文档内容
24.2.2 直线与圆的位置关系
【考点1 直线与圆的位置关系的判定】
【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】
【考点3 切线的判定】
【考点4切线的性质与判定的综合运用】
【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】
【考点6 三角形的内切圆与内心】
知识点1 直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
r d d=r r d
【考点1 直线与圆的位置关系的判定】
【典例1】 中， ， ，以点 为圆心， 为半径画圆，那么该圆与
的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【变式1-1】已知 中， ， ，以点 为圆心，以 长为半
径作圆，则 与 的位置关系是（ ）A．相离 B．相切 C．相交 D．外离
【变式1-2】已知平面内有 和点A，B，若 的半径为 ，线段 ，
，则直线 与 的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【变式1-3】已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为6 ，则⊙O的半径可能为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
知识点2 切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵ 且 过半径 外端
O
∴ 是⊙ 的切线
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 M A N
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一
个。
【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】
【典例2】如图，AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MA＝AO，MD与⊙O相切于
点D，BC⊥AB交MD的延长线于点C，若⊙O的半径为2，则BC的长是（ ）A．4 B． C． D．3
【变式2-1】如图，AB是 的直径，PA与 相切于点A， 交 于点C．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】如图， 是 的切线，点 是 上的一点，连接 ， ， 交
于点 ，若 ，则 的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【变式2-3】如图， 是 的弦， 是 的切线．若 ，则
．【考点3 切线的判定】
【典例3】如图，在 中， ，以 为直径作半圆，交 于点D，连接 ，
过D作 ，垂足为E．
(1)求证： ；
(2)求证： 为 的切线．
【变式3-1】如图，在 中， ，O为 上一点．以O为圆心， 长为半径
的 过点C，交 于另一点D，若D是 的中点，求证： 是⊙O的切线．
【变式3-2】如图， 内接于 ， 是 的直径， ．点E在 延长线上，
．过点E作 ，交 的延长线于点D．求证： 是 的切线．【变式3-3】如图， 是 的直径，D为 上的一点， 平分 交 于点T，
过点T作 的垂线交 的延长线于点C，求证： 为 的切线．
【考点4切线的性质与判定的综合运用】
【典例4】如图，在 中， ， 是 的角平分线，点 在 上，以
点 为圆心， 长为半径的圆经过点 ，交 于点 ，交 于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求半径的长．
【变式4-1】如图，已知 是 的直径，点C在 上， 于点D， 平分
，E是 延长线上一点， 交 于点F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， 的半径为 ，求线段 的长．【变式4-2】如图，在 中， ， 平分 ，交 于点 是斜边
上一点，以点 为圆心， 的长为半径的 恰好经过点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的半径．
【变式4-3】如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D，E是
的中点，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： 是 切线；(3)连接 交 于点F，若 ， ，求 的长．
知识点3 切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两
条切线的夹角。
即：∵ 、 是的两条切线
B
∴ ； 平分
O
P
A
【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】
【典例5】【课本再现】：如图①，P是 外一个点， 是 的两条切线，切点
分别是A，B，我们将线段 的长称为点到 的切线长，
（1）求证： ；
定理描述：上面命题我们称为“切线长定理”．请用一句话描述定理的内容：
________________ ；
【知识运用】
（2）如图②，已知 ，直线 是 的切线，切点是E，且分别交 于
点 C，D，求 的周长；
【拓展运用】（3）如图③，半径为3的 分别与 的边 相切于点D，E．已知
，求证： 是 的切线．
【变式5-1】如图所示， 的内切圆 分别与 ， ， 相切于点D，E，F，且
， ， ，则 的周长为（ ）
A．36 B．38 C．40 D．42
【变式5-2】如图， 为 的直径， ， 分别与 相切于点 ， ， 经过
上一点 ， ，若 ， ，则 的长为 ．
【变式5-3】如图， 是 外的一点， 、 分别与 相切于点 、 ， 是 上
的任意一点，过点 的切线分别交 、 于点 、 ．
(1)若 ，求 的周长；
(2)若 ，求 的度数．
知识点4 三角形的内切圆和内心
1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
