文档内容
23.2 中心对称
【考点1 中心对称图形】
【考点2中心对称的性质】
【考点3利用中心对称的性质-找对称中心】
【考点4 利用中心对称的性质-求边长长度】
【考点5 利用中心对称的性质-求点坐标】
【考点6 利用中心对称的性质-求面积】
【考点7 利用中心对称的性质-作图】
知识点1：中心对称（两个图形）
1.概念
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个
图形关于这个点对称或中心对称；
2.性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一
点对称。
4.作图步骤：
(1) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。
(2) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的
距离和对称点与对称中心的距离相等。
(3) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形
5. 中心对称图形（一个图形）把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么
这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
【考点1 中心对称图形】
【典例1】（2023秋•南沙区期末）剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对
称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023秋•蒙城县校级期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023秋•清河区校级期末）四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒
种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．【变式1-3】（2023秋•沙坪坝区校级期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称
图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点2中心对称的性质】
【典例2】（2022秋•浦北县期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列
结论不成立的是（ ）
A．点A与点A'是对称点 B．BO＝B'O
C．AB＝A'B' D．∠ACB＝∠C'A'B'
【变式2-1】（2023春•内江期末）如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连结
AB，以下结论错误的是（ ）
A．AD＝CD B．∠C＝∠E
C．AE＝CB D．S△ADE ＝S△ADB
【变式2-2】（2023春•泉港区期末）如图，△AOD与△BOC关于点O成中心对称，连结
AB、CD，以下结论错误的是（ ）
A．OA＝OB B．△AOD≌△COB
C．AD＝BC D．S△ACD ＝S△BCD【变式2-3】（2023秋•安新县期中）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到
点E，使DE＝AD，连接BE．
（1）△ADC和 成中心对称；
（2）已知△ADC的面积为4，则△ABE的面积是 ．
【考点3利用中心对称的性质-找对称中心】
【典例3】（2023秋•张北县期中）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，
H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（ ）
A．点G B．点H C．点M D．点N
【变式3-1】（2023春•渭南期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称
变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）
【变式3-2】（2023春•高碑店市期末）如图，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其
对称中心是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N【考点4 利用中心对称的性质-求边长长度】
【典例4】（2023秋•仪陇县期中）如图，菱形 ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝
2，BD＝8，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，连接AB'，则AB'的长是（
）
A．3 B．4 C．5 D．7
【变式4-1】（2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝
90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【变式4-2】（2023秋•富县期末）如图，△ABC与△AB'C'关于点A对称，若∠C＝90°，
∠B＝30°，AC＝1，则BB'的长为 ．
【变式4-3】（2023秋•前郭县期中）如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，已知
∠BAO＝90°，AB＝4，AO＝3，则AD的长为 ．
【考点5 利用中心对称的性质-求点坐标】
【典例5】（2023秋•青岛月考）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（3，
3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（ ）A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣4）
【变式5-1】（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于
D（﹣1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），则点A'的坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，2） C．（3，2） D．（2，3）
【变式 5-2】（2022 春•青州市期末）如图，将△ABC 绕点 C（0，1）旋转 180°得到
△A'B'C，设点A的坐标为（﹣2，3），则点A'的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣1，2） C．（2，﹣2） D．（2，﹣1）
【考点6 利用中心对称的性质-求面积】
【典例6】（2022秋•乌鲁木齐县校级期中）如图，正方形边长为a，则阴影部分面积为
．【变式6-1】（2022春•南关区期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O
成中心对称，点A的对称点是点A ，AB⊥a于点B，A D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝
1 1
3，则阴影部分的面积之和为 ．
【变式6-2】（2023春•徐汇区期末）如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面
积为 ．
【变式6-3】（2023秋•东湖区期中）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏
喂鱼台，已知OA＝OB＝2米．求阴影部分的面积．
【考点7 利用中心对称的性质-作图】
【典例7】（2023秋•浦北县期末）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心O；
（2）若AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△DEF的周长．【变式7-1】（2023春•雁塔区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点
坐标分别为A（1，4），（4，2），C（3，5）．
（1）请画出△A B C ，使△A B C 与△ABC关于原点成中心对称，并写出点A ，B ，
1 1 1 1 1 1 1 1
C 的坐标．
1
（2）求△A B C 的面积？
1 1 1
【变式7-2】（2022秋•沙河市期末）如图所示，三角形ABC和三角形A′B′C′关于某
一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到三角形 ABC和线段BC的对
应线段B′C′，请你帮该同学找到对称中心O，且补全三角形A′B′C′．一、单选题
1．下面四幅图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（
）
A． B．
C． D．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．等腰梯形是中心对称图形 B．平行四边形是轴对称图形
C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等．
3．如图，在平面直角坐标系中，A(0,1)、B(−1,0)、C(1,0)，请确定一点D，使得以点
A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，则点D的坐标可能是（
）
A．(−2,1) B．(0,−1) C．(2,1) D．(0,−2)
4．一个正比例函数的图象经过点A(2,m)和点B(n,−6)，若点A与点B关于原点对称，则
这个正比例函数的表达式为 （ ）
1 1
A．y=3x B．y=−3x C．y= x D．y=− x
3 3
5．围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图，棋盘上有1个白子和3个黑子，若再放入
一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的位置是（
）A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处
6．点P(2,−3)关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．(−2,−3) B．(2,3) C．(−2,3) D．(−3,2)
7．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△AOB与△COD关于点 O 成中心对称，连接AD，BC．下列结论不一定成立
的是（ ）
A．OA=OC B．AD∥BC C．AC⊥BD D．△AOD≌△COB
二、填空题
9．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成
阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为8和15时，则阴影部分的面积为
．
10．将点P(−2,−3)向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B
关于原点对称，则点B的坐标是
11．已知点P(a+b,−2)与点Q(−6,2a+b)关于原点对称，则3a+2b= ．三、解答题
12．（1）解方程：x2−5x+6=0；
（2）如图，△ABC与△DEC关于C点成中心对称，若AC=1，AB=2，∠BAC=90°，
求AE的长．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,2)，B(0,1)，
C(1,−1)．
(1)画出将△ABC向左平移4个单位后得到的图形△A B C ；
1 1 1
(2)画出将 绕点C按逆时针方向旋转 后得到的图形 ，并直接写出四边
△ABC 180° △A B C
2 2
形A B AB的形状；
2 2
(3)在平面内有一点D，当以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点
D的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶
点均在格点上，点C的坐标为(3,3)．(1)试画出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A B C；
1 1
(2)以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A B C ，写出点B 的坐标为
2 2 2 2
______；
3
(3)请在x轴上找一点D得到 ▱ACBD，则点D的坐标为_______，若直线y= x+b平分
2
▱ACBD的面积，则b=______．
