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类比归纳专题：一元二次方程的解法
——学会选择最优的解法
类型一 一元二次方程的一般解法 所以x2＋3x－4＝（x＋4）（x－1）＝0，
方法点拨： 形如（x＋m）2＝n 即x＋4＝0或x－1＝0，所以x＝－4，x＝1.
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（n≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二 2.解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可
次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可 转化为解两个一元一次方程，请写出其中的
用配方法；若方程移项后一边为0，另一边 一个一元一次方程____________.
能分解成两个一次因式的积，可用因式分解 3.用十字相乘法解下列一元二次方程：
法；如果方程不能用直接开平方法和因式分 （1）x2－5x－6＝0；
解法求解，则用公式法. （2）x2＋9x－36＝0.
1.用合适的方法解下列方程：
（1）－＝0；
二、换元法
（2）x2－6x＋7＝0； 方法点拨：在已知或者未知条件中，
某个代数式几次出现，可用一个字母来代替
它从而简化问题，这就是换元法，当然有时
候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的
方程通过换元的方法变成一元二次方程，从
（3）x2－x＋＝0； 而达到降次的目的.
4.若实数a，b满足（4a＋4b）（4a＋4b－
2）－8＝0，则a＋b＝_______.
5.解方程：（x2＋5x＋1）（x2＋5x＋7）＝
（4）3x（2x＋1）＝4x＋2. 7.
*类型二 一元二次方程的特殊解法
一、十字相乘法
方法点拨：例如：解方程：x2＋3x－
4＝0.
1.解：（1）移项，得＝，
两边开平方，得x－＝±，
第1种拆法：4x－x＝3x（正确）， 即x－＝或x－＝－，
第2种拆法：2x－2x＝0（错误）， ∴x＝3，x＝2；
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1 ..（2）移项，得x2－6x＝－7，
配方，得x2－6x＋9＝－7＋9，即（x－
3）2＝2，
两边开平方，得x－3＝±，
∴x＝3＋，x＝3－；
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（3）原方程可化为8x2－4x＋1＝0.
∵a＝8，b＝－4，c＝1，
∴b2－4ac＝（－4）2－4×8×1＝0，
∴x＝＝，
∴x＝x＝；
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（| 4）原方程可变形为（2x＋1）（3x－2）
＝0，
∴2x＋1＝0或3x－2＝0，
∴x＝－，x＝.
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2. x－1＝0或x＋3＝0.
3.解：（1）原方程可变形为（x－6）（x＋1）
＝0，
∴x－6＝0或x＋1＝0，
∴x＝6，x＝－1；
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（2）原方程可变形为（x＋12）（x－3）
＝0，
∴x＋12＝0或x－3＝0，
∴x＝－12，x＝3.
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4.－或1
5.解：设x2＋5x＋1＝t，则原方程化为t（t
＋6）＝7，
∴t2＋6t－7＝0，解得t＝1或－7.
当t＝1时，x2＋5x＋1＝1，x2＋5x＝0，
x（x＋5）＝0，
∴x＝0或x＋5＝0，∴x＝0，x＝－5；
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当t＝－7时，x2＋5x＋1＝－7，x2＋5x
＋8＝0，
∴b2－4ac＝52－4×1×8＜0，此时方程
无实数根.
∴原方程的解为x＝0，x＝－5.
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2 ..
