文档内容
24.1.1 圆的基本概念和性质
【考点1圆的有关概念】
【考点2 求圆中弦的条数】
【考点3求过圆内一点的最长弦】
【考点4求一点到圆上点距离的最值】
【考点5 求圆弧的度数】
【考点6点与圆的位置关系】
【考点7利用点与圆的位置关系求半径】
知识点1 ：圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
备注：圆心确定圆的位置，半径长端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
度确定圆的大小。
【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
知识点2 ：圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作 ，读
AB
作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
【考点1圆的有关概念】
【典例1】如图， 是 的直径， 是 的弦， ， ．在图中作弦
，使 ，并求 的度数．
【答案】图见解析， 的度数为 或
【分析】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，以及圆有关的概念，注意有两种情况，
不要漏解
以点A为圆心，以 长为半径画圆交 于点 、 ，连接 ， ，则 或
即为所求作的弦 ．由作图与圆的的有关概念得出 ，从而得 是等
边三角形，进而得出 ， ，进而得出答案．
【详解】解：如图，以点A为圆心，以 长为半径画圆交 于点 、 ，连接 ，
，则 或 即为所求作的弦 ．连接 ， ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴
∵
∴ ．
同理： ．
综上所述， 的度数为 或 ．
【变式1-1】如图，点 ， ， 在 上， 平分 ， ，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆的半径相等，等边对等角，平行线的性质与判定；根据半径相等可
得 ，根据角平分线的定义可得 得出 ，即可判
断 ，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【变式1-2】如图，在 中， ，O是 边上一点，以O为圆心，
为半径的圆与 相交于点D，连接 ，且 ．若 ，则圆O半径的
长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等边对等角，连接 ，由等腰三角
形的性质得 ， ，由 可证 ，则
，设半径为x，则 ，在直角三角形 中，，利用勾股定理可得答
案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
设半径为x，则 ，
在直角三角形 中，由勾股定理得 ，即 ，
∴ ．
∴半径的长为3，
故答案为：3．
【变式1-3】如图，点A，B，C在 上．若 ，则 的度数
为
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等腰三角形的
性质是解题的关键．
利用等腰直角三角形的性质可得 ，从而可得 ，然后利用
等腰三角形的性质，即可解答．
【详解】解：∵ ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．【考点2 求圆中弦的条数】
【典例2】如图，在 中，弦的条数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接
圆上任意两点的线段叫做弦．
根据圆的弦的定义解答．
【详解】在 中，有弦 、弦 、弦 、弦 ，
共有4条弦．
故选：C．
【变式2-1】如图，点 ， ， ，点 ， ， 以及点 ， ， 分别在一条直线
上，则圆中弦的条数为 （ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
【答案】A
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有 ， 共2条．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键．
【变式2-2】如图，图中⊙O的弦共有（ ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直
径，直径是一个圆里最长的弦．
【详解】解：图中有弦 共3条，
故选C．
【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键．
【变式2-3】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据弦的定义求解即可．
【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为
3，
故选：B．
【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦．
【考点3求过圆内一点的最长弦】
【典例3】已知 的半径3，则 中最长的弦长为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】此题考查了圆的性质，根据直径是圆中最长的弦解答即可．
【详解】解：∵直径是圆中最长的弦， 的半径为3，
∴ 最长的弦为6，
故选：B．
【变式3-1】如图，AB是半径为2的 的弦，点C是 上的一个动点，若点M，N分别
