文档内容
24.1.2 垂直于弦的直径 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十四章
“圆”24.1.2 垂直于弦的直径，内容包括：垂径定理和垂径定理的推论．
2.内容解析
圆有许多重要性质，其中最主要的性质是圆的对称性(轴对称性和旋转不变性)，它是探索其他性质的
基础，垂径定理正是圆的轴对称性的具体体现．它是圆中证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据，
同时也为和圆有关的其它计算、证明、作图提供了重要的方法和依据，此外垂径定理也为研究弦、弧、圆
心角定理提供了研究方法．
垂径定理的条件是：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）
平分弦所对的劣弧，已知五个条件中的两个就可推出其中三个，解题过程中应灵活运用该定理.
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：垂径定理的探索及初步应用．
二、目标和目标解析
1.目标
1) 理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进行计算和证明；
2) 通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．
2.目标解析
达成目标1）的标志是：学生知道圆是轴对称图形，并能指出圆的对称轴. 垂径定理的条件是：（1）
过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧，已知五个条
件中的两个就可推出其中三个，解题过程中应灵活运用该定理.
达成目标2）的标志是：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.
三、教学问题诊断分析
垂径定理的题设与结论比较复杂，题设的变式比较多样，一些学生不能把握题设的本质，从而造成对
定理的理解不深入．
基于以上分析，本课的教学难点是：利用垂径定理进行计算．
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
【提问】简述轴对称图形的概念？说出常见的轴对称图形？
师生活动：教师提出问题，学生回答．【设计意图】先回顾轴对称的相关知识，为本节课学习圆的轴对称性做好铺垫．
（二）探究新知
【活动一】将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能
得到圆的什么特性？
师生活动：教师提出问题，学生尝试将已准备的圆形纸片对折，观察折叠后的图形并解决这个问题.
教师通过多媒体展示圆形纸片的折叠过程，引导学生归纳得出圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一
条直径所在直线都是它的对称轴.
【设计意图】掌握圆的轴对称性.
【活动二】在圆形纸片上作⊙O的任意一条弦AB, 再作直径CD⊥AB, 垂足为E.
沿着直径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？
师生活动：教师提出问题，并通过多媒体展示折叠过程，学生观察动态过程，容
易发现以下内容：点A与点B重合，AE与BE重合， ⏜ ⏜ 重合， ⏜ ⏜
AC与 BC AD与 BD
重合，由此得出：AE=BE, ⏜ = ⏜ ， ⏜ = ⏜
AC BC AD BD
【证明一】已知：如图，CD是⊙O的任一条直径，A是⊙O上点C,D以外任意一点，过点A作CD⊥AB，
交⊙O于点B，垂足为E.求证：AE=BE.
师生活动：教师提出问题，学生尝试回答问题.师通过多媒体展示证明过程.
证明：连接OA、OB, 在△OAB中，
∵OA=OB ∴△OAB是等腰三角形又∵ CD⊥AB,∴AE=BE
即CD是AB的垂直平分线.这就是说对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线
CD的对称点B，因此⊙O关于直线CD对称.
【提问】由此你觉得垂直于弦的直径有什么特点呢？
师生活动：教师提出问题，学生尝试回答问题. 教师引导学生归纳垂径定理的内容：垂直于弦的直
径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
【设计意图】让学生理解垂径定理的推导过程.
【提问】下列图形是否具备垂径定理的条件？为什么？师生活动：教师提出问题，学生尝试回答问题.
【设计意图】让学生理解垂直于弦的线不一定必须是直径，可以是半径、弦心距及过圆心的直线，
而它们的共同特征是都过圆心．
（三）归纳小结
垂径定理的基本图形：
垂径定理的解题思路：
弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．
在Rt△OEB中，由勾股定理得：弦心距2+半弦2=半径2
垂径定理的解题技巧：
见弦常作弦心距，连接半径，构造直角三角形用勾股定理求解
【设计意图】
1. 学生理解垂直于弦的线不一定必须是直径，可以是半径、弦心距及过
圆心的直线，而它们的共同特征是都过圆心．
2.掌握垂径定理的解题思路和技巧.
（四）典例分析与针对训练
例1 如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为3cm，求⊙O的半径．【针对训练】
1. 如图，在⊙O中，AB=8，OA=5，则OE= ，ED= ．
2.如图，在⊙O中，OA=5，ED=2，则OE= ，AB= .
3.如图，在⊙O中，AB=8，ED=2，则OA= ，OE= .
4.如图，⊙M 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C，D 两点，若M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是
.
5 如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长
为（ ）．A. ❑√5 B.2 ❑√3 C.2 ❑√5 D.2
师生活动：教师提出问题，学生尝试回答问题.
【设计意图】通过上述练习，使学生会运用垂径定理进行有关的计算.
例2 1400多年前，我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对是弦的长)为
37 m，拱高为7.23m，求桥拱的半径(精确到0.1m).
师生活动：师生共同将实际问题转化为数学问题，并画出几何图形，尝试通过垂径定理，构造直角
三角形，结合勾股定理，建立方程.
【设计意图】运用垂径定理解决实际问题
【针对训练】
1 如图是一个圆弧形门拱，拱高1m ，跨度4m ，那么这个门拱的半径为（ ）
A.2m B.2.5m C.3m D.5m
2.如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面AB宽为（ ）
A.4m B.5m C.6m D.8m
师生活动：教师提出问题，学生尝试回答问题.
【设计意图】通过上述练习，使学生会运用垂径定理解决实际问题.（五）探究新知
【提问】平分弦的直径垂直于这条弦吗？
师生活动：教师提出问题，学生尝试回答问题.并得出如下结论：平分弦的直径不一定垂直于这条弦.
【提问】如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB点E，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2） ⏜ 与 ⏜ 相等吗？ ⏜ 与 ⏜ 相等吗？为什么？
AD BD AC BC
（3）你发现了什么？
师生活动：教师提出问题，学生尝试回答问题. 教师引导学生归纳垂径定理推论的内容：平分弦
（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
【设计意图】让学生理解垂径定理推论的内容.
（六）典例分析与针对训练
例3 下列说法正确的是（ ）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
②平分弦的直径平分弦所对的弧
③垂直于弦的直线必过圆心
④垂直于弦的直径平分弦所对的弧
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
【针对训练】
1.如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的 倍，C为 ⏜ 中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是
❑√3
AB
（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形2.如图，BC为⊙O直径，交弦AD于点E，若E点为AD中点，则说法错误的是（ ）
A．AD⊥BC B．AB=BD C．AC=CD D．OE=BE
师生活动：教师提出问题，学生尝试回答问题.
【设计意图】通过上述练习，使学生会运用垂径定理推论进行计算.
（七）直击中考
1．（2023·广西中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.
如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为________________m
2．（2023·陕西·统考中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．
图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图． ⏜ 是 的一部分， 是 ⏜ 的中点，连接
⊙O D
AB AB
OD，与弦 AB交于点C，连接OA，OB．已知 AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为
（ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm3．（2022·四川自贡·统考中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦
AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 厘米．
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点.
（八）归纳小结
1.垂径定理的内容？
2.垂径定理推论的内容？
（九）布置作业
P89：习题24.1 第8题、第10题、第11题.
