划购买成本不超过1400元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的 ，两种鲜花全部销售完时，求销
售的最大利润及相应的进货方案．
12．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）某陕北特产店铺将红枣和小米这两种特产从线下销售转为线上
销售，此前网店运营了一段时间，根据此阶段销售经验，下一个季度该网店预计可以销售该种红枣和小米
共 ．已知该网店销售红枣的利润为20元 ，销售小米的利润为8元 ．设该网店下一个季度销售红枣的质量为 ．
(1)下表为该网店销售红枣的质量 与销售红枣与小米所获利润的关系，根据题意填表：
销售红枣的质量 100 500 1000 1500 …
销售红枣的利润/元 2000 20000 …
销售小米的利润/元 15200 8000 …
(2)设该网店下一个季度销售红枣的利润为 元，销售小米的利润为 元，分别求出 ， 关于 的函数
解析式；
(3)若该种红枣的销售量不低于 ，则该网店下一个季度销售该种红枣和小米至少能够获得利润多少元？
13．（23-24八年级下·山东青岛·期中）利群商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，
乙种服装每件售价100元，每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，购进3件甲种服装的费用和购
进4件乙种服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
(1)甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？
(2)若购进这100件服装的费用不得超过7500元．
①求甲种服装最多购进多少件；
②利群商场对甲种服装每件降价 元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如
何进货才能获得最大利润？
考查题型三 行程问题
一、单选题
1．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）如图，图中的两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的一次函
数图象，图中 （单位：米）和 （单位：秒）分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：
①甲让乙先跑了12米；②射线 表示甲的路程与时间的函数关系；
③甲的速度比乙快1.5米/秒；
④8秒钟后，甲超过了乙
其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）如图，小刚骑电动车到单位上班，最初以某一速度匀速行进，由于
途中遇到火车挡道，停下等待放行，耽误了几分钟，小刚加快了速度，仍保持匀速，行进距离y（千米）
与行进时间t（小时）的函数图象的示意图（ ）
A． B．
C． D．
二、解答题
3．（23-24八年级下·上海闵行·期中）甲、乙两位同学一次晨跑的路程S（米）与时间t（分）的关系如图
所示．已知他们从同一地点出发，跑步的路线和总路程（1500米）也相同，其中甲先出发，途中由于鞋子
问题耽误了一些时间．图中 ．根据图形所提供的信息，回答下列问题：(1)甲在途中耽误了______分钟；
(2)乙跑步的速度是______米/分；
(3)如果甲想与乙同时到达终点，那么他在解决鞋子问题后速度应提高到______米/分．
4．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）如图是某辆汽车加满油后，油箱剩油量y（升）关于已行驶路程x
（千米）的函数图像（由两条线段构成）．
(1)根据图像，当油箱剩油量为26升时，汽车已行驶的路程为________千米；当 时，消耗一升油
汽车能行驶的路程为________千米．
(2)当 时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶300千米时油箱的剩油量．
5．（23-24八年级下·河北唐山·期中） ， 两地相距 ，甲、乙两车分别从 地和 地同时出发相向而行．他们距 地的路程 和出发后的时间 （ ）之间的函数关系的图象如图所示．
(1)分别求出甲、乙两车距 地的路程 与时间 的函数关系式；
(2)求甲乙两车相遇的时间；
(3)直接写出两车相距 千米时 的值；
6．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，
甲、乙两车离开A城的距离 （千米）、 （千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所
示．
(1)A，B两城相距________千米；
(2)分别求出甲乙两车离开A城的距离 和 关于t的函数关系式；
(3)乙车行驶过程中，当甲、乙两车相距50千米时，求出乙车行驶的时间．7．（2024八年级下·上海·专题练习）如图， 与 分别是根据 步行与 骑自行车在同一路上行驶的路程
与时间 的关系式所作出的图象，根据图象填空．
(1) 出发骑了一段路后，自行车发生故障进行修理，所用的时间是 ___________小时； 从起点出发后
