文档内容
21.1 一元二次方程
【考点1一元二次方程的概念】
【考点2 根据一元二次方程的概念求参数】
【考点3 一元二次方程的一般形式】
【考点4 已知一元二次方程的解求参数】
【考点5 已知一元二次方程的解整体带入求值】
考点1： 一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元
二次方程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这
个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么
这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数项的最高次数是2。
【考点1一元二次方程的概念】
【典例1】（2024春•长沙期中）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．5x2﹣6y﹣3＝0
C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣3x＝0
【答案】D
【解答】解：A．该方程是分式方程，故本选项不合题意；
B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
C．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．【变式1-1】（2024春•苍南县期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．x2+xy﹣3＝0
C．x2+3x＝4 D．x+3（x﹣2）＝5x
【答案】C
【解答】解：A． ，是分式方程，故本选项不符合题意；
B．x2+xy﹣3＝0，是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C．x2+3x＝4，是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．x+3（x﹣2）＝5x，是一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【变式1-2】（2024春•乐清市期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．10x2＝9 B．2（x﹣1）＝3x C． D．x2﹣y2＝6
【答案】A
【解答】解：A．10x2＝9，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
B．2（x﹣1）＝3x，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．该方程是分式方程，故本选项不符合题意；
D．x2﹣y2＝6，含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式1-3】（2024春•镇海区校级期中）若方程□﹣2＝x是关于x的一元二次方程，则
“□”可以是（ ）
A．﹣2x B．22 C．2x2 D．2y2
【答案】C
【解答】解：A．﹣2x﹣2＝x，是一元一次方程，此选项不符合题意；
B．22﹣2＝x，是一元一次方程，此选项不符合题意；
C．2x2﹣2＝x，是一元二次方程，此选项符合题意；
D．2y2﹣2＝x，是二元二次方程，此选项不符合题意；
故选：C．
【考点2根据一元二次方程的概念求参数】
【典例2】（2024•张北县校级开学）关于x的方程ax2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（）
A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a＝1
【答案】C
【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣3x+2＝0是一元二次方程，
∴a≠0．
故选：C．
【变式2-1】（2023秋•邹平市期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次
方程，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3
【答案】A
【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，
∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，
解得：a＝﹣1，
故选：A．
【变式2-2】（2023秋•江津区期末）如果方程 是关于x的一元二次
方程，则p的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．3
【答案】B
【解答】解：∵方程 是关于x的一元二次方程，
∴p2﹣2＝2且p﹣2≠0，
∴p＝±2且p≠2，
即p＝﹣2．
故选：B．
【变式2-3】（2023秋•昆明期末）若关于x的方程（m+2）x2﹣3x+1＝0是一元二次方程，
则m的取值范围是（ ）
A．m≠0 B．m＞﹣2 C．m≠﹣2 D．m＞0
【答案】C
【解答】解：∵关于x的方程（m+2）x2﹣3x+1＝0是一元二次方程，
∴m+2≠0，
解得：m≠﹣2．故选：C．
考点2： 一元二次方程的一般形式
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次
项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各
项系数时不要漏掉前面的性质符号。
【考点3 一元二次方程的一般形式】
【典例3】（2023秋•宿迁期末）一元二次方程3x2﹣2x＝1的二次项系数、一次项系数、常
数项分别是（ ）
A．3，1，﹣2 B．3，2，1 C．3，﹣2，﹣1 D．3，2，﹣1
【答案】C
【解答】解：3x2﹣2x＝1变形为：3x2﹣2x﹣1＝0，
3x2﹣2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣2，﹣1，
故选：C．
【变式3-1】（2023秋•永善县期末）把一元二次方程 x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正
确的是（ ）
A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0
【答案】A
【解答】解：将一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式之后，变为x2﹣2x﹣2＝
0，
故选：A．
【变式3-2】（2024•沧州一模）方程x2＝﹣2x+8化为一元二次方程的一般形式后，二次项
