文档文本内容
22.1.3 二次函数 y=ax2+k 的图象和性质 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函
数”22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质第1课时，内容包括：二次函数y＝ax2+k的图象特征和
性质。
2.内容解析
本节课是在学生已经学习了二次函数y＝ax2的基础上，继续进行二次函数的学习，这是对二次函数图
象和性质研究的延续．本节课的核心内容是通过类比y＝ax2的图象特征和性质进行探究二次函数y＝ax2＋
k的图象特征和性质．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次函数y＝ax2+k的图象特征和性质．
二、目标和目标解析
1.目标
1）用描点法画二次函数y=ax2+k的图象。
2）通过观察图象能说出二次函数y=ax²+k的图象特征和性质。
3）由二次函数y=ax2的图象特征及性质类比地学习二次函数y=ax2+k的图象特征及性质，并能发现它
们的联系，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：通过选取适当的自变量的值，描点，连线，从而得到二次函数y=ax2+k的
图象．
达成目标（2）的标志是：知道抛物线y=ax²+k的对称轴，顶点，开口方向，开口大小，最高(低)点，
增减性．理解抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线 y=ax2的图象向上（k＞0）或向下（k＜0）平移
|k|个单位.
达成目标（3）的标志是：在探究二次函数y=ax²+k的图象和性质的过程中，先通过类比二次函数y=
ax2的研究方法，得出二次函数y＝ax2+k（a＞0）的图象特征及性质，a＜0的情况又是类比a＞0的学习方
法开展研究，最终经历以上探究过程，得出二次函数y=ax²+k的图象特征和性质．
三、教学问题诊断分析
学生在学习二次函数 y＝ax2时，对于画抛物线的方法有了一定的了解，会用描点法画二次函数
y=ax²+k图象．在本节课上，学生第一次画顶点不是原点的抛物线图象，而是(0，k)．对于二次函数y＝
ax2＋k，需要学生用数形结合的思想进行研究．基于以上分析，本节课的教学难点是：用数形结合的思想探究二次函数y＝ax2＋k的图象特征和性质．
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
【提问】尝试说出二次函数y＝ax2图象特征和性质？
师生活动：教师提出问题，学生回答．教师将二次函数y＝ax2的图象和性质进行板书．
【设计意图】通过复习回顾二次函数y＝ax2的图象特征和性质，为本节课学习二次函数y＝ax2＋k的
图象特征和性质进行铺垫．
（二）探究新知
【问题】用描点法画二次函数 y=2x2+1 和 y=2x2-1 的图象。
师生活动：学生动手实践画出二次函数y=2x2+1 和 y=2x2-1 的图象，在学生完成图象后，教师通过多
媒体展示画图过程。
【问题】抛物线y=2x2+1和y=2x2−1的开口方向、对称轴、顶点、最值各是什么？
师生活动：小组合作学习，尝试从开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性等方面描述图象特征和性
质．如果学生在探究过程出现困难，需教师引导学生回顾二次函数y＝ax2的相关内容，类比探究．
师：你能说出二次函数y＝ax2＋k(a＞0)的图象特征和性质吗？
师生活动：学生相互补充，师生共同梳理归纳：
一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2+k的开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0,k)，顶点是抛物线的最
低点，函数最小值为k.当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y＝ax2＋k (a>0)的图象特征和性质．
1 2 1 2 1 2
【问题】描点法画抛物线y=− x 、y=− x +1、y=− x −1的图象？并回答下面问题？
2 2 2
1）三条抛物线的开口方向：________
2）三条抛物线的对称轴：________
3）从上而下顶点坐标分别为：________
4）顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最_____值分别为
____________________________
5）函数的增减性都______:即当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____.
1 2 1 2 1 2
师生活动：学生动手实践画出抛物线y=− x 、y=− x +1、y=− x −1的图象，教师通过
2 2 2
多媒体展示抛物线的图象，引导学生通过图象特征，归纳总结其性质，学生在总结的过程中查漏补缺，发
现不足。
师：你能说出二次函数y＝ax2＋k(a<0)的图象特征和性质吗？师生活动：学生相互补充，师生共同梳理归纳：
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2+k的开口向下，对称轴是y轴，顶点是(0,k)，顶点是抛物线的最高
点，函数最大值为k.当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y＝ax2＋k (a<0)的图象特征和性质．
【思考1】抛物线y=2x2+1和y=2x2−1与y=2x2有什么关系？
师生活动：学生认真观察二次函数y=2x2+1和y=2x2−1的图象后给出答案.教师通过多媒体展示
抛物线y=2x2的平移过程,，并总结得出：抛物线y＝2x2＋1是由抛物线y＝2x2向上平移1个单位长度
得 到 的 ， 抛 物 线 y ＝ 2x2 － 1 是 由 抛 物 线 y ＝ 2x2 向 下 平 移 1 个 单 位 长 度 得 到 的
与 之间的联系。
，加深同学理解y=2x2+1和y=2x2−1 y=2x2
【思考2】根据思考1，你觉得抛物线y=2x2+1与y=2x2−1有什么关系？
师生活动：学生独立思考，教师引导学生根据图象特征，归纳总结其关系如下：
抛物线y=2x2−1是由抛物线y＝2x2+1向下平移2个单位长度得到的；
或抛物线y=2x2+1是由抛物线y＝2x2−1向上平移2个单位长度得到的。
【思考3】抛物线y=ax2+k与y=ax2有什么关系？
师生活动：学生独立思考，小组讨论，师生共同梳理归纳：
当k＞0时，把抛物线y＝ax2向上平移k个单位长度，就得到抛物线y=ax2+k（k＞0）；当k＜0时，
把抛物线y＝ax2向下平移|k|个单位长度，就得到抛物线y＝ax2＋k（k<0）．
抛物线y=ax2+k（k＞0）向下平移|2k|个单位长度，就得到抛物线y＝ax2＋k（k<0）； 抛物线
y=ax2+k（k<0）向上平移|2k|个单位长度，就得到抛物线y＝ax2＋k（k>0）．
【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，得出二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象关系，以及二
次函数y＝ax2＋k（k>0）与y=ax2+k（k<0）的图象关系．
师：你能说出二次函数y＝ax2 ＋k的图象特征和性质吗？
师生活动：学生相互补充，师生共同梳理归纳：【设计意图】整体梳理二次函数y＝ax2＋k的图象特征和性质．
（三）典例分析与针对训练
例1．抛物线 y=−2x2−3的开口 _____，对称轴是 _____，顶点坐标是 ________，当x _____时，
y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小．
