文档内容
24.2.1 确定圆的条件
【考点1 判断确定圆的条件】
【考点2 求能确定的圆的个数】
【考点3 确定圆心(尺规作图)】
【考点4 求三角形外心坐标】
【考点5 求特殊三角形外接圆的半径】
知识点1 ：确定圆的条件
1.过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
【考点1 判断确定圆的条件】
【典例1】已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点
坐标不满足要求的是（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2）
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出直线 的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在
同一直线上的三点能确定一个圆即可得出答案．
【详解】解：设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
A、当 时， ，则此时点 不在同一直线上，可以确定一个
圆，此项不符题意；
B、当 时， ，则此时点 不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
C、当 时， ，则此时点 在同一直线上，不可以确定一个圆，
此项符合题意；
D、当 时， ，则此时点 不在同一直线上，可以确定一个
圆，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了确定一个圆、求一次函数的解析式，熟练掌握确定一个圆的条件是解
题关键．
【变式1-1】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配
到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】
本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即
为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直
平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【变式1-2】平面直角坐标系内的三个点 ， ， ， 确定一个
圆，（填“能”或“不能”）．
【答案】不能
【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个
圆．判断三个点在不在一条直线上即可．
【详解】解：∵ ， ， ，在 这条直线上，，
∴三个点 ， ， 不能确定一个圆．
故答案为：不能．
【变式1-3】正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆．
【答案】5
【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出．
【详解】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以
确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的
圆上，因而能确定5个不同的圆．
故答案为5．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟记不在同一条直线上的三点可以确定
一个圆．
【考点2 求能确定的圆的个数】
【典例2】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最
多可画出圆的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可．
【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆，
∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆，
∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点），
故选B．
【变式2-1】在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，以点 为圆心，1为半径作圆，
这样的圆可以作（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】A
【分析】本题考查圆的确定，牢记平面内已知圆心与半径可以唯一确定圆是解决问题的关
键．
【详解】解：∵点 为圆心，1为半径作圆，
∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个，
故选：A．
【变式2-2】如图，点A，B，C，D均在直线 上，点P在直线 外，则经过其中任意三个
点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
【详解】解：依题意A，B；A， ；A，D；B，C；B，D；C，D加上点P可以画出一个
圆，
∴共有6个，
故选：C．
【变式2-3】若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，
最多可以作 个．
【答案】6
【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解
题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，
与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可．
【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆，
∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆，
选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个．
故答案为：6．
【考点3 确定圆心(尺规作图)】【典例3】如图，已知线段 是 的一条弦．
(1)实践与操作：用尺规作图法作出圆心O；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：若弦 ，圆心O到 的距离为4，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了尺规作图—确定圆心，垂径定理，勾股定理：
（1）如图所示，在圆上取一点C，连接 ，分别作 的垂直平分线，二者交于点
O，点O即为所求；
（2）连接 ，由垂径定理得到 ，再由 ，即可利用勾股定理得到
．
【详解】（1）解：如图所示，在圆上取一点C，连接 ，分别作 的垂直平分线，
二者交于点O，点O即为所求；
（2）解：如图所示，连接 ，
∵ ， ，圆心O到 的距离为4，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ．【变式3-1】如图，已知点A、 、 不在同一条直线上，请用尺规作图法作经过A、 、
三点的 ．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图—三角形的外接圆，连接 得到 ，分别作线段
、 的垂直平分线交于点O，然后以O点为圆心， 为半径作圆即可．
【详解】解：如图所示， 即为所求．
【变式3-2】如图，是一个圆拱形模型．(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若弦 的长为 ，圆拱形的最大高度为 ，则圆拱形所在圆的半径为_____ ．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查确定圆心的画法、线段垂直平分线的画法及其性质、勾股定理，正确确
定圆心位置是解答的关键．
（1）作线段 的垂直平分线交圆拱形于点C，连接 ，作 的垂直平分线，两条垂
直平分线的交点O即为所求作；
（2）连接 ，设圆的半径为 ，根据题意和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，点O即为所求作：
（2）解：连接 ，设圆的半径为 ，
由题意， ， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
则 ，解得 ，
即圆拱形所在圆的半径为 ，
故答案为：5．知识点2 ：三角形的外接圆与外心
1.三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
2.三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
【考点4 求三角形外心坐标】
【典例4】如图，点 、 、 都是格点， 外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，作线段 的垂直平分线交于点 ，点
即为 的外接圆的圆心．
【详解】解：如图，作线段 的垂直平分线交于点 ，点 即为 的外接圆的圆
心，由图可知，点 的坐标是： ，
故选：B．
【变式4-1】如图，直角坐标系中 ， ， ，经过 ， ， 三点的圆，圆
心为 ，若线段 ，则点 与 的位置关系为（ ）
A．点 在 上 B．点 在 外 C．点 在 内 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，确
定圆心的位置是解题的关键．连接 ，作 和 的垂直平分线，交点为 ，则圆心
的坐标为 ，然后求出 的半径，比较即可解答．
【详解】解：如图：
连接 ，作 和 的垂直平分线，交点为 ，
圆心 的坐标为 ，
，
，
线段 ，半径 ，
点 在 内，
故选：C．
【变式4-2】如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ，则 外接
圆的圆心 .
