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22.1.3 二次函数 y=ax2+k 的图象和性质 分层作业
基础训练
1．若在同一直角坐标系中，作 ， ， 的图像，则它们（ ）
A．都关于y轴对称 B．开口方向相同
C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
【详解】A.因为 ， ， 这三个二次函数的图像对称轴为 ，所以都关于 轴对
称，故选项A正确，符合题意；
B.抛物线 ， 的图象开口向上，抛物线 的图象开口向下，故选项B错误，不符合
题意；
C.抛物线 ， 的图象不经过原点，故选项C错误，不符合题意；
D.因为抛物线 ， ， 的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图象，
故D选项错误，不符合题意；
故选A．
2．已知点A（1， ），B（2， ），C（−3， ）都在二次函数 的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】二次函数 ，
∴抛物线开口向下，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵点A（1， ），B（2， ），C（−3， ）都在二次函数 的图象上，
∴点C（−3， ）关于对称轴的对称点是C（3， ），
∵1＜2＜3，
∴ ，故选：B．
3．二次函数 在 内的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．－29 D．－30
【详解】解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y =-2×16+3=-29．
最小值
故选：C．
4．已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的顶点坐标为
C．图象的对称轴是直线 D．有最大值，为－3
【详解】解：∵二次函数 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴二次函数 ，
∵ ，
∴图象开口向下，
∴A选项错误，不符合题意；
顶点坐标为（0，-3），
∴B选项错误，不符合题意；
对称轴为直线 ，
∴C选项错误，不符合题意；∵图象开口向下，顶点坐标为（0，-3），
∴有最大值，为－3，
∴D选项正确，符合题意．
故选：D．
5．已知二次函数 ，当x取x，x（ ）时，函数值相等，则当x取 时，函数值为
1 2
( )
A． B． C．-k D．k
【详解】解： ，
抛物线对称轴为 轴，
，
将 代入 得 ，
故选：D．
6．下列对二次函数 的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧，抛物线从左到右下降
【详解】解：∵二次函数y=x2-1，
∴该函数图象开口向上，故选项A错误；
对称轴是y轴，故选项B正确；
当x=0时，y=-1，故选项C错误；
在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，故选项D错误；
故选：B．
7．关于二次函数 的图像，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．对称轴为直线
C．顶点坐标为
D．当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，
∴A，B，C正确，D错误，
故选：D．
8．当 时，二次函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解： ，
∵ ，
∴抛物线的开口向下，与 轴交于正半轴，对称轴为： ，
故选D．
9．抛物线 与抛物线 的相同点是（ ）
A．顶点相同 B．对称轴相同
C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上
【详解】解：抛物线 的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），
抛物线 的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，2），
∴两条抛物线对称轴相同，
故选：B．
10．对于二次函数 ，当 时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解： 二次函数的解析式为 ，抛物线的对称轴为直线 ，
，
抛物线开口向上，
，
当 时，取得最小值 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， 的取值范围是 ，
故选：C．
11．若二次函数 的图象经过点 ，则下列各点中一定在该图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：把点 代入二次函数 可得 ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ，
把 代入得： ，满足在二次函数图象上；
把 代入得： ，所以不在二次函数图象上；
把 代入得： ，所以不在二次函数图象上；
把 代入得： ，所以不在二次函数图象上；
故选A．
12．若抛物线 与 关于x轴对称，则 _________.