【针对训练】
1
1．二次函数y=− x2+5有最_________值为__________．
2
2．二次函数y＝（m2+1）x2﹣1的图象开口方向是__________（填“向上”或“向下”）．
3．抛物线y＝﹣x2＋3的对称轴是_________，顶点坐标是_________．
4．已知二次函数y=2x2−1，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是__________．5. 下列关于二次函数y=2x2+3，下列说法正确的是（ ）．
A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是(2,3)
C．当x<-1时，y随x的增大而增大 D．当x=0时，y有最小值是3
【设计意图】理解与掌握二次函数y＝ax2＋k的性质。
例2．如果抛物线 开口向下，那么a的取值范围是______．
y=(2−a)x2+2
例3．已知二次函数y=ax2−2的图象经过点(1,−3)，那么a的值为_____．
【针对训练】
1．已知点M（-1，m）在二次函数y=2x2+1图象上，则m的值为__________．
2．二次函数y＝ 的图象开口向上，则k＝___．
(k−1)xk2+3
3．如果抛物线y=ax2-3的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是______ ．
【设计意图】根据二次函数y＝ax2＋k的性质求未知数的值或取值范围。
1
例4．已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣ x2+4的图像上，那么m、n的大小关系
3
是：m _____ n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【针对训练】
1．若点 ， 在抛物线 上，则 ， 的大小关系为： _________ （填
A(−1,y ) B(2,y ) y=2x2+m y y y y
1 2 1 2 1 2
“>”，“=”或“<”）．
2．已知点 ，点 在二次函数 的图象上，且 ，那么a的取值范
A(1,y ) B(2,y ) y=ax2−2(a≠0) y <y
1 2 1 2
围是__________．
3．已知(−2,y )，(−1,y )，(3,y )是二次函数y=x2+m上的点，则y ，y ，y 从小到大用“<”
1 2 3 1 2 3
排列是_____________．
4．已知点(x ,y )，(x ,y )均在抛物线y=x2−1上，下列说法正确的是（ ）
1 1 2 2
A．若x =−x ，则y =−y B．若y = y ，则x =x
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若x <x <0，则y <y D．若0<x <x ，则y <y
1 2 1 2 1 2 1 2
【设计意图】比较y＝ax2＋k的函数值。
例5．抛物线y=ax2+c与y=−3x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是(0,2)，则该抛物线
的函数解析式是_____．
【针对训练】
1．抛物线y=2x2+c的顶点坐标为(0，1)，则抛物线的解析式为 _____．2．写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线y=−x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式
_________________________．
3．已知抛物线y=ax2+b过点(−2,−3)和点(1,6)．
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当x为何值时，函数y随x的增大而增大．
【设计意图】求二次函数y＝ax2＋k解析式。
例6．下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（ ）
A．y=2x2与y=3x2 B．y=2x2与y=x2+2
C．y=2x2+3与y=3x2+2 D．y=2x2与y=2x2−1
【针对训练】
1 填空
1）抛物线y＝3x2＋8可以由抛物线y＝3x2向 平移 个单位得到．
2）抛物线y＝-3x2+2向 平移 个单位后会得到抛物线y=-3x2．
2．二次函数y=5x2−3与二次函数y=5x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向､对
称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，画图看一看．二次函数y=−5x2−2的图象与二次函
数y=−5x2+3的图象呢？
【设计意图】考查二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象关系。
例7．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【针对训练】
1．函数y＝ax－a和y=ax2+2（a为常A．数，且a≠0），B．在同一平面直角 坐标系中的大致图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
【设计意图】考查二次函数y=ax2 ＋k与一次函数综合。
C． D．（四）能力提升
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线
1
y= x2于点B，C，则BC的长为________．
3
2．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标
3 3
轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y= x2− ，则图中CD的长为__________．
2 2
3．已知抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且P（1，﹣3），B（4，
0）
（1）点A的坐标是 ；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）直接写出该抛物线的顶点C的坐标．
【设计意图】通过配套练习，加深学生理解与掌握二次函数y=ax2＋k的图象特征与性质。
（五）直击中考
1．（2022·湖北荆门真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x，y），B（x，y），若y＜y，则下列结
1 1 2 2 1 2
论正确的是( )A．0≤x＜x B．x＜x≤0
1 2 2 1
C．x＜x≤0或0≤x＜x D．以上都不对
2 1 1 2
2．（2023·安徽真题）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y=x2+1 B．y=−x2+1 C．y=2x+1 D．y=−2x+1
3．（2023·广东·统考真题）如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B
在y轴上，则ac的值为（ ）
A．-1 B．−2 C．−3 D．−4
4．（2019·山东真题）已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点。
（六）归纳小结
1.本节课学了哪些主要内容？
2.抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的区别与联系是什么？
3.通过本节课的学习，你想继续探究的知识是什么？（七）布置作业
P33:课后练习
P41:习题22.1第5题(1)
五、教学反思
