文档内容
24.1.3 圆周角
【考点1 直径所对圆周角为90°的运用】
【考点2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】
【考点3 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】
【考点4圆内接四边形的综合运用】
【考点5 运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长】
知识点1 圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
E
F
O
D
A
C
B
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 或两条
弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
知识点2 圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=
1
圆心角） C
2
B O
A
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 D C
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
B O
A
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。C
B A
O
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
B A
O
【考点1 直径所对圆周角为90°的运用】
【典例1】如图，△BDC内接于圆O，AC为圆O的直径，连接AB，若∠ACB=40°，则
∠D的度数为（ ）
A．20° B．25° C．50° D．40°
【变式1-1】如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB=60°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【变式1-2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，点D在⊙O上，若
∠ACB=56°，则∠ADC的度数为（ ）A．17° B．34° C．56° D．68°
【变式1-3】如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点E，连接AC，BD，若∠A=32°，则
∠B的度数为（ ）
A．56° B．58° C．60° D．62°
【考点2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】
【典例2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，若A´C=B´C，∠BDC=50°，则
∠ADC的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．150°
【变式2-1】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是圆上一点，连接OD，
BD，CD．若DC平分∠ODB，∠BCD=20°，则∠CAB的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【变式2-2】如图，圆上依次有A,B,C,D四个点，AC,BD交于点P，连接AD,AB,BC，
若∠ACB=40°，则∠ADB的度数为（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点3 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】
【典例3】如图，CD是⊙O的直径，点A、B在⊙O上．若A´C=B´C，∠AOC=36∘，则
∠D=（ ）
A．9∘ B．18∘ C．36∘ D．45∘
【变式3-1】如图，AB，CE是⊙O的两条直径，D是劣弧BC的中点，连接BC，DE．若
∠ABC=34°，则∠CED的度数为（ ）
A．26° B．28° C．34° D．56°
【变式3-2】如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=120°，点B是弧AC的中点，则
∠D的度数是（ ）
A．60° B．35° C．30.5° D．30°
【变式3-3】如图，AB，CD是⊙O的直径，E是B´C的中点，DE⊥AB，∠CDE的度
数是（ ）A．20° B．30° C．45° D．60°
知识点3 圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙ 中， ∵四边 是内接四边形
D
C
∴
B
A E
【考点4 圆内接四边形的综合运用】
【典例4】如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC=110°，则∠BOC的度数为
（ ）
A．110° B．120° C．70° D．140°
【变式4-1】如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=100°，P为劣弧AB上一点，则∠APB度
数是（ ）
A．80° B．50°或130° C．100° D．130°
【变式4-2】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠ADC=32°，则∠BAC=°．
【变式4-3】如图，∠BCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，连接OB、OD，若
∠BOD=144°，则∠BCE的度数为 °．
【考点5 求外接圆直径】
【典例5】如图，圆O是矩形ABCD的外接圆，若AB=❑√3，BC=1，则图中阴影部分的面
积是（ ）
π π
A．4π−❑√3 B．π−❑√3 C． −❑√3 D． +❑√3
2 2
【变式5-1】如图，⊙O为正方形ABCD的外接圆，若BC=2，则⊙O的面积为（ ）A．2π B．3π C．4π D．8π
【变式5-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC:∠ADC=2:1,AB=2 ，点C为
B´D的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E=60∘，则⊙O 的面积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【变式5-3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长
为（ ）
A．❑√3 B．2 C．2❑√3 D．4
一、单选题
1．如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，CE弧为100°，则∠AOC的度数为
（ ）
A．30° B．39° C．40° D．45°
2．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，且BD是直径，点C为优弧BDA的中点，连接
AB，AC，BC．若∠ABD=60°，则∠CBD的度数为（ ）A．20° B．15° C．25° D．30°
3．如图，△ABC内接于⊙O，过点O作OD⊥AB交⊙O于点D，连接AD，∠D＝54°，
则∠C的度数为（ ）
A．36° B．54° C．72° D．80°
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC=110°，则∠ABC的度数为（ ）
A．125° B．120° C．115° D．110°
5．如图，AB是⊙O的直径，AC，CD是⊙O的弦，CD交AB于点E，且OD=DE，连
接BC．若∠BAC=15°，则∠ODC的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
6．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠ABC=60°，则∠BDC的度数为
（ ）A．30° B．15° C．45° D．28°
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABO=30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
8．如图，C、D是AB 为直径的半圆上的点，且C是BD弧的中点，∠BAD=50°， 则
∠D的度数为（ ）
A．115° B．105° C．100° D．95°
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径OD⊥AC于点E，连接CD，若∠ABC=72°，
则∠EDC的度数是（ ）
A．64° B．54° C．46° D．36°
二、填空题
10．如图，AB是⊙O的直径，B´C=C´D=D´E，∠AOE=66°，那么∠BOC= .
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，若∠A=150°，则
∠DCE的度数为 ．12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线BD过点O，若∠ABD=65°，则
∠ACB的度数为 °．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若
∠BOD=124°，则∠ACD= °．
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连结OC，BD，
OC⊥BD，若∠A等于50°，则∠ADB的度数为 ．
三、解答题
15．如图，⊙O中，A´B=A´C，∠C=70°，求∠A的度数．16．如图，在⊙O中，B´D=A´C，求证：
(1)A´B=C´D；
(2)∠B=∠C．
17．如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是A´B的中点．
(1)求证：四边形OACB为菱形；
(2)延长OA至P，使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．18．如图所示，AB是圆O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交圆O于点C、D．
(1)若∠AOD=50°，求∠DOB的度数；
(2)若AB=2❑√5，ED=1，求圆O的半径长．