是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．
【答案】2
【分析】如图，连接 并延长，交圆于点D，连接 ，由中位线定理，得 ，
点A为定点，C为动点， 的最大值为直径长，即 长．于是 的最大值为
．
【详解】解：如图，连接 并延长，交圆于点D，连接 ，
∵点M，N分别是AB，BC中点，
∴ ．
点A为定点，C为动点， 的最大值为直径长，即 长．
∵ 是直径，
∴ ．
∴ 的最大值为 ．
故答案为：2【点睛】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键．
【变式3-2】已知 的半径为 ，且 、 是 上不同的两点，则弦 的范围是
．
【答案】
【分析】本题考查了圆的认识，掌握弦、直径的概念是解题的关键．根据“连接圆上任意
两点之间的线段就是圆的弦，直径是圆中最长的弦”，可以求出弦 的范围．
【详解】解： 、 是 上不同的两点，，
，
的半径为 ，，
的直径为 ，直径是圆中最长的弦，
，
故答案为： ．
【变式3-3】如图，函数 与函数 的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆
心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】联立正比例函数y=2x与反比例函数 ，求出点A，B的坐标，连接BP，连接
BC并延长，交圆C于点D．根据已知条件可得，所求OQ长的最大值，即求PB长的最大
值，即当点P运动到点D时，BP取得最大值，为BD的长．过点B作BE⊥x轴于点E，由
勾股定理可得BC= 的长，进而可得BD=BC+CD的长，即可得出答案．
【详解】解：联立正比例函数y=2x与反比例函数 ，
得 ，解得 ， ，
∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（-1，−2），
连接BP，连接BC并延长，交⊙C于点D．
由反比例函数图象的对称性可知，点O为AB的中点，
∵点Q为AP的中点，
∴OQ= PB，
∴所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值，
则当点P运动到点D时，BP取得最大值，即为BD的长．
过点B作BE⊥x轴于点E，
则OE=1，BE=2，
∵C点坐标为（-2，0），
∴OC=2，CE=CO-OE=1，
由勾股定理得BC= ，
∴BD=BC+CD= ，
∴OQ= ．
故选：B．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、圆的性质、勾股定
理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
【考点4求一点到圆上点距离的最值】
【典例4】如图，正方形 的边长为 ，点 分别在 、 上，且 ，
与 相交于点 ，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性
质，熟练掌握 的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明
，可证 ，则点 在以 为直径的一段弧上运动，当点
在 与弧的交点处时， 最短，然后根据勾股定理求出 的长即可求解．
【详解】解∶ 四边形 是正方形，
，
在 和 中，
，
，
，
∴ ，
点 在以 为直径的一段弧上运动，
设 的中点为 ，则当点 在 与弧的交点处时， 最短，
，
，
∴ ，
，
故答案为： ．
【变式4-1】如图，四边形 为矩形， ， ．点E是线段 上一动点，
连接 ，点F为线段 上一点，连接 ，若 ，则 的最小值为
．【答案】4
【分析】本题考查了圆外一点到圆上各点的最小距离，勾股定理，矩形的性质，关键是构
造圆．由 可得 ， ，点 在以 为直
径的圆弧上，点 在圆外，可求 的最小值．
【详解】解：作 的中点 ，连接 ．
矩形 中， ，
，
，
，
，
当点 移动时，点 在以 为直径的圆弧上移动，当点 在 上时， 有最小值．
， ， ，
，
，
有最小值为4．
故答案为：4．
【变式4-2】如图，正方形 的边长为8，点 是边 的中点，点 是边 上一动
点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 ．当 最小时， 的长是
．【答案】 /
【分析】本题主要考查了圆的性质，正方形和折叠的性质，勾股定理，确定当点G、F、A
三点共线时， 最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．
由翻折知 ，得点F在以B为圆心，8为半径的圆上运动，可知当点G、F、A三
点共线时， 最小，连接 ，再勾股定理求出 的长，然后利用等面积法即可求出 ．
【详解】解：∵正方形 的边长为8，
∴ ， ，
∵将 沿 翻折得到 ，
∴ ，
∴点F在以B为圆心，8为半径的圆上运动，
∴当点G、F、A三点共线时， 最小，如图，连接
∵点G是边 的中点，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∵
∴∴
解得 ．
故答案为： ．
【变式4-3】如图，在正方形 中， ，M，N分别为边 ， 的中点，E
为 边上一动点，以点 E为圆心， 的长为半径画弧，交 于点F，P为 的中点，
Q为线段 上任意一点，则 长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接 ， 为 的中点，可得 ，则 在以 为圆心，