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，作 和 的垂直平分线，它们的交点
为 的外接圆的圆心，然后根据坐标系直接写出 的外接圆的圆心坐标．
【详解】解：如图所示：点P即为 外接圆的圆心；
所以点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别是点 点
、点 ，则 的外心的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，根据网格作 ， 的垂
直平分线，两条线交于点 ，可得点 是 的外心．解决本题的关键是掌握外心
定义．
【详解】解：如图，根据网格作 ， 的垂直平分线，两条线交于点 ，
点 是 的外心，
的外心的坐标为 ，
故答案为： ．
【考点5 求特殊三角形外接圆的半径】
【典例5】如图，在 中， ．
(1)尺规作图：作 的外接圆（保留作图痕迹）；
(2)求（1）中所作外接圆的半径 ．
【答案】(1)作图见解析(2)
【分析】（1）根据题意， 是等腰三角形，作出边 的中垂线，交点即为
的外接圆圆心 ，连接圆心与 的一个顶点 ，以这个线段长为半径作圆即可
得到答案；
（2）如图所示，由垂径定理可知 于 ，且 ，再由勾股定理求出线段长
即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：如图所示：
于 ，且 ， ，
，
在 中， ，则 ，在 中， ，则 ，
设 ，则 ，即 ，解得 ，
（1）中所作外接圆的半径 ．
【点睛】本题考查尺规作图及圆中求线段长，涉及中垂线尺规作图、圆的确定、垂径定理
与勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键．
【变式5-1】如图，在 中， ．
(1)求作： 的外接圆 （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作图，三角形外接圆的定义，勾股定理，掌握直角三角形外接线
圆心为斜边中点时解题的关键．
（1）作出 的垂直平分线，交 于点O，以点O为圆心， 为半径画圆， 即为所
求；
（2）先根据勾股定理求出 ，进而得出 ，最后根
据圆的面积公式，即可解答．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；（2）解：∵ ， ， ，
∴根据勾股定理可得 ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
【变式5-2】已知 ， ， 是 的三边长，且 ．
(1)求 ， ， 的值；
(2)求 外接圆的半径．
【答案】(1) ， ， ；
(2) 外接圆的半径是 ．
【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，进而根据非负数之和为0，即可求解；
（2）先证明 是直角三角形，再根据直角三角形外接圆的圆心即为斜边中点的特点即
可求解．
【详解】（1）解：∵
∴
即
∴ ， ， ；
（2）解：∵ ， ， ；
∴
∴ 是直角三角形，且 为斜边，
如图所示，取 斜边 上的中点， ，则 即为 外接圆的半径∴
【点睛】本题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，直角三角形的外接圆，熟练掌
握以上知识是解题的关键．
【变式5-3】已知：在 中， ， ．
(1)找到 的外心，画出 的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过
程）
(2)若 的外接圆的圆心O到BC边的距离为8， ，请求出 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
（1）分别作线段 和线段 的中垂线，中垂线的交点即为 的外心O，以O为圆
心， 为半径画出 的外接圆即可；
（2）如图，连接 ，利用垂径定理求出半径，即可求出 的面积．
【详解】（1）解：如图 即为所求．
①分别以点 ，点 为圆心，大于 的长为半径，画弧，作出线段 的中垂线；
②同理作出线段 的中垂线；
③两条中垂线的交点O为圆心， 为半径画圆，即为所求．（2）解：如图，连接 ，由题意得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴圆 的面积为： ．
【点睛】本题考查画三角形的外接圆，以及垂径定理求半径．熟练掌握外心的定义和等腰
三角形的判定与性质，以及垂径定理是解题的关键．
一、单选题
1．已知⊙O的直径是10，OP=8，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．根据题意得⊙O的半径为5，则点P到圆心O的
距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点P在⊙O外．
1
【详解】解：∵OP=8、r= ×10=5，
2
∴OP>r，
则点P在⊙O外，故选：C．
2．有下列四个命题：①平分弦的直径垂直于弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的
外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，确定圆的条件，三角形的外心的性质；根据圆中的有关概
念、定理进行分析判断．
【详解】解：①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故错误；
②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的
距离都相等，故正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．
故选：C．
3．如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，
能画圆的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】试题分析：根据题意得出：点D、A、B；点D、A、C；点D、B、C可以确定一个
圆．故过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是3个．故选C．
考点：确定圆的条件．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．弦的垂直平分线必经过圆心
【答案】D
【分析】本题考查了等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理等知识；熟练掌握等弧的定义、
确定圆的条件、垂径定理、三角形的内心性质是解题的关键．由等弧的定义、确定圆的条
件、垂径定理分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：∵在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，
∴选项A不正确；
∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆，
