22.1.3 二次函数 y=ax2+k 的图象和性质 导学案
学习目标
1）用描点法画二次函数y=ax2+k的图象。
2）通过观察图象能说出二次函数y=ax²+k的图象特征和性质。
3）由二次函数y=ax2的图象特征及性质类比地学习二次函数y=ax2+k的图象特征及性质，并能发现它们的
联系，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
重点难点突破核心知识
思维导图引入新课
新知探究
【问题】用描点法画二次函数 y=2x2+1 和 y=2x2-1 的图象。y
9
6
3
x
-3 O 3
【问题】抛物线y=2x2+1和y=2x2−1的开口方向、对称轴、顶点、最值各是什么？
1）抛物线y=2x2+1的开口方向________、对称轴________,顶点坐标是_____________，函数
的最___值为_________
2）抛物线y=2x2−1的开口方向________、对称轴________,顶点坐标是_____________ ，
函数的最___值为_________
【提问】观察抛物线y=2x2+1和y=2x2−1的图象，讨论增减性？
从抛物线y=2x2+1和y=2x2−1的图象可以看出：
两者的增减性__________
在对称轴的_____，抛物线从左到右下降趋势；在对称轴的_____，抛物线从左到右上升趋势.
也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____； 当x＞0时，y随x的增大而_____.
【提问】你能说出二次函数y＝ax2＋k(a＞0)的图象特征和性质吗？
1 2 1 2 1 2
【问题】描点法画抛物线y=− x 、y=− x +1、y=− x −1的图象？并回答下面问题？
2 2 21）三条抛物线的开口方向：________
y
x
2）三条抛物线的对称轴：________
-3 O 3
3）从上而下顶点坐标分别为：________
4）顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最_____值 -3
分别为____________________________
-6
5）函数的增减性都______:即当x＜0时，y随x的增大而_____；
当x＞0时，y随x的增大而_____.
-9
【提问】你能说出二次函数y＝ax2＋k(a<0)的图象特征和性质吗？
【思考】
1)抛物线y=2x2+1和y=2x2−1与y=2x2有什么关系？
2抛物线y=2x2+1与y=2x2−1有什么关系？
3)抛物线y=ax2+k与y=ax2有什么关系？
【总结】二次函数y=ax²+k的图象特征和性质:典例分析
例1．抛物线 y=−2x2−3的开口 _____，对称轴是 _____，顶点坐标是 ________，当x _____时，
y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小．
【针对训练】
1
1．二次函数y=− x2+5有最_________值为__________．
2
2．二次函数y＝（m2+1）x2﹣1的图象开口方向是__________（填“向上”或“向下”）．
3．抛物线y＝﹣x2＋3的对称轴是_________，顶点坐标是_________．
4．已知二次函数y=2x2−1，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是__________．5. 下列关于二次函数y=2x2+3，下列说法正确的是（ ）．
A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是(2,3)
C．当x<-1时，y随x的增大而增大 D．当x=0时，y有最小值是3
例2．如果抛物线 开口向下，那么a的取值范围是______．
y=(2−a)x2+2
例3．已知二次函数y=ax2−2的图象经过点(1,−3)，那么a的值为_____．
【针对训练】
1．已知点M（-1，m）在二次函数y=2x2+1图象上，则m的值为__________．
2．二次函数y＝ 的图象开口向上，则k＝___．
(k−1)xk2+3
3．如果抛物线y=ax2-3的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是______ ．
1
例4．已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣ x2+4的图像上，那么m、n的大小关系
3
是：m _____ n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【针对训练】
1．若点 ， 在抛物线 上，则 ， 的大小关系为： _________ （填
A(−1,y ) B(2,y ) y=2x2+m y y y y
1 2 1 2 1 2
“>”，“=”或“<”）．
2．已知点 ，点 在二次函数 的图象上，且 ，那么a的取值范
A(1,y ) B(2,y ) y=ax2−2(a≠0) y <y
1 2 1 2
围是__________．
3．已知(−2,y )，(−1,y )，(3,y )是二次函数y=x2+m上的点，则y ，y ，y 从小到大用“<”
1 2 3 1 2 3
排列是_____________．
4．已知点(x ,y )，(x ,y )均在抛物线y=x2−1上，下列说法正确的是（ ）
1 1 2 2
A．若x =−x ，则y =−y B．若y = y ，则x =x
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若x <x <0，则y <y D．若0<x <x ，则y <y
1 2 1 2 1 2 1 2
例5．抛物线y=ax2+c与y=−3x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是(0,2)，则该抛物线
的函数解析式是_____．
【针对训练】
1．抛物线y=2x2+c的顶点坐标为(0，1)，则抛物线的解析式为 _____．
2．写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线y=−x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式
_________________________．
3．已知抛物线y=ax2+b过点(−2,−3)和点(1,6)．（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当x为何值时，函数y随x的增大而增大．
例6．下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（ ）
A．y=2x2与y=3x2 B．y=2x2与y=x2+2
C．y=2x2+3与y=3x2+2 D．y=2x2与y=2x2−1
【针对训练】
1 填空
1）抛物线y＝3x2＋8可以由抛物线y＝3x2向 平移 个单位得到．
2）抛物线y＝-3x2+2向 平移 个单位后会得到抛物线y=-3x2．
2．二次函数y=5x2−3与二次函数y=5x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向､对