为半径的圆弧上运动，当 四点共线时， 最小，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，∵正方形 ， ，
∴ ， ，
∵ 分别 ， 的中点，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ 在以 为圆心， 为半径的圆弧上运动，
当 四点共线时， 最小，
此时 ， ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值为： ，
故选B
【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的
性质，正方形的性质，圆的确定，熟练的确定P的运动轨迹是解本题的关键．
【考点5 求圆弧的度数】
【典例5】如图， 是 的弦，延长 相交于点E，已知
，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数
量关系是解题的关键．
如图，连接 ，由三角形内角和求 ，
，
，根据
，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ，
故选：C．
【变式5-1】如图，AB，CD是 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知 ，
，则 的度数是（ ）A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解 ，再求解
，从而可得 ，再利用周角的含义可得
，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的度数20°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定
理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．
【变式5-2】如图， 是 的直径，弦 ，若 ，则 的度数是 ．
【答案】 /30度
【分析】连接 ，根据平行线的性质可得 ，由 可得
，再根据三角形内角和定理可求得 的度数，即 的度数．
【详解】
连接 ，
，
．
，
，
，
∴ 的度数是 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一
点知识是解题的关键．
【变式5-3】如图，在 中， ， ，以点C为圆心， 为半径的圆交
于点D，交 于点E，那么 的度数是 ．【答案】 / 度
【分析】连接 ，根据三角形内角和定理求出 的度数，根据等边对等角得出
的度数，然后根据三角形外角的性质得出 的度数，则结果可得．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，弧的度
数，熟练掌握相关知识点是解本题的关键．
知识点3 点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr⇔点P在⊙O外。
【考点6点与圆的位置关系】
【典例6】已知 的半径是4，点 到圆心 的距离 为方程 的一个根，则
点 在（ ）
A． 的外部 B． 的内部 C． 上 D．无法判断
【答案】B
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解一元二次方程，若点与圆心的距离d，圆
的半径为，则当 时，点在圆外；当 时，点在圆上；当 时，点在圆内，据此
解方程求出 即可得到答案．
【详解】解：解方程 得 ，
∴ ，
∴点 在 的内部，
故选：B．
【变式6-1】已知 的直径为 ，点P到圆心O的距离为 ，则点P和圆的位置关
系（ ）
A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断
【答案】B
【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆位置关系的判断方法．
根据点P到圆心的距离和半径的关系得出点P与圆的位置关系．
【详解】解：∵ 的直径为 ，
∴ 的半径为 ，
∵点P到圆心O的距离为 大于 半径，
∴点P在圆外，故选：B．
【变式6-2】如图，长方形 中， ， ，圆 半径为1，圆 与圆 内切，
则点 、 与圆 的位置关系是（ ）
A．点 在圆 外，点 在圆 内 B．点 在圆 外，点 在圆 外
C．点 在圆 上，点 在圆 内 D．点 在圆 内，点 在圆 外
【答案】C
【分析】两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，得圆 的半径等于5，由勾股定理得
，由点与圆的位置关系，可得结论．本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置
关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图
形确定圆的位置．
【详解】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，
设圆 的半径为 ，
则： ，
，圆 半径为1，
，即圆 的半径等于5，
， ，
由勾股定理可知 ，
， ，
点 在圆上，点 在圆内，
故选：C．
【变式6-3】已知圆 的面积为 ，设点 到圆心 的距离为 ，若点 在圆 外，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，圆的面积，理解点与圆的位置关系定理，熟