___________小时与 相遇；
(2)如果 的自行车没有发生故障，保持出发时的速度前进，___________小时与 相遇，相遇点离 的出发
点___________千米．
8．（23-24八年级下·北京房山·期中）小强从家骑自行车去体育场，在那里锻炼了一段时间后又骑自行车
到文具店去买笔，然后骑自行车回家，小强离家的距离 与所用的时间 的函数关系如图所示．
观察图象，解答下列问题：
(1)小强到达离家最远的地方用了______ ；
(2)小强出发 后离家______ ；
(3)求小强从家出发后，经过多长时间离家 ．9．（23-24八年级下·山西临汾·期中）2024年元旦期间，小康和小勇从学校同时出发到太原市晋祠游玩，
小康选择匀速步行，小勇先以150米/分的速度骑自行车出发，中间休息了一段时间，再加速前往晋祠．小
勇重新出发时，小康已经超过小勇300米，但最终小勇比小康提前2.5分钟到达晋祠，小康和小勇的行驶
路程 （米）与行驶时间 （分钟）之间的函数关系图象如图所示．
(1)求m，n的值．
(2)求直线 的函数表达式．
(3)求小康与小勇第二次相遇时与景点晋祠的距离．10．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研
究如下：
【提出驱动性问题】机场监控问题．
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他
们解决相关问题．
素材1：如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以 的速度在离
地面 高的上空匀速向右飞行．
素材2：2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方从原点O处沿 角爬升，到高 的A处
便立刻转为水平飞行，再过 到达B处开始沿直线 降落，要求 后到达 处．
(1) 段h关于s的函数解析式为________，2号机的爬升速度为________ ．
(2)求出 段h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标．
(3)两机距离 不超过 的时长为________ ．
11．（23-24八年级下·海南海口·阶段练习）宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通
车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．试运行期
间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为
x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象，解答下列问题：(1)西宁与西安相距_______千米，两车出发后_______小时相遇；
(2)普通列车的速度为_______千米/时；动车的速度为_______千米/时．
(3)动车行驶多长时间与普通列车相距 千米？
12．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路
后，突然想起要买文具，于是又折回到刚经过的某文具店，买到文具后继续骑车去学校．如图是他本次上
学所用的时间与离家的距离之间的关系图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小明家到学校的距离是______米，文具店到学校的距离是______米．
(2)小明在文具店停留了______分钟，本次上学途中，小明一共行驶了______米．
(3)在整个上学途中，哪个时间段小明骑车速度最快？最快的速度是多少？
(4)如果小明不买文具，以往常的速度去学校，需要花费多长时间？本次上学比往常多用了多长时间？
13．（23-24八年级下·全国·课后作业）小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地走去，如图所示， ， 分别表示小东、小明离B地的距离 与所用时间 的关系．
(1)试用文字说明交点P所表示的实际意义；
(2)试求 ， 的函数表达式；
(3)在什么时间范围内，两人至少相距 ？
14．（23-24八年级下·上海金山·期中）小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度
骑行一段时间，休息了5分钟，再以 米/分的速度到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路
程 （米）与时间 （分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
(1) ___________分， ___________分， ___________米/分：
(2)若小明的速度是120米/分，小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是___________分，此时距图书馆的距
离是___________米：
(3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是___________分．
