文档内容
24.1.3 弧、弦、圆心角 导学案
学习目标
1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角.
2.掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算.
3.在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中，学会运用转化的数学思想解决问题.
重点难点突破
★知识点1： 圆心角的概念：
顶点在圆心的角叫做圆心角.
★知识点2： 弧、弦、圆心角的关系
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
核心知识
一、圆心角的概念：
顶点在__________的角叫做圆心角.
二、 弧、弦、圆心角的关系
在__________或_____________中，两个_________、两条__________、两条_________中有一组量
_________，它们所对应的其余各组量也_________________．
引入新课
【提问】简述中心对称图形的概念？说出常见的中心对称图形？
新知探究
【问题一】圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
【问题二】你发现了什么？
【问题三】把圆绕着圆心旋转60°，90°，120°，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？【问题四】你发现了什么？
【提问】观察下图，它们有什么共同点？
【提问】你知道如何判断圆心角吗？
典例分析
例1 回答下面问题：
1.找出⊙Ｏ中的圆心角？
2.∠ABC是不是圆心角？并说明原因？
【针对训练】
1. 判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
新知探究
【问题】任意圆心角，对应会出现哪几个量？
【猜想】你觉得这几个量会有什么关系呢？
【探究一】如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠AOB 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
1 1【探究二】如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A'O'B'，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
【小结】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_____________，所对的弦也_____________
【提问】上述小结内容中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
【探究三】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角有何关系？所对的弦呢？你发现了
什么？
【探究四】在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角有何关系？所
对的弧呢？你发现了什么？
【提问】简述同圆和等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系吗？
典例分析
例2 AB、CD是⊙O的两条弦．
1）如果AB=CD，那么 ___________，_________________．
2）如果 ⏜ ⏜ ，那么 ____________，_____________．
AB=CD
3）如果∠AOB=∠COD，那么 _____________， _____________ ．
4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？【针对训练】
1.如图1，AB是⊙O的直径， ⏜ = ⏜ = ⏜ ，∠AOE=66°，则∠COD的度数是( )
BC CD DE
A．108° B．72° C．48° D．38°
2.如图2，已知AB是⊙O的直径，点C和点D是半圆上两个三等分点，则∠COD= .
3.如图3，在⊙O中，点C是 ⏜ 的中点，∠A=70°，则∠BOC=_____.
AB
4.如图，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半径， ⏜ ⏜ ，∠BAO=37°，则∠AOC的度数是（ ）度.
AC=BC
A．74 B．106 C．117 D．127
5．如图，圆心角∠AOB＝20°，将 ⏜ 旋转n°得到 ⏜ ，则 ⏜ 的度数是______度．
AB CD CD
6. 如图，已知∠AOB=∠COD，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． ⏜ ⏜
AB=CD
AB=CD
C．△AOB≌△COD D．△AOB,△COD都是等边三角形7.如图，在⊙O中，AC＝BD．求证：AB＝CD
8.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，且AB=CD．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、
DC的延长线交于点P，连接OP．下列结论正确的个数是（ ）
① ⏜ ⏜ ；② ；③ ；④
AB=CD
OM=ON PA=PC ∠BPO=∠DPO
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若 ⏜ 的度数为35°，则 ⏜ 的
AD BE
度数是_____．
10．如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为 ⏜ 的中点，P是直径MN上一动点，
AN
则PA+PB的最小值为（ ）
A．2❑√2 B．❑√2 C．1 D．2
直击中考1．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知
， ，则 ⏜ 的度数是（ ）
∠P=30° ∠AOC=80°
BD
A．30° B．25° C．20° D．10°
归纳小结
1.圆具有怎样的对称性？
2.圆心角的概念？
3.在同圆与等圆中，圆心角、弧、弦之间有何关系？
【参考答案】
新知探究
【问题一】圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
是，圆心
【问题二】你发现了什么？
圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.
【问题三】把圆绕着圆心旋转60°，90°，120°，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？
重合
【问题四】你发现了什么？
一个圆绕圆心旋转任意角度，所得图形和原图形重合.