称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，画图看一看．二次函数 y=−5x2−2的图象与二次函
数y=−5x2+3的图象呢？
例7．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【针对训练】1．函数y＝ax－a和y=ax2+2（a为常A．数，且a≠0），B．在同一平面直角 坐标系中的大致图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
能力提升
C1．．如图，在平面D直．角坐标系中，抛 物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线
1
y= x2于点B，C，则BC的长为________．
3
2．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标
3 3
轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y= x2− ，则图中CD的长为__________．
2 2
3．已知抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且P（1，﹣3），B（4，
0）
（1）点A的坐标是 ；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）直接写出该抛物线的顶点C的坐标．直击中考
1．（2022·湖北荆门真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x，y），B（x，y），若y＜y，则下列结
1 1 2 2 1 2
论正确的是( )
A．0≤x＜x B．x＜x≤0
1 2 2 1
C．x＜x≤0或0≤x＜x D．以上都不对
2 1 1 2
2．（2023·安徽真题）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y=x2+1 B．y=−x2+1 C．y=2x+1 D．y=−2x+1
3．（2023·广东·统考真题）如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B
在y轴上，则ac的值为（ ）
A．-1 B．−2 C．−3 D．−4
4．（2019·山东真题）已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
课堂小结
1.本节课学了哪些主要内容？2.抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的区别与联系是什么？
3.通过本节课的学习，你想继续探究的知识是什么？
【参考答案】
新知探究
【问题】用描点法画二次函数 y=2x2+1 和 y=2x2-1 的图象。
【问题】抛物线y=2x2+1和y=2x2−1的开口方向、对称轴、顶点、最值各是什么？
1）抛物线y=2x2+1的开口方向向上、对称轴y轴,顶点坐标是（0，1），函数的最小值为1
2）抛物线y=2x2−1的开口方向向上、对称轴y轴,顶点坐标是（0，-1），函数的最小值为-1
【提问】观察抛物线y=2x2+1和y=2x2−1的图象，讨论增减性？
从抛物线y=2x2+1和y=2x2−1的图象可以看出：
两者的增减性相同
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降趋势；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升趋势.
也就是说，当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大.
【提问】你能说出二次函数y＝ax2＋k(a＞0)的图象特征和性质吗？
一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2+k的开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0,k)，顶点是抛物线的最低点，
函数最小值为k.当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.1 2 1 2 1 2
【问题】描点法画抛物线y=− x 、y=− x +1、y=− x −1的图象？并回答下面问题？
2 2 2
1）三条抛物线的开口方向：向下_
2）三条抛物线的对称轴：y轴
3）从上而下顶点坐标分别为：（0，1）（0，0）（0，-1）
4）顶点都是最高点，函数都有最大值，从上而下最大值
分别为y=1、 y= 0、 y= -1
5）函数的增减性都相同:即当x＜0时，y随x的增大而增大；
当x＞0时，y随x的增大而减小.
【提问】你能说出二次函数y＝ax2＋k(a<0)的图象特征和性质吗？
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2+k的开口向下，对称轴是 y轴，
顶点是(0,k)，顶点是抛物线的最高点，函数最大值为 k.当x＜0
时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
【思考】
1)抛物线y=2x2+1和y=2x2−1与y=2x2有什么关系？
2抛物线y=2x2+1与y=2x2−1有什么关系？
3)抛物线y=ax2+k与y=ax2有什么关系？【总结】二次函数y=ax²+k的图象特征和性质:典例分析
例1．抛物线 y=−2x2−3的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，-3），当x <0时，y随x的
增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小．
【针对训练】
1
1．二次函数y=− x2+5有最大值为y=5．
2
2．二次函数y＝（m2+1）x2﹣1的图象开口方向是向上（填“向上”或“向下”）．
3．抛物线y＝﹣x2＋3的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，3）．
4．已知二次函数y=2x2−1，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是x≥0
5. 下列关于二次函数y=2x2+3，下列说法正确的是（ C ）．
A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是(2,3)
C．当x<-1时，y随x的增大而增大 D．当x=0时，y有最小值是3
例2．如果抛物线 开口向下，那么a的取值范围是a＞2．
y=(2−a)x2+2
例3．已知二次函数y=ax2−2的图象经过点(1,−3)，那么a的值为−1．
【针对训练】
1．已知点M（-1，m）在二次函数y=2x2+1图象上，则m的值为3．
2．二次函数y＝ 的图象开口向上，则k＝ ．
(k−1)xk2+3 ❑√2
3．如果抛物线y=ax2-3的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是a<0_ ．
1