练掌握圆的面积公式是解决问题的关键．设圆 的半径为 ，根据圆的面积可求出 ，
再根据点与圆的位置关系可得出 的取值范围．【详解】解：设圆 的半径为 ，
圆 的面积为 ，
，
，
点 到圆心 的距离为 ，且点 在圆 外，
．
故选：C．
【考点7利用点与圆的位置关系求半径】
【典例7】圆外一点 到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，过这个点和圆心的直线与圆的两个交点得到这个
点到圆周上一点的最长距离和最短距离，则它们的差为圆的直径，由此计算出直径，即可
得出答案．
【详解】解：∵圆外一点 到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，
∴ 的直径 ，
∴半径为3；
故选：B．
【变式7-1】若 所在平面内有一点 ，点 到 上点的最大距离为 ，最小距离为 ，
则 的半径为（ ）
A． B． C． 或 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，分点 在圆外和圆内两种情况解答即可求解，运
用分类讨论解答是解题的关键．
【详解】解：设 的半径为 ，
当点 在圆外时， ；当点 在圆内时， ；
∴ 的半径为 或 ，
故选： ．
【变式7-2】若点P到 上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么 的
半径为 ．
【答案】 或者
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在 外和 内两种情况讨论，当点P在
外时，最大距离与最小距离之差等于直径；当点P在 内时，最大距离与最小距离之
和等于直径，即可得．
【详解】解：点P在 外时，
外一点 到 上所有的点的距离中，最大距离是 ，最小距离是 ，
的半径长等于 ；
点P在 内时，
内一点 到 上所有的点的距离中，最大距离是 ，最小距离是 ，
的半径长等于 ，
故答案为： 或者 ．
【变式7-3】在同一平面内，点 不在 上，若点 到 上的点的最大距离是 ，最小
距离是5，则 的半径是 ．
【答案】3或8
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
由题意知，分点 在 内，点 在 外两种情况求解即可．
【详解】解：由题意知，分点 在 内，点 在 外两种情况求解；
当点 在 内，如图1，∴ ，
∴ ，
∴半径为8；
当点 在 外，如图2，
∴ ，
∴ ，
∴半径为3；
综上所述， 的半径是3或8；
故答案为：3或8．
一、单选题
1．下列说法正确的有（ ）
A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦
C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧
【答案】B
【分析】本题考查了圆的相关概念，解题的关键是掌握直径的定义，弧的定义，弧的分类，
根据相关概念，逐个判断即可．【详解】解：A、经过圆心，且两端点在圆上的线段是直径，故A不正确，不符合题意；
B、直径是同一个圆中最长的弦，故B正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故C不正确，不符合题意；
D、弧分为优弧、劣弧和半圆，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，若以点C为圆心，CB的长为半径的
圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（ ）
A．5cm B．6cm C．5❑√2cm D．5❑√3cm
【答案】D
【分析】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆
的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．
连接CD，由直角三角形斜边中线定理可得CD=BD，然后可得△CDB是等边三角形，则
有BD=BC=5cm，进而根据勾股定理可求解．
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵点D是AB的中点，∠C=90°，AB=10cm，
1
∴CD=BD= AB=5cm，
2
∵CD=BC，
∴CD=BD=BC=5cm，
在Rt△ACB中，由勾股定理可得AC=❑√AB2−BC2=5❑√3cm，
故选：D．
3．已知点A，B，且AB<4，画经过A，B两点且半径为2的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【答案】C
【分析】本题考查了圆的定义，掌握圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合成为
解题的关键．
根据圆的定义可知：经过A、B两点的圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上，结合AB的
长可判断AB垂直平分线上点到点A和B的距离等于2的点有2个即可解答．
【详解】解：经过A、B两点的圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上，而AB<4，
∴AB垂直平分线上点到点A和B的距离=2的点有2个，
∴经过A、B两点且半径为2的圆有2个．
故选：C．
4．圆的半径是一条（ ）
A．直线 B．射线 C．线段
【答案】C