【提问】观察下图，它们有什么共同点？
顶点是圆心
【提问】你知道如何判断圆心角吗？观察顶点是否在圆心
典例分析
例1 回答下面问题：
1.找出⊙Ｏ中的圆心角？∠AOC、 ∠BOC
2.∠ABC是不是圆心角？并说明原因？不是，顶点不在圆心.
【针对训练】
1. 判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
4）是圆心角，其它三个顶点不在圆心.
新知探究
【问题】任意圆心角，对应会出现哪几个量？
圆心角、弧、弦
【猜想】你觉得这几个量会有什么关系呢？
【探究一】如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠AOB 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
1 1
由∠AOB＝∠AOB 得到AB=AB ⏜ = ⏜
1 1 1 1
AB A1B1
∵∠AOB＝∠AOB
1 1
∴射线OB与OB 重合
1
又 OA=OA，OB=OB
1 1
∴点A与A 重合，B与B 重合．
1 1
因此 ⏜ ⏜ 重合，弦AB与AB 重合，
AB与A1B1 1 1
即AB=AB ⏜ = ⏜
1 1
AB A1B1
【探究二】如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A'O'B'，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
由∠AOB＝∠A'O'B'得到AB=A ' B ' ⏜ = ⏜
,
AB A'B'
【小结】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
【提问】上述小结内容中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不能少，理由：如图，已知∠COD= ∠AOB，但是线段CD不等于线段AB ， ⏜ 也不等于 ⏜ .
CD AB
【探究三】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角有何关系？所对的弦呢？你发现了
什么？
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等.
【探究四】在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角有何关系？所
对的弧呢？你发现了什么？
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对优弧和劣弧分别相等
【提问】简述同圆和等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系吗？
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余
各组量也相等．
典例分析
例2 AB、CD是⊙O的两条弦．
1）如果AB=CD，那么 ⏜ ⏜ ， ．
AB=CD
∠AOB=∠COD
2）如果 ⏜ ⏜ ，那么 AB=CD， ．
AB=CD
∠AOB=∠COD
3）如果∠AOB=∠COD，那么 ⏜ ⏜ ，AB=CD ．
AB=CD
4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
相等，∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD．
∵AO=CO，BO=DO，则△AOB ≌ △COD．
而OE、OF是AB与CD对应边上的高，
∴OE=OF．
【针对训练】1.如图1，AB是⊙O的直径， ⏜ = ⏜ = ⏜ ，∠AOE=66°，则∠COD的度数是( D )
BC CD DE
A．108° B．72° C．48° D．38°
2.如图2，已知AB是⊙O的直径，点C和点D是半圆上两个三等分点，则∠COD=60° .
3.如图3，在⊙O中，点C是 ⏜ 的中点，∠A=70°，则∠BOC=20°.
AB
4.如图，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半径， ⏜ ⏜ ，∠BAO=37°，则∠AOC的度数是（ D ）度.
AC=BC
A．74 B．106 C．117 D．127
5．如图，圆心角∠AOB＝20°，将 ⏜ 旋转n°得到 ⏜ ，则 ⏜ 的度数是20度．
AB CD CD
6. 如图，已知∠AOB=∠COD，下列结论不一定成立的是（ D ）
A． B． ⏜ ⏜
AB=CD
AB=CD
C．△AOB≌△COD D．△AOB,△COD都是等边三角形
7.如图，在⊙O中，AC＝BD．求证：AB＝CD证明：
∵AC＝BD，∴ ⏜ ⏜ ．
AC=BD
∴ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜
AC+BC=BD+BC
∴ ⏜ ⏜ ．∴AB＝CD．
AB=CD
8.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，且AB=CD．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、
DC的延长线交于点P，连接OP．下列结论正确的个数是（ D ）
① ⏜ ⏜ ；② ；③ ；④
AB=CD
OM=ON PA=PC ∠BPO=∠DPO
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若 ⏜ 的度数为35°，则 ⏜ 的
AD BE
度数是105°．
10．如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为 ⏜ 的中点，P是直径MN上一动点，
AN
则PA+PB的最小值为（ B ）
A．2❑√2 B．❑√2 C．1 D．2直击中考
1．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知
， ，则 ⏜ 的度数是（ C ）
∠P=30° ∠AOC=80°
BD
A．30° B．25° C．20° D．10°