15．（22-23八年级下·吉林长春·期中）小林同学从家出发，步行到离家 米的公园散步，速度为 米/分钟，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离 （米）（分钟）的函数关系如图所示．
(1)a=______；
(2)求CD所在直线的函数表达式；
(3)小林出发多长时间与哥哥第二次相遇？
考查题型四 几何问题
一、填空题
1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，且
． 为线段 上一点， 轴于点 ， 的平分线交 轴于点 ．线段
上有一动点 ，在 轴上有一动点 ，连接 、 、 ，则 周长的最小值为 ．二、解答题
2．（23-24八年级下·福建·期中）如图，已知一次函数 图象经过 两点，且与 轴于
点 ．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)求 的面积．
3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，已知直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，且
，点C的坐标为 ，点P在线段 上．
(1)求直线l的函数表达式；
(2)连接 和 ，当点P的横坐标为4时，求 的面积．4．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）我们约定：若关于 的一次函数 和 同时满足
， ，则称函数 和 互为“真诚函数”．根据该约定，解答下列问题：
(1)若关于 的一次函数 和 互为“真诚函数”，求 ， 的值；
(2)若关于 的一次函数 的“真诚函数”经过点 ，且与 的交点P在第三象限，求 的
取值范围；
(3)在平面直角坐标系中，点 ，点 ，若关于 的一次函数 与它的“真诚函数”交于
点N，在平面内是否存在点M，使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形．若存在，求出M点坐标；若
不存在，请说明理由．
5．（23-24八年级下·北京东城·期中）如图，在等腰 中， ．点 为 的
中点，动点 从点 出发，沿着 方向运动至点 处停止，过点 作 ，交 于点 ．
设点 运动的路程为 ，点 的距离为 ．(1)请直接写出 关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)解决问题：当点 的距离恰好是点 运动的路程的2倍时，点 的距离是______．
6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图所示，在同一个坐标系中一次函数 和 的
图象，分别与 轴交于点 、 ，两直线交于点 ．已知点 坐标为 ，点 坐标为 ，观察图象
并回答下列问题：
(1)关于x的方程 的解是___；关于 的不等式 的解集是______．
(2)直接写出关于x的不等式组 解集是______．
(3)若点 坐标为 ，
①关于 的不等式 的解集是______；
② 的面积为______．
③在 轴上找 点 ，使得 的值最大，则 点坐标为______．7．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线
与x轴交于点D，与 交于点E，点E的横坐标为4．
(1)求b的值和点D的坐标；
(2)已知P是坐标平面内一点，连接 ， ， ， 所得的 ， 的面积分别为 ，
设 ；
①若点P的坐标为 ，求k的值；
②如图（2），点P的坐标为 ，且位于四边形BODE内，若k为定值，请求出这个定值，若不
是请说明理由．8．（23-24八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，直线 和直线
都经过点 ．
(1)求直线 的解析式和n的值；
(2)若直线 ， 与y轴所围成的三角形面积为5，求 的值；
(3)将直线 向下平移6个单位，直线 向右平移4个单位，若平移后的两条直线交点在第三象限，求 的
取值范围．9．（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图，等腰直角三角形 的直角边长和正方形 的边长均为
与 在同一条直线上，开始时点 和点 重合，现将等腰直角三角形 以 的速度向
左移动，直到 与 重合，设等腰直角三角形 移动 秒时， 与正方形 重叠部分的面
积为 ．
(1)求 与 的函数关系式及自变量 的取值范围．
(2)当 时，求 的值．
(3)若将 向左移动， 与 重合时停止移动．
①求当 时， 与正方形 重叠部分的面积 与 的函数关系式；
②求当 时， 的值．10．（21-22八年级下·上海奉贤·期中）已知：如图1．四边形 是菱形， ， ．
绕顶点 逆时针旋转 ，边 与射线 相交于点 （点 与点 不重合），边 与射线 相
交于点 ．
(1)当点 在线段 上时，求证： ；
(2)设 ， 的面积为 ．当点 在线段 上时，求 与 之间的函数关系式，写出函数的定义
域；
(3)连接 ，如果以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，求线段 的长．11．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，直线 分别与x，y轴交于A，B两点，点 的坐
