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类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型
模型1：求同一顶点的角平分线与高线 90°＋∠A的规律，你认为正确吗？请给出
的夹角的度数 理由．
1．如图，AD，AE分别是△ABC的高和
角平分线．
(1)已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE
的度数；
(2)设∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，请用含α，
β的代数式表示∠DAE，并证明．
模型3：求一内角平分线与一外角平分
线的夹角的度数
4．如图，在△ABC中，BA 平分∠ABC，
1
CA 平分∠ACD，BA，CA 相交于点A.
1 1 1 1
(1)求证：∠A＝∠A；
1
(2)如图，继续作∠ABC和∠ACD的平
1 1
分线交于点 A ，得∠A ；作∠ABC 和
2 2 2
∠ACD的平分线交于点A ，得∠A……依
2 3 3
此得到∠A ，若∠A＝α，则∠A ＝
2017 2017
_____________.
模型2：求两内角平分线的夹角的度数
2．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB
的平分线交于点O.若∠BOC＝120°，则∠A
＝_____.
3．如图，△ABC中，点P是∠ABC，
∠ACB的平分线的交点．
(1)若∠A＝80°，求∠BPC的度数．
(2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC＝ 模型4：求两外角平分线的夹角的度数
1 ..【方法5】
5．(1)如图，BO 平分△ABC 的外角
∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，则
∠BOC与∠A的关系为____________；
(2)请就(1)中的结论进行证明．
参考答案与解析
1．解：(1)∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－
60°＝80°.∵AE 是角平分线，∴∠BAE＝
2 ..∠BAC＝×80°＝40°.∵AD是高，∴∠BAD
＝90°－∠B＝90°－40°＝50°，∴∠DAE＝
∠BAD－∠BAE＝50°－40°＝10°.
(2)∠DAE＝(β－α)，证明如下：∵∠B＝
α，∠C＝β(α＜β)，∴∠BAC＝180°－(α＋β)．
∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝90°
－(α＋β)．∵AD是高，∴∠BAD＝90°－∠B
＝90°－α，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝90°
－α－＝(β－α)．
2．60°
3．解：(1)∵BP，CP 为角平分线，
∴∠PBC＋∠PCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝
(180° － ∠ A) ＝ ×(180° － 80°) ＝ 50° ，
∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°
－50°＝130°.
(2)正确，理由如下：∵BP，CP为角平分
线，∴∠PBC＋∠PCB＝(∠ABC＋∠ACB)
＝(180°－∠A)＝90°－∠A，∴∠BPC＝180°
－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－＝90°＋∠A.
4．(1)证明：∵CA 平分∠ACD，
1
∴∠ACD＝∠ACD＝(∠A＋∠ABC)．又
1
∵∠ACD＝∠A ＋∠ABC，∴∠A ＋
1 1 1 1
∠ABC＝(∠A＋∠ABC)．∵BA 平分
1 1
∠ABC，∴∠ABC＝∠ABC，∴∠ABC＋
1
∠A＝(∠A＋∠ABC)，∴∠A＝∠A.
1 1
(2)
5．(1)∠BOC＝90°－∠A
(2)证明：如图，∵BO，CO分别是△ABC
的外角∠DBC，∠ECB的平分线，∴∠DBC
＝2∠1＝∠ACB＋∠A，∠ECB＝2∠2＝
∠ABC＋∠A，∴2∠1＋2∠2＝2∠A＋
∠ABC＋∠ACB＝∠A＋180°，∴∠1＋∠2
＝∠A＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝90°－∠A.
3 ..
