文档内容
y=a（ x-h ） 2
22.1.3.2 二次函数
+k
的性质
【考点1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴】
【考点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质】
【考点3二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】
【考点4二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】
【考点5根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】
【考点6二次函数y=a(x-h)²+k的图象问题】
【考点7二次函数y=a(x-h)²+k图象变换问题】
考点1 y=a（x-h)²+k的图象性质
【问题1】画出函数y＝－ (x+1)2－1的图象, 指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴
先列表
再描点、连线.
由函数y＝－ (x+1)2－1的图象，观察其特点是：开口方向向下；顶点坐标是(-1,-1)；对称轴是直线x=-1。
【问题2】画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
通过列表、描点、连线得到如下图象
图象特点是：开口方向向上； 对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1,-2)。
由【问题1】【问题2】概括二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质是：
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，k） （h，k）
最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k
当x＜h时，y随x的增大而减
当x＜h时，y随x的增大而增大；
增减性 小；当x＞h时，y随x的增大而
当x＞h时，y随x的减小而减小。
增大。
图象形状 抛物线形状
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
【考点1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴】
【典例1】函数 图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的顶点式，即可求解．
【详解】解：函数 图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．
故答案为： ；
【变式1-1】抛物线 的对称轴为 ．
【答案】直线
【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；因此此
题可根据函数 的性质进行求解即可．
【详解】解：抛物线 的对称轴为直线 ；
故答案为：直线 ．
【变式1-2】抛物线 的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要靠考查了二次函数的性质，根据二次函数 的顶点
坐标为 进行求解即可．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ，
故答案为： ．
【考点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质】
【典例2】对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，y随x的增大而减小 B．当 时，y随x的增大而减小C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是
【答案】B
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数 的性质逐项进
行判断即可．
【详解】解：对于二次函数 的图象，
∵ ，对称轴为直线 ，顶点为 ，
∴抛物线开口向下，
∴当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，图象有最高点，其坐
标是 ，
故选项A、C、D错误，选项B正确．
故选：B
【变式2-1】对于二次函数 的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标是
C．当 时， 随 的增大而增大 D．对称轴是直线
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数 的图象和性质，掌握顶点式及抛物线的性质是
解题的关键．
【详解】解：A、 ，开口向上，故A说法正确，不合题意；
B、顶点坐标为 ，故B说法正确，不合题意；
C、当 时，抛物线右侧部分， 随 的增大而增大，故C说法正确，不合题意；
D、抛物线对称轴为 ，故D说法错误，符合题意；
故选：D．
【变式2-2】已知关于 的二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了 的图象和性质，对于二次函数 ，其顶
点坐标为 ，对称轴为直线 ，开口方向由 的正负决定，增减性由开口方向和对
称轴共同决定，据此及可求解．
【详解】解：由题意得：二次函数 图象的开口向下，对称轴为直线 ,
∵当 时， 随 的增大而减小，
∴
故选：C
【变式2-3】已知抛物线 ，当 时， 随着 的增大而 ；当 时，
随着 的增大而 ．
【答案】 减小 增大
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据开口方向：向下；以及对称轴 ，即可作答．
【详解】解：∵
∴抛物线开口向下，
∵在对称轴 的右侧二次函数的y值随x的增大而减小，在对称轴 的左侧二次函数
的y值随x的增大而增大，
∴当 时，二次函数的 值随 的增大而减小，当 时，二次函数的 值随 的增大
而增大．
故答案为：减小，增大
【考点3 二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】
【典例3】抛物线 经过点 ， ， ，则 ， ， 的大小
关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式得出抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线开口向上，再结合距离对称轴越远，函数值越大即可得出答案．
【详解】解： ，
抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上，
，
，
