文档内容
24.1.1 圆的基本概念和性质
【考点1圆的有关概念】
【考点2 求圆中弦的条数】
【考点3求过圆内一点的最长弦】
【考点4求一点到圆上点距离的最值】
【考点5 求圆弧的度数】
【考点6点与圆的位置关系】
【考点7利用点与圆的位置关系求半径】
知识点1 ：圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
备注：圆心确定圆的位置，半径长端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
度确定圆的大小。
【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
知识点2 ：圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作 ，读
AB
作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
【考点1圆的有关概念】
【典例1】如图， 是 的直径， 是 的弦， ， ．在图中作弦
，使 ，并求 的度数．
【变式1-1】如图，点 ， ， 在 上， 平分 ， ，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，在 中， ，O是 边上一点，以O为圆心，
为半径的圆与 相交于点D，连接 ，且 ．若 ，则圆O半径的
长为 ．【变式1-3】如图，点A，B，C在 上．若 ，则 的度数
为
【考点2 求圆中弦的条数】
【典例2】如图，在 中，弦的条数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确
【变式2-1】如图，点 ， ， ，点 ， ， 以及点 ， ， 分别在一条直线
上，则圆中弦的条数为 （ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
【变式2-2】如图，图中⊙O的弦共有（ ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【变式2-3】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点3求过圆内一点的最长弦】
【典例3】已知 的半径3，则 中最长的弦长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3-1】如图，AB是半径为2的 的弦，点C是 上的一个动点，若点M，N分别
是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．
【变式3-2】已知 的半径为 ，且 、 是 上不同的两点，则弦 的范围是
．
【变式3-3】如图，函数 与函数 的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【考点4求一点到圆上点距离的最值】
【典例4】如图，正方形 的边长为 ，点 分别在 、 上，且 ，
与 相交于点 ，连接 ，则 的最小值为 ．
【变式4-1】如图，四边形 为矩形， ， ．点E是线段 上一动点，
连接 ，点F为线段 上一点，连接 ，若 ，则 的最小值为
．
【变式4-2】如图，正方形 的边长为8，点 是边 的中点，点 是边 上一动
点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 ．当 最小时， 的长是
．
【变式4-3】如图，在正方形 中， ，M，N分别为边 ， 的中点，E为 边上一动点，以点 E为圆心， 的长为半径画弧，交 于点F，P为 的中点，
Q为线段 上任意一点，则 长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点5 求圆弧的度数】
【典例5】如图， 是 的弦，延长 相交于点E，已知
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】如图，AB，CD是 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知 ，
，则 的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°【变式5-2】如图， 是 的直径，弦 ，若 ，则 的度
数是 ．
【变式5-3】如图，在 中， ， ，以点C为圆心， 为半径的圆交
于点D，交 于点E，那么 的度数是 ．
知识点3 点与圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr⇔点P在⊙O外。
【考点6点与圆的位置关系】
【典例6】已知 的半径是4，点 到圆心 的距离 为方程 的一个根，则
点 在（ ）A． 的外部 B． 的内部 C． 上 D．无法判断
【变式6-1】已知 的直径为 ，点P到圆心O的距离为 ，则点P和圆的位置关
系（ ）
A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断
【变式6-2】如图，长方形 中， ， ，圆 半径为1，圆 与圆 内切，
则点 、 与圆 的位置关系是（ ）
A．点 在圆 外，点 在圆 内 B．点 在圆 外，点 在圆 外
C．点 在圆 上，点 在圆 内 D．点 在圆 内，点 在圆 外
【变式6-3】已知圆 的面积为 ，设点 到圆心 的距离为 ，若点 在圆 外，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点7利用点与圆的位置关系求半径】
【典例7】圆外一点 到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式7-1】若 所在平面内有一点 ，点 到 上点的最大距离为 ，最小距离为 ，
则 的半径为（ ）
A． B． C． 或 D．无法确定
【变式7-2】若点P到 上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么 的
半径为 ．
【变式7-3】在同一平面内，点 不在 上，若点 到 上的点的最大距离是 ，最小距离是5，则 的半径是 ．
一、单选题
1．下列说法正确的有（ ）
A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦
C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，若以点C为圆心，CB的长为半径的
圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（ ）
A．5cm B．6cm C．5❑√2cm D．5❑√3cm
3．已知点A，B，且AB<4，画经过A，B两点且半径为2的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
4．圆的半径是一条（ ）
A．直线 B．射线 C．线段
5．已知⊙O的半径是2cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
6．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装
有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（ ）
A．半径是3厘米 B．直径是3厘米 C．周长是3π厘米 D．面积是3π厘米
7．如图，在扇形AOB中，D为A´B上的点，连接AD并延长与O的延长线交于点C，若
CD=OA，∠O=72°，则∠A的度数为（ ）A．35° B．52.5° C．70° D．72°
8．甲、乙两个圆，甲圆的面积是12.56cm2，乙圆的周长是62.8cm，甲、乙两圆的半径之
比是（ ）
A．1:5 B．1:4 C．2:5
9．如图，⊙O的半径OA=3，∠OAB=60°，则AB=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（
）
A．2 B．5 C．1 D．5或1
11．如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE=OB，已知
∠DOB=72°，则∠E等于（ ）
A．36° B．30° C．18° D．24°
12．适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致
为正圆，整体可看成为两个同心圆，BC=400像素，∠ABC=90°，那么周围圆环面积约
为（ ）
A．40000π B．1600π C．64000π D．160000π
13．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，3)，以点B为圆心，2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值是（ ）
A．1.5 B．2 C．25 D．3
二、填空题
14．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=50°，则∠MON的度数为 ．
15．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，四边形ABOD为菱形，
若AB=4，则阴影部分的面积是 ．
16．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M是平面内一动点，且满足BM=4，N为
MD的中点，点M运动过程中线段CN长度的取值范围是 ．