标为 ，过点 的直线交 轴正半轴于点 ，且 ．
(1)直接写出B、C两点的坐标；
(2)在x轴上方是否存在点 ，使以点A，B，D为顶点的三角形与 全等．若存在，求出点 的坐标，
若不存在，请说明理由；
(3)点 是 轴上的一点，连接 ，将 沿直线CP翻折，当点 的对应点 恰好落在 轴上时，求此
时直线 的函数表达式．12．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于
点 ，与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ．
(1)求直线 的解析式和线段 、 的长度；
(2)在线段 上有一动点 （点 不与点 、 重合），过点 作 轴于点 ， 直线 于点 ，
以 、 为邻边作 ．
①求 的周长；
②当 为菱形时，求点 的坐标．1．（23-24八年级下·河北唐山·期中）五一黄金周，小红一家驾车出游，出发时油箱内存有一定数量的汽
油，行驶若干小时后，到达第一个旅游景点A，游玩后驾车赶往第二个景点，从第一个景点出发4h后在途
中某一加油站加油，加油5分钟使油箱内汽油的升数与未出发前一致，若汽车从始至终都是以同一速度匀
速行驶，图中表示的是该过程中油箱里的剩油量 （L）与行驶时间 （h）之间的函数关系．
(1)油箱内原有汽油________升；在第一个景点游玩________h；
(2)A点坐标表示的实际意义________；
(3)直接写出C点坐标________；
(4)求 所在直线解析式．2．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图1，在梯形 中， ，点
E在边 上且 ．动点P，Q同时从点E出发，点P以每秒1个单位长度沿折线 方向运
动到点D停止，点Q以每秒2个单位长度沿折线 方向运动到点C停止．设运动时间为t秒，
的面积为y．
(1)请直接写出y关于t的函数表这式并注明自变量t的取值范围；
(2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质 ；
(3)结合函数图象，若直线 与函数图象有1个交点，则t的取值范围是 ．3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在平行四边形 中， 为钝角， ， 分别为
边 ， 上的高，交边 ， 于点 ， ，连结 ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)如图2，若 ，以点 为原点建立平面直角坐标系，点 坐标为 ，点 为直线 上一
动点，当 时，求出此时点 的坐标．4．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系 中，对于线段 和点 ，给出如下定义：
若在直线 上存在点 ，使得四边形 为平行四边形，则称点 为线段 的“银杏点”．已知
， ．
(1)在 ， ， ， 中，线段 的“银杏点”是______；
(2)点 为直线 上一点，若点 是线段 的“银杏点”且不在第二象限，求 的取值范围．5．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图1，若点M、N是某个正方形的两个对角顶点，则称M、N互为
“正方形关联点”，这个正方形被称为M、N的“关联正方形”．
(1)在平面直角坐标系 中，点P是原点O的“正方形关联点”．
①若 ，则点O、P的“关联正方形”的周长为 ；
②若点P在直线 上，则点O、P的“关联正方形”面积的最小值为 ；
(2)如图2，已知点 ，点B在直线l：上，正方形 是点A、B的“关联正方形”，顶点P、Q到
直线l的距离分别为a、b，求 的最小值．6．（23-24八年级下·北京通州·期中）对于平面直角坐标系 中的图形 和图形 ，给出如下定义： ，
分别为图形 和图形 上任意一点，将 ， 两点间距离的最小值称为图形 和图形 之间的“关联
距离”，记作 ．例如，如图①，点 与 轴之间的“关联距离” ．
(1)如图②，已知点 和点 ，则 ______；(2)如图③，已知点 ， ， ，点 是 轴正半轴上一点，若 ，求点 的
坐标；
(3)已知 ， ，当 时，对于每一个 的值，若线段 和一次函数 （ 是常
数， ）的图像之间的“关联距离” ，请直接写出 的取值范围．
7．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知，矩形 中， ， ，菱形 的三个顶点
分别在矩形 的边 上， ，连接 ．
(1)如图 ，若 ，求证：菱形 是正方形；
(2)如图 ，当点 在矩形 的外部时．探究：点 到直线 的距离是否发生变化？并说明理由；
(3)请直接写出 面积的最小值．
8．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）夏季来临，游泳成为同学们一项热爱的体育运动．甲、乙两位同学
放学后从学校匀速步行前往游泳馆，甲比乙先出发5分钟，结果比乙晚到2.5分钟甲、乙两位同学距学校的路程y（km）与甲同学出发的时间t（h）之间的函数关系图象如图所示：
(1)a=______，b=______．
(2)乙同学的步行速度是多少?
(3)甲同学出发多长时间后，甲、乙两同学相距0.4km?