故选：C．
【变式3-1】已知抛物线 经过 ， ， 三点，则 ， ，
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线 ，求出 关于直线 的
对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断 ， ， 的大小关系，从而可以解答本题．
【详解】解：∵ ， ，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线 ，
∴当 时，y随x的增大而减小； 关于直线 的对称点是 ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个
点通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答．【变式3-2】设点 是抛物线 上的三点，则
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数函数值的大小比较．解题的关键在
于熟练掌握二次函数的图象与性质．
由抛物线 ，可得对称轴为直线 ， ，即当 时， 随着
的增大而减小，由 点关于对称轴对称的点坐标为 ， ，可得
．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴对称轴为直线 ， ，
∴当 时， 随着 的增大而减小，
∴ 点关于对称轴对称的点坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
【变式3-3】已知抛物线 上有三点 ，则
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据抛物线的对称性质及对称轴得的对称点的坐标为 ，再根据抛物线的开口向上及其增减性即可求解，熟练掌握二次
函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线 ，
根据抛物线的对称性得： 的对称点的坐标为 ，
又 抛物线的开口向上，当 时，y随x的增大而减小，且 ，
，
故选D．
【考点4二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】
【典例4】当 时，二次函数 有最大值 ，则实数 的值为( )
A． B． 或 C． 或 D． 或 或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质；求出二次函数对称轴为直线 ，再分 ，
， 三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【详解】解：二次函数对称轴为直线x=m，
① 时， 取得最大值，
解得 ；
② 时， 取得最大值为 ，不合题意；
③ 时， 取得最大值， ，
解得 ．
故选：C．
【变式4-1】当 时，二次函数 的最大值是1，则实数m的值为
（ ）
A．0或1 B． 或0 C．2或 D． 或3
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为 ，对称轴为 ．
由二次函数解析式可知其开口方向、对称轴，分 在对称轴左侧和右侧两种情况
分别求其最值，可得到关于m的方程，可求得答案．
【详解】解：∵ ，
∴二次函数开口向下，对称轴为 ，
当 时，则 在对称轴左侧，y随x的增大而增大，当x＝1时，y有最大值，
∴ ，解得 （舍去）或 ，
当 时，则 在对称轴右侧，y随x的增大而减小，当 时，y有最大值，
∴ ，解得 （舍去）或 ，
综上可知m的值为2或 ，
故选：C．
【变式4-2】若二次函数y＝（x﹣3）2+2m，在自变量x满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应
的函数值y的最小值为5，则m的值为（ ）
A．﹣2或2 B．﹣2或 C．2或 D．﹣2或2或
【答案】B
【分析】分三种情况讨论列出关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：∵二次函数y＝（x−3）2＋2m，
∴图象开口向上，对称轴为直线x＝3，
①当3＜m时，
在自变量x的值满足m≤x≤m＋2的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝m时，y＝（m−3）2＋2m＝m2−4m＋9为最小值，
∵m2−4m＋9＝5，
解得m＝2，不合题意；
②当m≤3≤m＋2时，
∴x＝3，y＝（x−3）2＋2m＝2m为最小值，
∴2m＝5，解得，m＝ ；
③当3＞m＋2，即m＜1，在自变量x的值满足m≤x≤m＋2的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝m＋2时，y＝（m＋2−3）2＋2m＝m2＋1为最小值，
∴m2＋1＝5．解得，m＝2（舍去），m＝−2；
1 2
综上，m的值为 或−2．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范
围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，
要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
【变式4-3】抛物线 ，当 时， 的最大值与最小值的差为 ，
则 的值为（ ）
A．1 B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用
二次函数的性质解答．根据题意可以根据 的正负得到关于 的方程，从而可以求得 的值，
本题得以解决．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴该函数的对称轴是直线 ，
∴当 时，当 时， 随 的增大而减少，当 时， 随 的增大而增大
∴当 时，当 时，
当 时，
∴ ，
解得
当 时，当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减少
∴当 时，当 时，当 时，
∴
解得
故选：C．
【考点5根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】
【典例5】已知抛物线 ，将 绕它的原点 旋转 得抛物线 ，则抛物
线 的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线的性质，关于原点对称图形的性质，根据 得出
开口向上，顶点坐标为 ，再根据中心对称的性质得出 开口向下，顶点坐标为
，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ 开口向上，顶点坐标为 ，
∵ 绕它的原点 旋转 得抛物线 ，
∴ 开口向下，顶点坐标为 ，
∴ .