例4．已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣ x2+4的图像上，那么m、n的大小关系
3
是：m __<__ n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【针对训练】
1．若点 ， 在抛物线 上，则 ， 的大小关系为： ___<____ （填
A(−1,y ) B(2,y ) y=2x2+m y y y y
1 2 1 2 1 2
“>”，“=”或“<”）．
2．已知点 ，点 在二次函数 的图象上，且 ，那么a的取值范
A(1,y ) B(2,y ) y=ax2−2(a≠0) y <y
1 2 1 2
围是____a>0______．
3．已知(−2,y )，(−1,y )，(3,y )是二次函数y=x2+m上的点，则y ，y ，y 从小到大用“<”
1 2 3 1 2 3
排列是_____y <y <y ________．
2 1 3
4 ． 已 知 点 (x ,y )， (x ,y )均 在 抛 物 线 y=x2−1上 ， 下 列 说 法 正 确 的 是
1 1 2 2
（ D ）A．若x =−x ，则y =−y B．若y = y ，则x =x
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若x <x <0，则y <y D．若0<x <x ，则y <y
1 2 1 2 1 2 1 2
例5．抛物线y=ax2+c与y=−3x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是(0,2)，则该抛物线
的函数解析式是___ y=3x2+2__．
【针对训练】
1．抛物线y=2x2+c的顶点坐标为(0，1)，则抛物线的解析式为 _ _y=2x2+1____．
2．写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线y=−x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式
__________y=x2−3______________．
3．已知抛物线y=ax2+b过点(−2,−3)和点(1,6)．
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当x为何值时，函数y随x的增大而增大．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2+b过点(−2,−3)和点(1,6)，
{4a+b=−3，解得{a=−3
∴
a+b=6 b=9
∴这个函数得关系式为：y=−3x2+9．
（2）∵二次函数y=−3x2+9开口向下，对称轴为x=0，
∴当x<0时，函数y随x的增大而增大．
例6．下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（ D ）
A．y=2x2与y=3x2 B．y=2x2与y=x2+2
C．y=2x2+3与y=3x2+2 D．y=2x2与y=2x2−1
【针对训练】
1 填空
1）抛物线y＝3x2＋8可以由抛物线y＝3x2向 上 平移 8 个单位得到．
2）抛物线y＝-3x2+2向 下 平移 2 个单位后会得到抛物线y=-3x2．
2．二次函数y=5x2−3与二次函数y=5x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向､对
称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，画图看一看．二次函数 y=−5x2−2的图象与二次函
数y=−5x2+3的图象呢？
【详解】
1）二次函数y=5x2−3与y=5x2的图象都是拋物线，并且形状相同，只是位置不同；
将二次函数y=5x2的图象向下平移3个单位长度，就得到二次函数y=5x2−3的图象．二次函数y=5x2−3的图象是轴对称图形，它的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐称为(0,−3)．
2）二次函数y=−5x2−2与y=−5x2+3的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同；
将二次函数y=−5x2−2的图象向上平移5个单位长度．就得到函数y=−5x2+3的图象．
例7．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ D ）
A． B． C． D．
【针对训练】
1．函数y＝ax－a和y=ax2+2（a为常A．数，且a≠0），B．在同一平面直角 坐标系中的大致图象可能是
（ C ）
A． B． C． D．
能力提升
C1．．如图，在平面D直．角坐标系中，抛 物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线
1
y= x2于点B，C，则BC的长为____6____．
3
2．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标
3 3 5
轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y= x2− ，则图中CD的长为___ _______．
2 2 23．已知抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且P（1，﹣3），B（4，
0）
（1）点A的坐标是 ；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）直接写出该抛物线的顶点C的坐标．
【详解】解：(1)∵该抛物线的对称轴是y轴，
∴点A与点B关于y轴对称，
∵B(4，0)，∴A−4，0；
1
{ a=
(2)把点 ， 代入 ，得：{a+c=−3 ，解得 5 ，
P(1，−3) B(4，0) y=ax2+c
16a+c=0 16
c=−
5
1 16
∴该抛物线的解析式为y= x2− ；
5 5
(3)由(2)知，该抛物线的解析式为 1 2 16，则顶点C的坐标是( 16)．
y= x − 0，−
5 5 5
直击中考
1．（2022·湖北荆门真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x，y），B（x，y），若y＜y，则下列结
1 1 2 2 1 2
论正确的是( D )
A．0≤x＜x B．x＜x≤0
1 2 2 1C．x＜x≤0或0≤x＜x D．以上都不对
2 1 1 2
2．（2023·安徽真题）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ D ）
A．y=x2+1 B．y=−x2+1 C．y=2x+1 D．y=−2x+1
3．（2023·广东·统考真题）如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B
在y轴上，则ac的值为（ B ）
A．-1 B．−2 C．−3 D．−4
4．（2019·山东真题）已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ B ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