9．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）在一条笔直的公路上有 、 两地，甲、乙二人同时出发，甲从
地步行匀速前往 地，立刻以原速度沿原路返回 地．乙从 地步行匀速前往 地（甲、乙二人到达 地
后均停止运动），甲、乙二人之间的距离 （米）与出发时间 （分钟）之间的函数关系如图所示，请结
合图象解答下列问题：
(1) 、 两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分；
(2)图中 ， ， ；
(3)求线段 的函数解析式．
10．（22-23八年级下·吉林长春·期末）小聪和小明沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小聪骑共享单车，小明步行．当小聪从原路回到学校时，小明刚好到
达图书馆．图中折线 和线段 分别表示两人离学校的路程 （千米）与所经过的时间 （分
钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
(1)小聪在图书馆查阅资料的时间为_________分钟，小聪返回学校的速度为_________千米/分钟．
(2)求小聪从图书馆返回学校时离学校的路程 （千米）与 （分钟）之间的函数表达式，并写出自变量 的
取值范围．
(3)若设两人在路上相距不超过 千米时称为“可控距离”，则小聪和小明“可控距离”的时间共有______
分钟．
11．（22-23八年级下·河北邢台·期末）学校计划组织八年级的同学参观大学城，已知八年级共有480名同
学，计划租用9辆客车，现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表：
租金/（元/辆） 载客量/（座/辆）
甲种客车 1700 45
乙种客车 2000 60
(1)若恰好一次性将480名学生送往大学城且客车全部坐满，则应租用甲、乙两种客车各多少辆？
(2)设租用甲种客车x辆，租用甲、乙两种型号的客车总费用y元．
①求y与x的函数关系式．
②在保证所有同学均能被送达大学城的情况下，怎样租车费用最低？最低费用是多少元？
12．（22-23八年级下·福建厦门·期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大
了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：
商品 进价 售价
乒乓球拍（元/套） 45
羽毛球拍（元/套） 52
已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．
(1)求出a，b的值；
(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，
售完这批体育用品获利y元．
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（ ），羽毛球拍的进
价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？
13．（22-23八年级下·河北保定·期末）本学期初二年级举办了篮球比赛，为了让参赛的运动员更好地训练，
体育组计划购买甲，乙两种品牌的篮球，已知甲品牌篮球的单价比乙品牌篮球的单价低40元，且用4800
元购买甲品牌篮球的数量是用4000元购买乙品牌篮球数量的 倍．
(1)求甲、乙两种品牌篮球的单价．
(2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的篮球共90个，且乙品牌篮球的数量不小于甲品牌篮球数量的2倍，购
买两种品牌篮球的总费用不超过17200元．则该校共有几种购买方案？
(3)在（2）条件下，专卖店准备对乙种品牌的篮球进行优惠，每个乙种篮球优惠 元 ，甲种篮
球价格不变，那么学校采用哪一种购买方案可使总费用最低？
14．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）我市某镇组织 辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共 吨到外
地销售．按计划， 辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，
解答以下问题．脐橙品种 A B C
每辆汽车运载量（吨）
每吨脐橙获利（元）
(1)设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式；
(2)如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？
(3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值．
15．（2023八年级下·全国·专题练习）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．
已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需
12万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元？
(2)已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公司计划最多用16
万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每小时的分拣量最大？
16．（22-23八年级下·湖北荆门·期末）为了落实“乡村振兴”政策， 两城决定向 两乡运送水泥建
设美丽乡村，已知 两城分别有水泥200吨和300吨，从 城往 两乡运送水泥的费用分别为20
元/吨和25元/吨；从 城往 两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现 乡需要水泥240吨，
乡需要水泥260吨．(1)设从 城运往 乡的水泥 吨．设总运费为 元，写出 与 的函数关系式并求出最少总运费．
(2)为了更好地支援乡村建设， 城运往 乡的运费每吨减少 元，这时 城运往 乡的水泥多少
吨时总运费最少？
17．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、
，与直线 交于点 ，直线 与y轴交于点E，连接 ．
(1)求直线l的解析式；
(2)求 的面积；
(3)Q为直线 上一点，若 为等腰三角形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q
的坐标的其中一种情况的过程．18．（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，矩形 的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B
的坐标为 ，一次函数 的图象与边 、 分别交于点D、E，且 ．点M是线段
上的一个动点．
(1)求b的值；
(2)连接 ，若三角形 的面积与四边形 的面积之比为 ，求点M的坐标；
(3)设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．