【分析】本题考查了圆的半径的定义“连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做半径”，据
此选择答案即可．
【详解】解：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做半径，
故选：C．
5．已知⊙O的半径是2cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆的基本性质．根据圆中最长的弦为直径，即可求解．
【详解】解：∵⊙O的半径是2cm，
∴⊙O中最长的弦长直径是2×2=4cm．
故选：D
6．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装
有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（ ）
A．半径是3厘米 B．直径是3厘米 C．周长是3π厘米 D．面积是3π厘米
【答案】A
【分析】此题考查了圆的认识，根据用圆规画圆的方法解题即可，熟练掌握圆的认识是解
题的关键．
【详解】用圆规画圆的步骤为：
(1)把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离，这距离就是半径；(2)把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上；
(3)把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出了一个圆；
故有圆的半径为3厘米，
故选：A．
7．如图，在扇形AOB中，D为A´B上的点，连接AD并延长与O的延长线交于点C，若
CD=OA，∠O=72°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．52.5° C．70° D．72°
【答案】D
【分析】本题考查了等角对等边，三角形内角和定理，连接OD，根据CD=OA，
OA=OD，设∠C=α，根据等边对等角以及三角形外角的性质可得 ∠A=2α，根据三角
形内角和定理即可求得
【详解】解：如图，连接OD，
∴OA=OD
∴∠A=∠ODA
∵ CD=OA
∴OD=CD
∴∠C=∠DOC
设∠C=α，
∴∠A=∠ODA=∠DOC+∠C=2α
在△AOC中，∠AOC=72°
∴∠A+∠C=108°
∴3α=108°∴α=36°
∴∠A=2α=72°
故选：D．
8．甲、乙两个圆，甲圆的面积是12.56cm2，乙圆的周长是62.8cm，甲、乙两圆的半径之
比是（ ）
A．1:5 B．1:4 C．2:5
【答案】A
【分析】圆的面积和周长公式分别求出甲乙的半径，再求二者之比，即可求解．
【详解】解：由题意得
3.14×r2 =12.56
甲
解得：r =2，
甲
2×3.14×r =62.8
乙
解得：r =10，
乙
所以2:10=1:5，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的面积和周长公式，掌握公式是解题的关键．
9．如图，⊙O的半径OA=3，∠OAB=60°，则AB=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据半径相等，结合已知条件可得△AOB是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接OB，
∵OB=OA，∠OAB=60°，∴△AOB是等边三角形，
∵OA=3，
∴AB= 3，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的半径相等，等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性
质与判定是解题的关键．
10．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（
）
A．2 B．5 C．1 D．5或1
【答案】D
【分析】分两种情况讨论：①当点P在圆外时；②当点P在圆内时，分别求解即可得到答
案．
【详解】解：分两种情况讨论：
①如图1，当点P在圆外时，此时PA=6，PB=4，
6−4
∴此圆的半径为 =1；
2
②如图2，当点P在圆内时，此时PA=6，PB=4，
6+4
∴此圆的半径为 =5；
2
综上可知，此圆的半径为1或5，
故选：D．
【点睛】本题考查了求一点到圆上点距离的最值，利用分类讨论的思想解决问题是解题关
键．
11．如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE=OB，已知
∠DOB=72°，则∠E等于（ ）A．36° B．30° C．18° D．24°
【答案】D
【分析】连接OC，如图所示，由圆中半径相等及已知CE=OB，由等腰三角形的判定与
性质，结合三角形外角性质得到72°=∠DOB=3∠E，解方程即可得到答案．
【详解】解：连接OC，如图所示：
∴CE=OB=CO，
∴在等腰△CEO中，∠E=∠1，
∵ ∠2是△CEO的一个外角，
∴ ∠2=∠E+∠1=2∠E，
∵OC=OD，
∴∠D=∠2=2∠E，
∵∠3是△ODE的一个外角，
∴∠3=∠E+∠D=∠E+2∠E=3∠E，
∵∠3=72°=∠DOB=3∠E，
∴∠E=24°，
故选：D．
【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆的性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性
