文档内容
22.1.1 二次函数的相关概念
【考点1列二次函数关系式】
【考点2 二次函数的判断】
【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】
【考点4 二次函数的一般形式】
【考点5 二次函数的函数值】
考点 1 ：二次函数的概念
1. 二次函数的概念:
一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数.
其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．
注意：二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；
②化简后自变量的最高次数是2；
③二次项系数不为0．
2. 二次函数 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2．
⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项
注意：二次函数除了一般式y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）外，
还有y=ax²，y=ax²+bx，y=ax²+c。
【考点1列二次函数关系式】
【典例1】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为
的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，得出y与x的函数关系式
即可．
【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形
的面积-小正方形的面积得出是解题关键．
【变式1-1】（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）长方形的周长为 ，其中一边为
，面积为 ．那么 与 的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，先根据周长，将长方形的另一边表示出来，再根据长方形的面积=长×
宽，即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：
∵长方形的周长为 ，其中一边为 ，
∴长方形的另一边长为 ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握长方形的面积计算方法.
【变式1-2】（2023九年级上·江苏·专题练习）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（
）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解．
【详解】解：A、 是一次函数，故此选项不符合题意；
B、 不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、 是二次函数，故此选项符合题意；
D、 ，等号右边是分式，不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
【变式1-3】（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群
众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由 元降为 元，设平均每次降价的百分
率是 ，则 关于 的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】根据增长率问题列出函数解析式即可．
【详解】解：某药品经过两次降价，每盒零售价由 元降为 元，设平均每次降价的百分
率是 ，则 关于 的函数表达式为：
，
即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【考点2 二次函数的判断】
【典例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列函数中是二次函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义进行判断即可．
【详解】解：A、 是一次函数，不符合题意；B、 右边不是整式，不符合题意；
C、 ，当 时，不是二次函数，不符合题意；
D、 是二次函数，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的定义，熟练掌握形如 （a、b、c是常数，
）的函数是二次函数是解题的关键．
【变式2-1】（2023九年级上·全国·专题练习）下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】二次函数要求化简后有二次项的整式，根据二次函数的定义回答即可．
【详解】解：A、函数化简为 ，是二次函数，本选项不符合题意；
B、是二次函数，本选项不符合题意；
C、是二次函数，本选项不符合题意；
D、函数化简为 ，没有二次项，不是二次函数，本选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．形如
（a，b，c是常数， ）的函数，叫作二次函数．
【变式2-2】（2023·福建南平·一模）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】A项， 是二次函数，故本项符合题意；
B项， 不是二次函数，故本项不符合题意；C项， 不是二次函数，故本项不符合题意；
D项， 不是二次函数，故本项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．二
次函数的一般式是 ，其中 ．
【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】
【典例3】（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知函数 是关于 的二次函数，
则 的值是( )
A．0或4 B．0 C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义得到关于 的方程，解方程即可．
【详解】解：∵函数 是关于 的二次函数，
∴ 且 ，
解得 ．
故选：B．
【变式3-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）若 是关于 的二次函数，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义求解．
【详解】解：由题意得 ，
解得 ；
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的定义，由二次函数定义建立不等式是解题的关键．
【变式3-2】（22-23九年级上·辽宁大连·期末） 是二次函数，则m的值是
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义即可求解．
【详解】解： 是二次函数，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数
的定义条件是：a、b、c为常数， ，自变量最高次数为2．
【变式3-3】（22-23九年级上·河南许昌·期中）若函数 是关于x的二次函
数，则 （ ）
A． B．3 C．3或 D．2
【答案】A
【分析】
根据二次函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵函数 是关于x的二次函数，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知形如 的函数是二次函
数是解题的关键．
【考点4 二次函数的一般形式】
【典例4】（21-22九年级·全国·假期作业）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a
＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ．
【答案】 3 -5 1【分析】形如： 这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次
项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可．
【详解】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c
＝1，
故答案为：3，﹣5，1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．
【变式4-1】（20-21九年级上·北京房山·期中）二次函数 的二次项系数、一次
项系数和常数项分别是（ ）
A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，-4，3 D．0，-4，3
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如 的函数，
叫做二次函数．其中x，y是变量， 是常量， a是二次项系数， b是一次项系数， c
是常数项作答．
【详解】解：解:二次函数 的二次项系数是1，一次项系数是 ，常数项是
3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数， 一次项系数和常
数项时，不要漏掉符号．
【变式4-2】（22-23九年级上·广西玉林·期中）函数 的一次项系数是（ ）
A． B．1 C．3 D．6
【答案】A
【分析】根据二次函数的相关概念即可得.
【详解】解：函数 的一次项系数是 ；
故选：A.
【点睛】本题考查了二次函数的基本概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的基本知识
是关键.【变式4-3】（22-23九年级上·河南驻马店·期末）二次函数 的二次项系数是
．
【答案】
【分析】根据二次项系数的定义即可进行解答．
【详解】解：二次函数 的二次项系数是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的相关定义，解题的关键是掌握二次函数
中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
考点 2 ：二次函数的值
根据题意把x值代入函数解析式，求出y值即可。
【考点5 二次函数的函数值】
【典例5】（2022·江苏泰州·一模）已知抛物线 与x轴的一个交点为 ，则
代数式 的值为 ．
【答案】2019
【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．
【详解】解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴-3m2+3m+2022
=-3（m2-m）+2022
=-3+2022=2019．
故答案为：2019．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点
（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值．
【变式5-1】（22-23九年级上·广东广州·期末）已知函数 ， 时，记函数值
为 ( )，则 ( ) ( )（填写“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】分别当 ， 时，求出 ( )， ( )的值比较即可．
【详解】解：由题意得
( )
，
( )
，
，
( ) ( )，
故答案： ．
【点睛】本题主要考查了求函数值，掌握求法是解题的关键．
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
x
A．y=2x-1 B．y=- C．y=x3 D．y=x2-2
8
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的定义，利用二次函数的定义分别分析得出即可．
【详解】解：A. y=2x-1是一次函数，不是二次函数，故选项A不符合题意；
x
B. y=- 是正比例函数，不是二次函数，故选项B不符合题意；
8
C. y=x3的自变量次数是3，不是二次函数，故选项C不符合题意；
D. y=x2-2是二次函数，故选项D符合题意；
故选：D
2．函数y=3x2-6x+1的一次项系数是（ ）
A．-6 B．1 C．3 D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的基本概念，熟知二次函数的基本知识是关键．一般地，
把形如 （ 是常数）的函数叫做二次函数，其中 称为二次
y=ax2+bx+c(a≠0) a、b、c a
项系数，b为一次项系数，c为常数项，根据二次函数的相关概念即可获得答案．
【详解】解：函数y=3x2-6x+1的一次项系数是-6．
故选：A．
3．如果函数 是二次函数，则k的值为（ ）
y=(k-3)xk2-3k+2+kx+1
A．k=0 B．k=3 C．k=0或k=3 D．k=4
【答案】A
【分析】本题侧重考查知识点二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c为
常数，且a≠0）的函数叫二次函数，掌握其定义是解决此题的关键．
二次函数中，自变量最高此项的次数k2-3k+2的值是2．二次函数中，自变量最高此项的
系数(k-3)不为0．
【详解】解：根据二次函数的定义，得k2-3k+2=2，
解得k=0或k=3．
∵k-3≠0，
∴k≠3，
∴当k=0时，这个函数是二次函数．
故选：A．
4．在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为x(0