注意：内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
a+b−c
2
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。
1
r(a+b+c)
2
（3）S = ，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
△ABC
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。
A D
O
B
【考点6 三角形的内切圆与内心】
【典例6】如图， 中， ，点O是内心，若 ， 的周长为
16，则 的面积为（ ）
A． B． C．16 D．32
【变式6-1】如图，在 中， ， 的内切圆 与 分别
相切于点D、E、F，若 的半径为2， ，则 的长（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8【变式6-2】如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，且
， ， ，则阴影部分（即四边形 ）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，若
的半径为 ， ，则 的值和 的大小分别为（ ）
A．0， B． ，
C． ， D． ，
一、单选题
1．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，D为优弧BC上任意一点，
若∠A=28°，则∠D=（ ）
A．62° B．59° C．56° D．45°2．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交
⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
3．如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若
∠BAE+∠BCD=236°，则∠E=（ ）
A．56° B．60° C．68° D．70°
4．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，
AE交OC的延长线于点E．若∠AOC=45°，BC=2，则线段AE的长为（ ）
A．❑√2 B．1.5 C．1 D．❑√3
5．如图，A、B是⊙O上的两点，连接AB并延长到C，CD与⊙O相切于点D，且
CD⊥AC，若AB=BC=4，则CD=（ ）
A．4❑√2 B．2❑√10 C．2❑√5 D．46．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于点C，AC平分∠EAB，
AD与BC的延长线交于点E，AE=5，BE=6，则CD的长为（ ）
A．2.5 B．2.4 C．3 D．1.5
7．我们古代数学家擅长通过计算来研究图形的性质．例如《测圆海镜》卷中记载：“假令
有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而立，甲北行九十
步，望乙与城参相直，问径几何？”意思是：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
已知AC=48步，BC=90步，AB与⊙O相切于点D,CE,CF分别与⊙O相切于为点E,F，
求⊙O的半径．根据题意，⊙O的半径是（ ）
A．100步 B．120步 C．140步 D．160步
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的角平分线，点O在AB上，以点O
为圆心，OB为半径的圆恰好与AC相切于一点D，交BC于点E．若∠A=35°，则
∠BDC的度数为（ ）
A．35° B．55° C．62.5° D．70°
9．如图，若⊙O是△ABC的内切圆，且∠A=50°，则∠BOC的度数为（A．100° B．105° C．115° D．130°
10．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB,BC,AC相切于点D,E,F，且
AD=3,BE=2,CF=4，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
二、填空题
11．如图，AC为⊙O切线，C为切点，OA与⊙O交于点B，若AC=3，AO=4，则
OB= ．
12．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，点C为优弧
AB上一点，若∠ACB=50°，则∠P= °．
13．如图，菱形ABCD的顶点B,C,D在⊙O上，且AB与⊙O相切，若⊙O的半径为1，则菱形ABCD的周长为 ．
14．如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为A(1,1)，B(2,4)，C(3,1)．则△ABC的内切
圆半径长为 ．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，PA，PC与⊙O分别相切于A，C，若∠D=70°，
则∠P+∠B= °．
三、解答题
16．如图，等腰直角△ABC与⊙O交于点B，C，∠ACB=90°，延长AB，AC与⊙O分
别交于点D，E，连接CD，ED，并延长ED至点F，使得∠FBD=∠BCD．
(1)求∠CED的度数；
(2)求证：BF与⊙O相切；
(3)若⊙O的半径为2，求CD的长．17．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作
圆与AB相切于点D，连接CD．
(1)求证：∠ABC=2∠ACD；
(2)若AC=8，BC=6，求⊙O的半径．
18．如图，在△ABC中，以边AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，与AB相切于点
A．作CD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠CBD=∠DCO．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若AB=5，BC=13，求⊙O的半径．