系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，﹣2，8 B．﹣1，2，8 C．1，2，﹣8 D．1，2，8
【答案】C
【解答】解：x2＝﹣2x+8
x2+2x﹣8＝0，故二次项系数、一次项系数、常数项分别是1、2、﹣8，
故选：C．
【变式3-3】（2023秋•关岭县期末）把方程化成一般式x2+3x＝5，则a、b、c的值分别是
（ ）
A．1，﹣3，5 B．1，3，﹣5 C．1，3，5 D．0，3，﹣5
【答案】B
【解答】解：将原方程化为一般形式得x2+3x﹣5＝0，
∴a＝1，b＝3，c＝﹣5．
故选：B．
考点3：一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问
题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
考点4： 一元二次方程的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次
方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二
次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。
【考点4 已知一元二次方程的解求参数】
【典例4】（2024•大丰区模拟）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，
则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
【答案】C
【解答】解：将x＝2代入方程x2+mx﹣2＝0
得：4+2m﹣2＝0，解得：m＝﹣1．
故选：C．
【变式4-1】（2024春•杭州期中）已知一元二次方程 3x2﹣mx﹣m＝0的一个根是2，则m
的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C
【解答】解：把x＝2代入方程3x2﹣mx﹣m＝0得：
12﹣2m﹣m＝0，
12﹣3m＝0，
3m＝12，
m＝4，
故选：C．
【变式4-2】（2024•东莞市校级模拟）若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则下
列式子成立的是（ ）
A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．a+b﹣c＝0 D．﹣a+b+c＝0
【答案】B
【解答】解：∵x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
∴a﹣b+c＝0，
故选：B．
【变式4-3】（2023秋•澄海区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+x+a2﹣9＝0的
一个根是0，则a的值（ ）
A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．0
【答案】A
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（a﹣3）x2+x+a2﹣9＝0得a2﹣9＝0，
解得a ＝3，a ＝﹣3，
1 2
而a﹣3≠0，
所以a＝﹣3．
故选：A．
【考点5 已知一元二次方程的解整体带入求值】
【典例5】（2024•南山区校级模拟）若x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，则m2+m+2020的值
为（ ）
A．2024 B．2022 C．2020 D．2016
【答案】A
【解答】解：由题意得：把x＝m代入方程x2+x﹣4＝0中得：m2+m﹣4＝0，
∴m2+m＝4，
∴m2+m+2020＝4+2020＝2024，
故选：A．【变式5-1】（2023秋•阳谷县期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0的一个根是x
＝1，则代数式2027﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣2023 B．2023 C．﹣2024 D．2024
【答案】D
【解答】解：将x＝1代入原方程得：a+b﹣3＝0，
∴a+b＝3，
∴2027﹣a﹣b＝2027﹣（a+b）＝2027﹣3＝2024．
故选：D．
【变式5-2】（2023秋•平舆县校级期末）若x＝a是方程x2﹣x﹣2016＝0的根，则代数式
2a2﹣2a﹣2016的值为（ ）
A．1 B．2016 C．﹣1 D．﹣2016
【答案】B
【解答】解：由题意得：把x＝a代入方程x2﹣x﹣2016＝0中得：
a2﹣a﹣2016＝0，
∴a2﹣a＝2016，
∴2a2﹣2a﹣2016＝2（a2﹣a）﹣2016
＝2×2016﹣2016
＝4032﹣2016
＝2016，
故选：B．
【变式5-3】（2023秋•高阳县期末）如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2
﹣3a+2024的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【解答】解：∵a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，
∴2a2＝6a﹣4，
∴2a2﹣6a＝﹣4，
∴a2﹣3a＝﹣2，
∴a2﹣3a+2024＝﹣2+2024＝2022，
故选：B．一．选择题（共9小题）
1．（2023秋•禅城区期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝0 B．x+ ＝1 C．x+ ＝1 D．x+2y＝1
【答案】A
【解答】解：A．方程x2＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．方程 是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．方程x+ ＝1是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．x+2y＝1是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．（2023秋•桂东县期末）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣
b+c＝0，则方程的根是（ ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：在这个式子中，如果把 x＝1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知
