文档内容
24.1.3 弧、弦、圆心角 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十四章
“圆”24.1.3 弧、弦、圆心角，内容包括：理解圆心角的概念和探索弧、弦、圆心角之间的关系．
2.内容解析
本节课我们首先探索圆的旋转不变性，在学生掌握此性质的基础，我们继续探索弧、弦、圆心角之间
的关系.它是继垂径定理后圆的又一个重要性质，也是圆中论证同圆或等圆中，弧相等、圆心角相等、弦
相等的主要依据，还是研究圆周角以及圆的其他知识的重要基础，是转化思想的具体体现．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：探索弧、弦、圆心角之间的关系．
二、目标和目标解析
1.目标
1）理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角.
2）掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和
计算.
3）在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中，学会运用转化的数学思想解决问题.
2.目标解析
达成目标1）的标志是：利用圆心角的判别方法辨析圆心角.
达成目标2）的标志是：理解同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所
对应的其余各组量也相等， 并能运用此关系进行相关的证明和计算.
达成目标3）的标志是：理解圆的旋转不变性，并能从旋转的角度对结论进行论证；学生能将弦相等、
弧相等、圆心角相等的问题进行转化．
三、教学问题诊断分析
学生在刚开始探索弧、弦、圆心角之间的关系时可能感到困难，在证明角相等，线段相等有关问题时
受思维定式的影响，学生往往会利用三角形全等进行证明．以及在归纳总结弧、弦、圆心角之间的关系时，
遗漏“同圆或等圆”这个条件.
基于以上分析，本课的教学难点是：探索及归纳弧、弦、圆心角之间的关系．
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
【提问】简述中心对称图形的概念？说出常见的中心对称图形？师生活动：教师提出问题，学生回答．
【设计意图】先回顾中心对称图形的相关知识，为本节课学习圆的旋转不变性做好铺垫。
（二）探究新知
【问题一】圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
【问题二】你发现了什么？
师生活动：教师提出问题，学生通过观察课件中圆的动画过程解决第一个问题.针对第二个问题，允
许课堂出现不同的观点，激发学生学习兴趣，最后由教师引导学生归纳得出圆性质：圆是中心对称图形，
圆心就是它的对称中心.
【问题三】把圆绕着圆心旋转60°，90°，120°，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？
【问题四】你发现了什么？
师生活动：教师提出问题，学生通过观察课件中圆的动画过程解决第一个问题.针对第二个问题，允
许课堂出现不同的观点，激发学生学习兴趣，最后由教师引导学生归纳得出圆性质：一个圆绕圆心旋转任
意角度，所得图形和原图形重合（圆的旋转不变性）.
【设计意图】理解与掌握圆的旋转不变性，为接下来探索弧、弦、圆心角之间的关系打好基础.
【提问】观察下图，它们有什么共同点？
师生活动：教师提出问题，学生通过观察，发现∠1，∠2的共同特征：顶点是圆心．教师给出圆心角
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．
师：你知道如何判断圆心角吗？
师生活动：观察顶点是否在圆心.
【设计意图】理解圆心角的概念，掌握辨析圆心角的方法.
（三）典例分析与针对训练
例1 回答下面问题：
1.找出⊙Ｏ中的圆心角？
2.∠ABC是不是圆心角？并说明原因？
【针对训练】
1. 判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.师生活动：学生积极回答问题.
【设计意图】考查学生对圆心角概念和辨析方法的掌握情况.
（四）探究新知
【问题】任意圆心角，对应会出现哪几个量？
师生活动：教师提出问题，学生尝试回答.
【猜想】你觉得这几个量会有什么关系呢？
师生活动：教师提出问题，学生尝试回答.
【探究一】如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠AOB 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
1 1
师生活动：教师提出问题，学生通过观察与思考容易得出：∠AOB＝∠AOB AB=A B ，容易忽略 ⏜ =
1 1 1 1
AB
⏜ 教师给出 ⏜ = ⏜ 的原因.
A1B1 AB A1B1
【探究二】如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A'O'B'，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
师生活动：教师提出问题，学生通过观察与思考容易得出：由∠AOB＝∠A'O'B'得到AB=A'B' ⏜ =
,
AB
⏜ 教师给出结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
A'B'【提问】定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件
“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
师生活动：教师提出问题，先由学生根据现有知识尝试回答，再由教师给出答案：
不能少，理由：如图，已知∠COD= ∠AOB，但是线段CD不等于线段AB ， ⏜ 也不等于 ⏜ .
CD AB
【探究三】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角有何关系？所对的弦呢？你发
现了什么？
师生活动：教师提出问题，先由学生回答，再由教师给出结论：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆
心角相等，所对的弦相等.
【探究四】在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角有何关系？所对的弧呢？你发
现了什么？
师生活动：教师提出问题，先由学生回答，再由教师给出结论：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆
心角相等，所对优弧和劣弧分别相等.
【提问】简述同圆和等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系吗？
师生活动：教师提出问题，先由学生回答，再由教师给出结论：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、
两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
【设计意图】感受类比思想，类比中全面地理解圆心角、弧、弦之间的关系，并进一步体会从旋转角
度进行论证的方法．
（五）典例分析与针对训练
例2 AB、CD是⊙O的两条弦．
1）如果AB=CD，那么 ___________，_________________．
2）如果 ⏜ ⏜ ，那么 ____________，_____________．
AB=CD3）如果∠AOB=∠COD，那么 _____________， _____________ ．
4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
【针对训练】
1.如图1，AB是⊙O的直径， ⏜ = ⏜ = ⏜ ，∠AOE=66°，则∠COD的度数是( )
BC CD DE
A．108° B．72° C．48° D．38°
2.如图2，已知AB是⊙O的直径，点C和点D是半圆上两个三等分点，则∠COD= .
3.如图3，在⊙O中，点C是 ⏜ 的中点，∠A=70°，则∠BOC=_____.
AB
4.如图，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半径， ⏜ ⏜ ，∠BAO=37°，则∠AOC的度数是（ ）
AC=BC
度.
A．74 B．106 C．117 D．127
5．如图，圆心角∠AOB＝20°，将 ⏜ 旋转n°得到 ⏜ ，则 ⏜ 的度数是______度．
AB CD CD
6. 如图，已知∠AOB=∠COD，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． ⏜ ⏜
AB=CD
AB=CD
C．△AOB≌△COD D．△AOB,△COD都是等边三角形7.如图，在⊙O中，AC＝BD．求证：AB＝CD
8.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，且AB=CD．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，
BA、DC的延长线交于点P，连接OP．下列结论正确的个数是（ ）
① ⏜ ⏜ ；② ；③ ；④
AB=CD
OM=ON PA=PC ∠BPO=∠DPO
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若 ⏜ 的度数为35°，则
AD
⏜ 的度数是_____．
BE
10．如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为 ⏜ 的中点，P是直径MN上一动
AN
点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．2❑√2 B．❑√2 C．1 D．2师生活动：教师提出问题，学生尝试回答问题.
【设计意图】通过上述练习，使学生掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并
能运用此关系进行相关的证明和计算.
（六）直击中考
1．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知
， ，则 ⏜ 的度数是（ ）
∠P=30° ∠AOC=80°
BD
A．30° B．25° C．20° D．10°
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点.
（七）归纳小结
1.圆具有怎样的对称性？
2.圆心角的概念？
3.在同圆与等圆中，圆心角、弧、弦之间有何关系？
（八）布置作业
P89：习题24.1 第3题、第12题.
