文档内容
24.1.2 垂直于弦的直径 导学案
学习目标
1 理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进行计算和证明；
2 通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.
重点难点突破
★知识点1：圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.
★知识点2： 垂径定理的内容：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
★知识点3： 垂径定理推论的内容：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
核心知识
一、圆的轴对称性：
圆是______________图形，任何一条___________所在直线都是它的对称轴.
二、垂径定理的内容：
垂直于弦的直径____________弦，并且__________弦所对的_______________弧.
三、 垂径定理推论的内容：
平分弦（不是________）的直径_____________于弦，并且_________弦所对的两条弧.
引入新课
【提问】简述轴对称图形的概念？说出常见的轴对称图形？
新知探究
【活动一】将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到
圆的什么特性？
【活动二】在圆形纸片上作⊙O的任意一条弦AB，再作直径CD⊥AB, 垂足为E.沿着直径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？
【证明一】已知：如图，CD 是⊙O 的任一条直径，A 是⊙O 上点 C、D 以外任意一点，过点 A 作
CD⊥AB，交⊙O于点B，垂足为E.求证：AE=BE.
【提问】由此你觉得垂直于弦的直径有什么特点呢？
【提问】下列图形是否具备垂径定理的条件？为什么？
典例分析
例1 如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为3cm，求⊙O的半径．
【针对训练】
1. 如图，在⊙O中，AB=8，OA=5，则OE= ，ED= ．2.如图，在⊙O中，OA=5，ED=2，则OE= ，AB= .
3.如图，在⊙O中，AB=8，ED=2，则OA= ，OE= .
4.如图，⊙M 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C，D 两点，若M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是
.
5 如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长
为（ ）．
A. ❑√5 B.2 ❑√3 C.2 ❑√5 D.2垂径定理的解题思路：
垂径定理的解题技巧：
例2 1400多年前，我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对是弦的长)为
37 m，拱高为7.23m，求桥拱的半径(精确到0.1m).
【针对训练】
1 如图是一个圆弧形门拱，拱高1m ，跨度4m ，那么这个门拱的半径为（ ）
A.2m B.2.5m C.3m D.5m
2.如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面AB宽为（）
A.4m B.5m C.6m D.8m
新知探究
【提问】平分弦的直径垂直于这条弦吗？
【提问】如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB点E，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？（2） ⏜ 与 ⏜ 相等吗？ ⏜ 与 ⏜ 相等吗？为什么？
AD BD AC BC
（3）你发现了什么？
典例分析
例3 下列说法正确的是（ ）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
②平分弦的直径平分弦所对的弧
③垂直于弦的直线必过圆心
④垂直于弦的直径平分弦所对的弧
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
【针对训练】
1.如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的 倍，C为 ⏜ 中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是
❑√3
AB
（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2.如图，BC为⊙O直径，交弦AD于点E，若E点为AD中点，则说法错误的是（ ）
A．AD⊥BC B．AB=BD C．AC=CD D．OE=BE
直击中考
1．（2023·广西中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为________________m
2．（2023·陕西·统考中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．
图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图． ⏜ 是 的一部分， 是 ⏜ 的中点，连接
⊙O D
AB AB
OD，与弦 AB交于点C，连接OA，OB．已知 AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为
（ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
3．（2022·四川自贡·统考中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦
AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 厘米．
【参考答案】
新知探究
【活动一】将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到
圆的什么特性？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.
【活动二】在圆形纸片上作⊙O的任意一条弦AB, 再作直径CD⊥AB, 垂足为E.沿着直
径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？
观察发现：
点A与点B重合，AE与BE重合，⏜ ⏜ 重合， ⏜ ⏜ 重合.
AC与 BC AD与 BD
所以AE=BE, ⏜ = ⏜ ， ⏜ = ⏜
AC BC AD BD
【证明一】已知：如图，CD 是⊙O 的任一条直径，A 是⊙O 上点 C,D 以外任意一点，过点 A 作
CD⊥AB，交⊙O于点B，垂足为E.求证：AE=BE.
证明：连接OA、OB,
在△OAB中，
∵OA=OB ∴△OAB是等腰三角形
又∵ CD⊥AB,
∴AE=BE
【提问】由此你觉得垂直于弦的直径有什么特点呢？
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
【提问】下列图形是否具备垂径定理的条件？为什么？
典例分析
例1 如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为3cm，求⊙O的半径．
解：过圆心O作OE⊥AB于点E，
1 1
∵OE⊥AB ∴AE= AB= ×8=4，而OE=3
2 2
2 2 2 2 2
在Rt△OAE中，由勾股定理得OA =AE +OE =4 +3 =25
∴OA=5，即⊙O的半径为5cm.【针对训练】
1. 如图，在⊙O中，AB=8，OA=5，则OE= 3 ，ED= 2 ．
2.如图，在⊙O中，OA=5，ED=2，则OE= 3 ，AB= 8 .
3.如图，在⊙O中，AB=8，ED=2，则OA= 5 ，OE= 3 .
4.如图，⊙M 与x轴交于 A，B 两点，与 y轴交于 C，D 两点，若 M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是
(0,❑√5).
5 如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长为（
C ）．
A. ❑√5 B.2 ❑√3 C.2 ❑√5 D.2垂径定理的解题思路：
弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．
在Rt△OEB中，由勾股定理得：弦心距2+半弦2=半径2
垂径定理的解题技巧：
见弦常作弦心距，连接半径，构造直角三角形用勾股定理求解
例2 1400多年前，我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对是弦的长)为
37 m，拱高为7.23m，求桥拱的半径(精确到0.1m).
解：用 ⏜ 表示主桥拱，设 ⏜ 所在圆的圆心为O，半径为r．经过圆心O
AB AB
作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，点
D是弦AB的中点，点C是 ⏜ 的中点，CD就是拱高．
AB
在Rt△ADO中，由勾股定理得AD2+OD2= AO2，解得r≈27.3m
答：桥拱的半径约为27.3m
【针对训练】
1 如图是一个圆弧形门拱，拱高1m ，跨度4m ，那么这个门拱的半径为（ B ）
A.2m B.2.5m C.3m D.5m
2.如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面AB宽为（ D ）
A.4m B.5m C.6m D.8m新知探究
【提问】平分弦的直径垂直于这条弦吗？
平分弦的直径不一定垂直于这条弦
【提问】如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB点E，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2） ⏜ 与 ⏜ 相等吗？ ⏜ 与 ⏜ 相等吗？为什么？
AD BD AC BC
（3）你发现了什么？
解：1）CD⊥AB.
∵ ∆AEO≌∆BEO(证明过程略)
∴ ∠ AEO =∠ BEO=90° ∴ CD⊥AB
2）相等.理由：垂径定理.
3)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(垂径定理推论).
典例分析
例3 下列说法正确的是（ D ）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
②平分弦的直径平分弦所对的弧
③垂直于弦的直线必过圆心
④垂直于弦的直径平分弦所对的弧
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
【针对训练】
1.如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的 倍，C为 ⏜ 中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是
❑√3
AB
（ C ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形2.如图，BC为⊙O直径，交弦AD于点E，若E点为AD中点，则说法错误的是（ D ）
A．AD⊥BC B．AB=BD C．AC=CD D．OE=BE
直击中考
1．（2023·广西中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.
如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为_______28_________m
2．（2023·陕西·统考中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．
图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图． ⏜ 是 的一部分， 是 ⏜ 的中点，连接
⊙O D
AB AB
OD，与弦 AB交于点C，连接OA，OB．已知 AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为
（ A ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
3．（2022·四川自贡·统考中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦
AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 26 厘米．