故答案为： ．
【变式5-1】已知一条抛物线与抛物线 的形状相同，方向相反，且其顶点坐标是，此抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】设顶点坐标为 的抛物线解析式为 ，根据形状相同，方向相
反的抛物线的二次项系数互为相反数求出a的值即可得到答案．
【详解】解：设顶点坐标为 的抛物线解析式为 ，
∵抛物线 与抛物线 的形状相同，方向相反，
∴ ，
∴顶点坐标为 的抛物线解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知形状相同，方向相反的抛物线的二次项系
数互为相反数是解题的关键．
【变式5-2】将函数 的图象沿 轴翻折后得到的函数解析式是 ；将
函数 的图象沿 轴翻折后得到的函数解析式是 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，根据关于x轴和y轴对称的点的坐标特
点进行解答即可．解题的关键是抓住关于x轴对称的点的坐标特点，即关于x轴对称的点
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【详解】解：∵关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴函数 的图象沿x轴翻折后得到的图象的解析式为 ；
∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴函数 的图象沿y轴翻折后得到的图象的解析式为 ．故答案为： ， ．
【变式5-3】如下图，函数 的图象，则其解析式为 ．
【答案】
【分析】根据图象得出顶点的坐标，即可求得解析式．
【详解】解：由图象可知抛物线的顶点坐标为 ，
函数的解析式为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据图象得出顶点是解题的关键．
【考点6二次函数y=a(x-h)²+k的图象问题】
【典例6】二次函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象性质， 的顶点坐标为 ， ，
开口方向向下； ，开口方向向上；据此即可作答．
【详解】解：二次函数 的图象开口向下，对称轴是 ，顶点坐标为 ，故选B．
【变式6-1】下列图象中，可能是 的图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象，根据二次函数的顶点式可判断抛抛物线开口向上，
对称轴为 ，顶点为 ，即可解答．解题的关键是熟练运用顶点式判断抛物线开口，
对称轴，顶点等信息．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点为 ，
观察图象，则C选项符合题意，
故选：C．
【变式6-2】二次函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置逐一分析
判断即可．
【详解】解：在 中由 可知抛物线的开口向上，故选项A错误；
其对称轴为直线 ，在y轴的左侧，故选项B错误；
二次函数 ，当 时， ，即该抛物线与y轴的交点坐标为（0，-2），在y轴负半轴上，故选项D错误；
该抛物线开口向上，对称轴为直线 ，与y轴的交点在y轴负半轴上，符合以上条件的
只有选项C．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对二次函数的图象和性质的应用，运用数形结合思想的分析问题
是解题关键．
【变式6-3】如果二次函数 的图象如图所示，那么一次函数 的图
象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】B
【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n
的正负，即可作出判断．
【详解】根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限，
∴m＞0，n＜0，
则一次函数y=mx+n经过第一、三、四象限．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函
数的图象与性质是解题的关键．
考点2 二次函数y=a(x-h)²+k平移
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k）{若向左平移了n个单位，则平移后的函数为y=a(x−h+n) 2 +k
若向右平移了n个单位，则平移后的函数为y=a(x−h−n) 2 +k
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
【考点7二次函数y=a(x-h)²+k图象变换问题】
【典例7】将抛物线 ，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
后所得抛物线解析式（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进
行解答即可．
【详解】
解：将抛物线 ，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛
物线的解析式为： ，即 ；
故选：D．
【变式7-1】抛物线 通过下列平移，得到抛物线 ．正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度．
B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度．
C．先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度．
D．先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度．
【答案】C
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点，即可判断是如何平移得到．
【详解】解：∵ 的顶点坐标为 ， 的顶点坐标为 ，∴将抛物线 向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移的知识，解题关键是掌握的平移规律和求出
关键点顶点坐标．
【变式7-2】将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
则平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（5，4） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣5，﹣2）
【答案】B
【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
即可得到抛物线y＝2（x﹣3+2）2+1﹣3，
即y＝2（x﹣1）2﹣2．
其顶点坐标是(1，﹣2)．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是
解题的关键．
【变式7-3】将抛物线 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得抛物线解
析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律进行求解．
【详解】解：将抛物线 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得抛物线解
析式为 ，即 ．
故选：C．【点睛】此题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下
减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
1．二次函数y=(x+2) 2-4的顶点坐标是（ ）
A．(-2,-4) B．(2,-4) C．(-2,4) D．(2,4)
【答案】A
【分析】本题考查了顶点式y=a(x-h) 2+k顶点坐标为(h,k)，根据顶点式的坐标特点写出
顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解答本题的关键．
【详解】解：y=(x+2) 2-4的顶点坐标为(-2,-4)，
故选：A．
2．二次函数的y=-(x-2) 2+7的最大值是（ ）
A．7 B．-7 C．2 D．-2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的最值，根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵a=-1<0，
∴函数y=-(x-2) 2+7有最大值7．
故选A．
3．关于抛物线：①y=x2；②y=-x2+1；③yy=(x-2) 2，下列结论正确的是（ ）
A．顶点相同 B．对称轴相同
C．形状相同 D．都有最高点
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数图象的性质，根据函数解析数确定对称轴，开口方向，顶点
坐标，及最高点和最低点，形状，熟练掌握各函数图象的性质是解题的关键
【详解】解：①y=x2的对称轴为y轴，开口向上，顶点坐标为(0,0)， 图象有最低点；②y=-x2+1的对称轴为y轴，开口向下，顶点坐标为(0,1)， 图象有最高点；
③y=(x-2) 2的对称轴为直线x=2，开口向上，顶点坐标为(2,0)， 图象有最低点；
∵三个图象的|a|=1，故三个抛物线的形状相同，
故选：C.
