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24.1.3 弧、弦、圆心角 分层作业
基础训练
1．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且 ，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是
（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：在⊙O中，
∵
∴ ，
故A、C选项正确，不符合题意；
∵ ，OA=OD，OB=OC
∴
∴
∵OE⊥ AB，OF⊥CD，
∴
∴OE=OF
故B选项正确，不符合题意．
故选D
2．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是 的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面
积为（ ）A．25 B．25 C． D．
【详解】解：连OC，如图，
∵C是 的中点，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴S AOBC= ．
四边形
故选：D．
3．如图， 是 的直径， ，若 ，则 的度数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
【详解】 ，
．，
，
，
故选：D．
4．如图，在 中， ．若以点C为圆心， 长为半径的圆与 交于点D，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如图所示：连接CD，
∵在 中，
即 的度数是
故选：B．
5．如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且 ，则四边形
ABCD的周长等于（ ）A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm
【详解】解：如图,连接OD、OC．
，
∠AOD=∠DOC=∠COB， ；
∠AOD+∠DOC+∠COB=180°，
∠AOD=∠DOC=∠COB=60°；
OA=OD，
△AOD是等边三角形，⊙O的半径等于2cm，
AD=OD=OA=2cm；
，
AD=CD=BC=OA=2cm；
四边形ABCD的周长为:AD+CD+BC+AB= cm;
故选：B．
6．下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧相等则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，故错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一
定相等．（2）优弧一定比劣弧长，故错误，条件是同圆或等圆中；
（3）弧相等则所对的圆心角相等，故正确；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确；
故选：B．
7．如图，已知在 中， 是直径， ，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D． 到 、 的距离相等
【详解】在 中，弦 弦 ，则其所对圆心角相等，即 ，所对优弧和劣弧分别相等，
所以有 ，故B项和C项结论正确，
∵ ，AO=DO=BO=CO
∴ （SSS）
可得出点 到弦 ， 的距离相等，故D项结论正确；
而由题意不能推出 ，故A项结论错误．
故选：A
8．下列图形中的角，是圆心角的为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：A、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
B、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
C、是圆心角，故本选项符合题意；
D、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
故选：C．
9．如图，在 中， ，连接 ， ，则 （填“ ”，“ ”或“ ” ．【详解】解：∵ ，
，
，
，
故答案为： ．
10．如图，在⊙O中， ，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．
【详解】延长AD交⊙O于E，
∵OC⊥AD，
∴ ，AE=2AD，
∵ ，
∴ ，
∴AB=AE，
∴AB=2AD．11．如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝∠B．
【详解】证明：如图，连接 ，
是 的中点，
，
，
在 和 中，
，
，
．
12．已知，如图，⊙O中两条弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD．
（1）求证： ＝ ；
（2）若∠AEC＝100°，求∠A的度数；
（3）过点B作BH⊥AD于点H，交CD于点G，若AE＝2BE，求证：EG＝GD．【详解】解：（1）∵AB=CD，
∴ ，
∴ ，即 ；
（2）∵ ，
∴∠D=∠A，
∵∠AEC＝100°，
∴ ；
（3）如图，
∵∠D=∠A，
∴AE=DE，
∵AE＝2BE，
∴DE=2BE，
∵BH⊥AD，
∴∠AHB=90°，
∴∠A+∠ABH=90°，∠D+∠DGH=90°，
∵∠D=∠A，
∴∠ABH=∠DGH，
∵∠DGH=∠BGE，
∴∠ABH=∠BGE，∴BE=EG，
∴DE=2EG，
∵DE=EG+GD，
∴EG=GD．
能力提升
1．如图，点 是半圆上的一个三等分点，点 为弧 的中点， 是直径 上一动点，⊙O的半径是
2，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【详解】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OB，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧
AN的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=2，∴A′B= ，∴PA+PB=PA′
+PB=A′B= ．故选D．
2．如图， 是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上， ，点P是上的一个动点，则 的最小值为 ．
【详解】作点 关于 的对称点为 ，连接 ， ；过点 作 ；
由题知， ， ，∴ ，可得 对应的圆心角 ；
又点 关于 的对称点为 ，
∴ ， ，∴ 长为 的最小值
在 中， ，∴ ， ；
在 中， ， ，∴ ；
故填： ；
3．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点
D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 ．
【详解】过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为 的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD＝ ×2×3＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝ BD＝1，
∴OE＝2，
连接OC，
∵CE＝ ，
∴边CD＝ ；
如图②，
BD＝ ×2×3＝4，
同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，
连接OC，∵CE＝ ，
∴边CD＝ ，
故答案为 或2 ．
4．如图，在 ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A＝25°，求 的度数；
（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．
【详解】解：（1）如图，连接 ，
，∠A＝25°，
，
，
，
，
，
的度数为40°；
（2）如图，作 ，则 ，
∵∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，
∴在 中， ，
，
，在 中， ，
．
拔高拓展
1．如图，D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点， ．
（1）求证：CD=CE．
（2）若∠AOB=120°，OA=x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵ ，
∴∠COA=∠COB，
∵D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，
∴OD=OE，
在△COD和△COE中，，
∴△COD≌△COE（SAS）
∴CD=CE；
（2）连接AC，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=60°，又OA=OC，
∴△AOC为等边三角形，
∵点D是OA的中点，
∴CD⊥OA，OD= OA= x，
在Rt△COD中，CD=OD•tan∠COD= ，
∴四边形ODCE的面积为y= ×OD×CD×2= x2．