质，数形结合，找准各个角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键．
12．适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致
为正圆，整体可看成为两个同心圆，BC=400像素，∠ABC=90°，那么周围圆环面积约
为（ ）A．40000π B．1600π C．64000π D．160000π
【答案】D
【分析】圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，设同心圆的圆心为O，连接OC，则大圆的半径为OC，小圆的半
径为OB，
∴设小圆的半径为OB=r，大圆的半径OC=R，
∵BC=400像素，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
在Rt△OBC中，OB2+BC2=OC2，即r2+BC2=R2，
∴R2−r2=BC2=4002，
∵S =πR2−πr2=π(R2−r2 )，
圆环
∴S =π(R2−r2 )=π×BC2=π×4002=160000π，
圆环
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆环面积的计算方法是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，3)，以点B为圆心，2为半径的
⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值是（ ）A．1.5 B．2 C．25 D．3
【答案】A
【分析】取点D(−4，0)，连接PD，连接BD交⊙B于E，根据三角形中位线定理得到
1
OC= PD，根据勾股定理求出BD，进而求出BE，计算即可．
2
【详解】解：如图，取点D(−4，0)，连接PD，连接BD交⊙B于E，
∵C是AP的中点，O是AD的中点，
∴OC是△APD的中位线，
1
∴OC= PD，
2
在Rt△BOD中，OD=4，OB=3，
∴BD=❑√32+42=5，
当点P与点E重合时，PD最小为5−2=3，
1
∴OC的最小值为： ×3=1.5，
2
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关
键．
二、填空题
14．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=50°，则∠MON的度数为 ．【答案】80°/80度
【分析】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，
熟练掌握这些知识是解本题的关键．
先证明∠OMN=∠ONM，再利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：∵MN为⊙O的弦，
∴OM=ON，
∵∠N=50°，
∴∠OMN=∠ONM=50°，
∴∠MON=180°−50°−50°=80°，
故答案为：80°．
15．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，四边形ABOD为菱形，
若AB=4，则阴影部分的面积是 ．
【答案】4❑√3
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，以及圆的相关概念，连接AO，交BD于点F，
1 1
根据菱形的性质得到OB=AB=4，AF= AO，BF= BD，AF⊥BD，推出AF，再
2 2
1
根据勾股定理算出BF，推出BD，根据S = BD⋅AF，即可解题．
△ABD 2
【详解】解：连接AO，交BD于点F，如图所示：∵四边形ABOD为菱形，AB=4，
1 1
∴OB=AB=4，AF= AO，BF= BD，AF⊥BD，
2 2
∴OA=OB=4，AF=2，
∴BF=❑√AB2−AF2=2❑√3，
∴BD=4❑√3，
1 1
∴S = BD⋅AF= ×4❑√3×2=4❑√3．
△ABD 2 2
则阴影部分的面积是4❑√3．
故答案为：4❑√3．
16．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M是平面内一动点，且满足BM=4，N为
MD的中点，点M运动过程中线段CN长度的取值范围是 ．
【答案】3≤CN≤7
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，圆外一点到圆上点的距离的最值，
把求CN的最值转化为求EM的最值是关键；确定点M的运动路径；延长DC到E，使
CE=DC=6，连接EM，EB，EB交⊙B于点F、G；利用三角形中位线定理及圆的基本
性质即可求得线段CN长度的取值范围．
【详解】解：∵BM=4，
∴M在以B为圆心4为半径的圆上运动；
∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=6；延长DC到E，使CE=DC=6，连接EM，EB，EB交⊙B于点F、G；
∵N为MD的中点，
1
∴CN= EM；
2
当M与F重合时，EM最小，且最小值为EF长；当M与G重合时，EM最大，且最大值
为EG长；
∵BC⊥DE，BC=8，CE=6，
∴EB=❑√62+82=10；
∴EF=EB−BF=10−4=6，EG=EB+BF=10+4=14，
1 1
∴CN的最小值为 EF=3，CN的最大值为 EG=7，
2 2
则线段CN长度的取值范围是3≤CN≤7．
故答案为：3≤CN≤7．
