文档内容
y=a（ x-h ） 2
22.1.3.2 二次函数
+k
的性质
【考点1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴】
【考点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质】
【考点3二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】
【考点4二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】
【考点5根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】
【考点6二次函数y=a(x-h)²+k的图象问题】
【考点7二次函数y=a(x-h)²+k图象变换问题】
考点1 y=a（x-h)²+k的图象性质
【问题1】画出函数y＝－ (x+1)2－1的图象, 指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴
先列表
再描点、连线.
由函数y＝－ (x+1)2－1的图象，观察其特点是：开口方向向下；顶点坐标是(-1,-1)；对称轴是直线x=-1。
【问题2】画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
通过列表、描点、连线得到如下图象
图象特点是：开口方向向上； 对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1,-2)。
由【问题1】【问题2】概括二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质是：
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，k） （h，k）
最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k
当x＜h时，y随x的增大而减
当x＜h时，y随x的增大而增大；
增减性 小；当x＞h时，y随x的增大而
当x＞h时，y随x的减小而减小。
增大。
图象形状 抛物线形状
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
【考点1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴】
【典例1】函数 图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是．
【变式1-1】抛物线 的对称轴为 ．
【变式1-2】抛物线 的顶点坐标是 ．
【考点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质】
【典例2】对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，y随x的增大而减小 B．当 时，y随x的增大而减小
C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是
【变式2-1】对于二次函数 的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标是
C．当 时， 随 的增大而增大 D．对称轴是直线
【变式2-2】已知关于 的二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】已知抛物线 ，当 时， 随着 的增大而 ；当 时，
随着 的增大而 ．
【考点3 二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】
【典例3】抛物线 经过点 ， ， ，则 ， ， 的大小
关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】已知抛物线 经过 ， ， 三点，则 ， ，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】设点 是抛物线 上的三点，则
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】已知抛物线 上有三点 ，则
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【考点4二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】
【典例4】当 时，二次函数 有最大值 ，则实数 的值为( )
A． B． 或 C． 或 D． 或 或
【变式4-1】当 时，二次函数 的最大值是1，则实数m的值为
（ ）
A．0或1 B． 或0 C．2或 D． 或3
【变式4-2】若二次函数y＝（x﹣3）2+2m，在自变量x满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应
的函数值y的最小值为5，则m的值为（ ）
A．﹣2或2 B．﹣2或 C．2或 D．﹣2或2或
【变式4-3】抛物线 ，当 时， 的最大值与最小值的差为 ，
则 的值为（ ）
A．1 B． C． 或 D． 或【考点5根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】
【典例5】已知抛物线 ，将 绕它的原点 旋转 得抛物线 ，则抛物
线 的解析式为 ．
【变式5-1】已知一条抛物线与抛物线 的形状相同，方向相反，且其顶点坐标是
，此抛物线的解析式为 ．
【变式5-2】将函数 的图象沿 轴翻折后得到的函数解析式是 ；将
函数 的图象沿 轴翻折后得到的函数解析式是 ．
【变式5-3】如下图，函数 的图象，则其解析式为 ．
【考点6二次函数y=a(x-h)²+k的图象问题】
【典例6】二次函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】下列图象中，可能是 的图象的是（ ）A． B． C． D．
【变式6-2】二次函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】如果二次函数 的图象如图所示，那么一次函数 的图
象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
考点2 二次函数y=a(x-h)²+k平移
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k）
{若向左平移了n个单位，则平移后的函数为y=a(x−h+n) 2 +k
若向右平移了n个单位，则平移后的函数为y=a(x−h−n) 2 +k
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。【考点7二次函数y=a(x-h)²+k图象变换问题】
【典例7】将抛物线 ，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
后所得抛物线解析式（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】抛物线 通过下列平移，得到抛物线 ．正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度．
B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度．
C．先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度．
D．先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度．
【变式7-2】将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
则平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（5，4） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣5，﹣2）
【变式7-3】将抛物线 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得抛物线解
析式为（ ）
A． B．
C． D．
1．二次函数 的顶点坐标是（ ）
y=(x+2) 2-4
A．(-2,-4) B．(2,-4) C．(-2,4) D．(2,4)2．二次函数的 的最大值是（ ）
y=-(x-2) 2+7
A．7 B．-7 C．2 D．-2
3．关于抛物线：① ；② ；③y ，下列结论正确的是（ ）
y=x2 y=-x2+1 y=(x-2) 2
A．顶点相同 B．对称轴相同
C．形状相同 D．都有最高点
4．已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为
y=a(x-1) 2-a(a≠0) -1≤x≤4 y -4 a
（ ）．
1 1 4 4 1
A． 或4 B．- 或- C．- 或4 D．- 或4
2 2 3 3 2
1
5．已知抛物线y= (x-1) 2+2上有三点(-2,y )，(-1,y )，(2,y )，则y ，y ，y 为的
2 1 2 3 1 2 3
大小关系为（ ）
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 3 2 1 2 3 1 2 1 3
6．二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象经过（ ）
y=(x+m) 2+n y=mx+n
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
7．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A．
y=-3(x+1) 2+3
B．
y=3(x+1) 2+3
C．
D．8．二次函数 无论 为何值，图象的顶点一定在（ ）
y=a(x-m) 2+2m(a≠0) m
A．直线y=2x上 B．直线y=-2x上
C．x轴上 D．y轴上
9．已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如下表所示：
x … a -2 -1 -a-2 2 …
y … 1 -2 -3 1 6 …
则当-46
10．若点 ， 都在二次函数 的图象上，则 ．
A(1，y ) B(4，y ) y=2(x-2) 2-1 y y
1 2 1 2
（填“＞”，“＝”或“＜”）
11．若二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小，则 的取值范围是
y=(x-m) 2-1 x≤3 y x m
12．二次函数 ，当 ，则y的取值范围 ．
y=(x-2) 2-1 0-1时，函数值y随着x的增大而变化的情况．