a+b+c＝0可知：当x＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是 1，同理可以判
断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．
故选：C．
3．（2023秋•船山区期末）若关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，则a的取
值范围（ ）
A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3
【答案】B
【解答】解：∵关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，
∴3﹣a≠0，
解得a≠3．
故选：B．
4．（2023秋•永善县期末）把一元二次方程 x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（）
A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0
【答案】A
【解答】解：将一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式之后，变为x2﹣2x﹣2＝
0，
故选：A．
5．（2023秋•赣榆区期末）一元二次方程3x2﹣2x＝3的二次项系数、一次项系数、常数项
分别是（ ）
A．3、2、﹣3 B．3、2、3 C．3、﹣2、3 D．3、﹣2、﹣3
【答案】D
【解答】解：3x2﹣2x＝3，
即3x2﹣2x﹣3＝0，
即二次项系数、一次项系数、常数项分别是3、﹣2、﹣3．
故选：D．
6．（2023秋•武胜县期末）关于x的一元二次方程x2+mx＝3x+5化为一般形式后不含一次
项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
【答案】C
【解答】解：将x2+mx＝3x+5化为一般形式，得x2+（m﹣3）x﹣5＝0，
∵关于x的一元二次方程x2+mx＝3x+5化为一般形式后不含一次项，
∴m﹣3＝0，
解得：m＝3．
故选：C．
7．（2023秋•乌鲁木齐期末）将一元二次方程x（x﹣3）＝x化为一般形式后，其中一次项
系数和常数项分别是（ ）
A．1，﹣3 B．1，﹣4 C．﹣4，0 D．﹣3，0
【答案】C
【解答】解：∵x（x﹣3）＝x，
∴x2﹣3x＝x，
x2﹣3x﹣x＝0，
x2﹣4x＝0，∴将一元二次方程x（x﹣3）＝x化为一般形式后，其中一次项系数是﹣4，常数项是
0．
故选：C．
8．（2023秋•福州期末）若x＝3是关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根，则m的值是（
）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
【答案】C
【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣2x﹣m＝0得9﹣6﹣m＝0，
解得m＝3．
故选：C．
9．（2023秋•花溪区期末）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式2a2﹣4a的值为（
）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解，
∴a2﹣2a﹣1＝0，
即a2﹣2a＝1，
∴2a2﹣4a＝2（a2﹣2a）＝2×1＝2．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
10．（2023秋•忠县期末）一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一次项的系数是 ﹣ 1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：元二次方程x2﹣x﹣2＝0的二次项系数是﹣1．
故答案为：﹣1．
11．（2023秋•新会区期末）写出以x ＝4为一个根的一个一元二次方程 x 2 ﹣ 4 x ＝ 0 （答
1
案不唯一） ．
【答案】x2﹣4x＝0（答案不唯一）．
【解答】解：依题意得x2﹣4x＝0，
解得x ＝4，x ＝0，
1 2
故答案为：x2﹣4x＝0（答案不唯一）．
12．（2023秋•青铜峡市期末）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为1，则a+b+c＝0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为1，
即x＝1时，ax2+bx+c＝0成立，
即a+b+c＝0，
故答案为：0．
13．（2023秋•盘山县期末）如关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0一个根为
0，则m＝ ﹣ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0一个根为0，
∴m﹣1≠0，且m2﹣1＝0，
解之得，m＝﹣1，
故答案为﹣1．
14．（2023秋•庆阳期末）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解，则代数式2a2﹣4a+3的值
为 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解，
∴a2﹣2a＝1，
则2a2﹣4a+3＝2（a2﹣2a）+3＝2×1+3＝5；
故答案为：5．
三．解答题（共2小题）
15．（2023秋•南部县校级月考）已知关于 x的方程（m+3）（m﹣3）x2+（m+3）x+2＝
0．
（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵（m+3）（m﹣3）x2+（m+3）x+2＝0，
∴如果此方程是一元一次方程，则 ，
解得，m＝3，
即m＝3时，此方程是一元一次方程；
（2））∵（m+3）（m﹣3）x2+（m+3）x+2＝0，∴如果此方程是一元二次方程，则（m+3）（m﹣3）≠0，
解得，m≠﹣3且m≠3，
即m≠﹣3且m≠3时，方程是一元二次方程．
16．（2023•惠城区校级三模）先化简，再求值： ，其中m是方程x2
﹣x﹣1＝0的根．
【答案】 ，1．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝ ．
∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的根，
∴m2﹣m﹣1＝0．
∴m2﹣m＝1．
∴原式＝ ．
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