4．已知二次函数y=a(x-1) 2-a(a≠0)，当-1≤x≤4时，y的最小值为-4，则a的值为
（ ）．
1 1 4 4 1
A． 或4 B．- 或- C．- 或4 D．- 或4
2 2 3 3 2
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可
解答．
【详解】解：二次函数y=a(x-1) 2-a(a≠0)的对称轴为：直线x=1，
（1）当a>0时，当-1≤x≤1时，y随x的增大而减小，当1≤x≤4，y随x的增大而增大，
∴ 当x=1时，y取得最小值，
∴ y=a(1-1) 2-a=-4，
∴a=4；
（2）当a<0时，当-1≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤4，y随x的增大而减小，
∴ 当x=4时，y取得最小值，
∴ y=a(4-1) 2-a=-4，
1
∴a=- ．
2
故选：D．
1
5．已知抛物线y= (x-1) 2+2上有三点(-2,y )，(-1,y )，(2,y )，则y ，y ，y 为的
2 1 2 3 1 2 3
大小关系为（ ）
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 3 2 1 2 3 1 2 1 3
【答案】A
【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x=1，图象开口向上；根据二次函
数图象的对称性可判断y＜y；根据二次函数的性质即可判断y＞y＞y．
3 2 1 2 31
【详解】解：因为a= ＞0，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
2
根据二次函数图象的对称性可知，C（2，y）和（0，y）关于直线x=1对称，
3 3
因为-2＜-1＜0，故y＞y＞y，
1 2 3
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称
性及增减性．
6．二次函数y=(x+m) 2+n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质，由二次函数解析式可得抛
物线的顶点坐标为(-m,n)，结合图象得出n<0，m<0，最后由一次函数的性质即可得出
答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵y=(x+m) 2+n，
∴抛物线的顶点坐标为(-m,n)，
由二次函数y=(x+m) 2+n的图象可得：-m>0，n<0，
∴ m<0，
∴一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
7．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）A．y=-3(x+1) 2+3
B．y=3(x+1) 2+3
C．
D．
【答案】A
【详解】试题分析：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，3），且过（0，0）点，设二次
函数y=a(x-1) 2+3，把（0，0）代入得0=a+3，解得a=-3．故二次函数的解析式为
y=-3(x-1) 2+3．故选A．
考点：待定系数法求二次函数解析式．
8．二次函数y=a(x-m) 2+2m(a≠0)无论m为何值，图象的顶点一定在（ ）
A．直线y=2x上 B．直线y=-2x上
C．x轴上 D．y轴上
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，理解二次函数和一次函数图象上点的特点是解题关键．
根据解析式求得抛物线的顶点坐标，然后判断该点位于直线y=2x上．
【详解】解：二次函数y=a(x-m) 2+2m(a≠0)的顶点为(m,2m)，
该点一定在直线y=2x上，
故选：A．
9．已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如下表所示：x … a -2 -1 -a-2 2 …
y … 1 -2 -3 1 6 …
则当-46
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次函数y=a(x-h) 2+k的图象与性质，先根据表格得到对称轴，
以及顶点，进而得到h,k的值，然后再随便代入一个点即可得到a的值，再根据图象的性质
得到取值范围，考虑对称轴处取得最值是解题的关键．
【详解】解：设一元二次函数为y=a(x-h) 2+k，
由表格可知a与-a-2关于对称轴对称，
a-a-2
∴对称轴为 =-1，
2
即h=-1，
又由表格可知当x=-1时，y=-3，
即k=-3，
∴解析式为：y=a(x+1) 2-3，
将表格中已知的点(-2,-2)代入可解得a=1，
∴该一元二次函数解析式为：y=(x+1) 2-3，
当-40，
∴抛物线开口向上， 当x4时，则当x=1时，y有最小值，
∴-(1-k) 2+11=2k，
∴k2=10，
解得k=±❑√10（舍去）
当1≤k≤4时，则函数在x=1或x=4处取得最小值，
当1≤k≤2.5时，在x=4处取得最小值，此时k=1或k=5（舍去）；
当2.5-1时，函数值y随着x的增大而变化的情况．【答案】(1)抛物线的解析式为y=-(x+1) 2+9
(2)抛物线与y轴的交点坐标为(0,8)
(3)x>-1时，函数值y随着x的增大而减小
【分析】（1）设顶点式y=a(x+1) 2+9，然后把(-4,0)代入求出a的值即可；
（2）计算自变量的值为0所对应的函数值即可；
（3）根据二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）设抛物线的解析式为y=a(x+1) 2+9，
把(-4,0)代入得a×(-4+1) 2+9=0，
解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-(x+1) 2+9；
（2）当x=0时，y=-(x+1) 2+9=8，
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,8)；
（3）抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线开口向下，
∴当x>-1时，函数值y随着x的增大而减小．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；解题的关键是在利用待定系数法求
二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值
求解，数量掌握二次函数的性质．