【详解】解：∵抛物线y=ax2+c与抛物线 关于x轴对称，
∴抛物线 的解析式为： ．
∴a=4，c=-3，
∴a+c=4-3=1，
故答案为：1．13．二次函数y＝﹣2x2+1的图象上有两点A（x，y）、B（x，y），且x≠x，y＝y，当x＝x+x时，对
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
应的函数值y＝___．
【详解】解：∵二次函数y＝﹣2x2+1的对称轴是y轴（即直线x＝0），函数的图象关于y轴对称，
∵二次函数y＝﹣2x2+1的图象上有两点A（x，y）、B（x，y），且x≠x，y＝y，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴x＝﹣x，即x+x＝0，
1 2 1 2
当x＝x+x＝0时，y＝﹣2×02+1＝1，
1 2
故答案为：1．
14．已知点 、 都在二次函数 的图象上，那么 、 的大小关系是： ______ ．
（填“ ”、“ ”或“ ”
【详解】解：由二次函数 可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为 轴，
当 时， 随 的增大而减小，
，
．
故答案为： ．
15．已知函数 是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
【详解】（1）∵函数 是关于x的二次函数，
∴m2+m﹣4=2，
解得：m=2，m=﹣3；
1 2
（2）当m=2时，抛物线有最低点，
此时y=4x2+1，
则最低点为：（0，1），
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m=﹣3时，函数有最大值，
此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1，
由于抛物线的对称轴为y轴，故当x＞0时，y随x的增大而减小．
能力提升
1．如图，已知抛物线 ，将该抛物线在x轴及x轴下方的部分记作 ，将 沿x轴翻折构成的图形
记作 ，将 和 构成的图形记作 ．关于图形 ，给出的下列四个结论，不正确的是（ ）
A．图形 恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
B．图形 上任意一点到原点的最大距离是1
C．图形 的周长大于
D．图形 所围成区域的面积大于2且小于
【详解】解：如图所示，
A、图形C恰好经过（1，0）、（-1，0）、（0，1）、（0，-1）4个整点，故正确，不符合题意；
3
B、由图象可知，图形C上任意一点到原点的距离都不超过1，故正确，不符合题意；
3C、图形C的周长小于⊙O的周长，所以图形C的周长小于2π，故错误，符合题意；
3 3
D、图形C所围成的区域的面积小于⊙O的面积，大于⊙O内接正方形的面积，所以图形C所围成的区域的
3 3
面积大于2且小于π，故正确，不符合题意；
故选：C．
2．已知一元二次方程 的两个实数根分别是 和 ，则抛物线 的顶点坐标为
______．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个实数根分别是a和b，
∴ ，
则抛物线解析式为： ，
∴抛物线顶点坐标为 ，
故答案为： ．
3．我们把横、纵坐标都为整数的点称为格点
（1）如图，直线 上的格点坐标为_______；
（2）若抛物线 与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点，则c的取值范围是
_______________．【答案】
【详解】（1） 横、纵坐标都为整数的点称为格点，
由图可知，当 时， ，
直线 上的格点坐标为 ，
故答案为： ；
（2） 抛物线 与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点，
如图所示：
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
．
故答案为： ．
4．在平面直角坐标系中，横纵坐标互为相反数的点称为“黎点”，如 等．抛物线
上的“黎点”是______．
【详解】由题可知，“黎点”的坐标为 ，代入 ，得 ，即 ，
解得 ，
故坐标为： ， ．
故答案为： ，
5．如图，抛物线 ，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作 ，将x轴下方的部分沿x轴翻折
后记作 ， 和 构成的图形记作 ．关于图形 ，给出如下四个结论：①图形 关于y轴成轴对称；②
图形 有最小值，且最小值为0；③ 当 时，图形 的函数值都是随着x的增大而增大的；④当
时，图形 恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论
的序号是________．
【详解】解：如图所示，
①图形 关于y轴成轴对称，故正确；②由图象可知，图形 有最小值，且最小值为0；，故正确；
③当 时，图形 与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形 与x轴交点的右侧的函
数值都是随着x的增大而增大，故错误；
④当 时，图形 恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确；
故答案为：①②④．
6．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣
2x2+c的图象完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
x ﹣2 1 5
y m n p
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
【详解】解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶
点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也
没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，
∴a＝±2，
∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，
∴c＝﹣2，
故答案为：±2，﹣2．
（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，
∴p＜m＜n，
故答案为：p＜m＜n．
拔高拓展
1．如图，已知P是函数y 1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华
用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____．【详解】解：设p(x， x2-1)，则OH=|x|，PH=| x2-1|，
当点P在x轴上方时，∴ x2-1>0,
∴PH=| x2-1|= x2-1，
在Rt△OHP中，由勾股定理，得
OP2=OH2+PH2=x2+( x2-1)2=( x2+1)2，
∴OP= x2+1，
∴OP-PH=（ x2+1）-（ x2-1）=2，
故答案为：2．