∴选项B不正确；
∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
∴选项C不正确；
∵弦的垂直平分线必经过圆心，
∴选项D正确；
故选：D．
5．如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握外心的形成和性质是本题突破的关键，
根据外心的形成和性质直接判断即可．
【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，外心的性质是到三角形三个顶
点的距离相等，如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于90°，那
么这个三角形一定是钝角三角形，
故选：C．
6．已知△ABC和△ABD有相同的外心，∠D=70°，则∠C的度数是（ ）
A．70° B．110° C．70°或110° D．不能确定
【答案】C
【分析】分两种情况讨论：若C、D在AB的同侧，根据圆周角定理求解；若C、D在AB
的异侧，根据圆内接四边形的性质求解．
【详解】解：若C、D在AB的同侧，如图1，则∠D=∠C=70°，若C、D在AB的异侧，如图2，则∠D+∠C=180°，
∵∠C=70°，
∴∠D=110°；
综上，∠D=70°或110°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的外心和圆内接四边形的性质，解题的关键是进
行正确分类、熟练掌握有关基本知识．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－
1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）
【答案】B
【分析】根据三角形的外心的概念作出外心，根据坐标与图形性质解答即可．
【详解】解：连接AB、AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P，则点P为△ABC外接圆的圆心，
由题意得：点P的坐标为（3，1），即△ABC外接圆的圆心坐标是（3，1），
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质，掌握三角形的外心是三
角形三边垂直平分线的交点是解题的关键．
8．在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，则它的外接圆的半径为（ ）
A．1.△5cm B．2cm C．2.5cm D．3cm
【答案】C
【分析】先求出直角三角形斜边的长，根据直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，半
径为斜边长的一半进行解答．
【详解】∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，
∴AB＝❑√AC2+BC2＝5cm，
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的斜边为它的外接圆的直径，
∴它的外接圆的半径为2.5cm，
故选：C．
【点睛】本题考查直角三角形的外接圆，理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，
斜边长的一半为半径的圆是解决本题的关键
二、填空题
9．边长为3cm、4cm、5cm的三角形的外接圆半径等于 cm．5
【答案】
2
【分析】本题考查了三角形的外接圆，勾股定理的逆定理，由勾股定理的逆定理可得三角
形为直角三角形，即可得外接圆的圆心为斜边的中点，半径为斜边的一半，进而求解，掌
握直角三角形的斜边是其外接圆的直径是解题的关键．
【详解】解：∵32+42=52，
∴三角形为直角三角形，
∴外接圆的圆心为斜边的中点，半径为斜边的一半，
5
∴外接圆半径等于 cm，
2
5
故答案为： ．
2
10．已知一个三角形的三条边的长分别为10，8，6，则这个三角形的外接圆半径是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了直角三角形与其外接圆之间的关系， 勾股定理的逆定理，先利用
勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，进而得到该三角形的斜边即为其外接圆的
直径，由此即可得到答案．
【详解】解：∵62+82=36+64=100=102，
∴三边长为6，8，10的三角形是直角三角形，
∴该三角形的斜边即为其外接圆的直径，
∴这个三角形的外接圆半径是5，
故答案为：5．
11．如图是由3个边长为2的正方形组成的物件，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使
A,B,C三点恰好在金属框上，则该金属框的半径是 ．
【答案】❑√10
【分析】作AB,BC的垂直平分线交于点D，连接BD,CD，连接AC，根据作图可得D是
过A,B,C三点的圆的圆心，网格可得∠BAC=45°则∠BDC=90°，得出△BDC是等腰
直角三角形，进而勾股定理求得BC，即可求解．【详解】解：如图所示，作AB,BC的垂直平分线交于点D，连接BD,CD，连接AC，
根据作图可得D是过A,B,C三点的圆的圆心，
根据网格可得∠BAC=45°，
∴∠BDC=90°，
又∵DB=DC，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵ 小正方形的边长为2，
∴BC=❑√22+42=2❑√5，
❑√2
∴DB= BC=❑√10．
2
故答案为：❑√10．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理，“同弧或等弧所
对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键．
三、解答题
12．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,3)，B(0,1)，C(4,1)．
(1)画出将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的△ADE，则点D的坐标为______；
(2)请在图中作出△ADE的外接圆，并写出圆心M的坐标．
【答案】(1)图见解析，(−4,1)
(2)见解析，(0,−1)【分析】本题考查了旋转作图以及作三角形的外接圆，点的坐标，熟练掌握解根据旋转的
性质作图和三角形外接圆性质是解题的关键．
（1）将AB、AC绕点A顺时针旋转90°得到对应点D、E，顺次连接即可得到△ADE，进
而得到点D的坐标；
（2）作出AD、DE的垂直平分线，其交点即为外接圆的圆心，再以M为圆心，以AM的
长为半径作圆即可．
【详解】（1）解：如图所示，△ADE即为所求，点D的坐标分别为(−4,1)，
（2）解：如图所示，⊙M即为所求，M的坐标为(0,−1)．
13．作图题
如图，在△ABC中，已知AB=AC．
(1)尺规作图：画△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写画法）
(2)连接OB，OC；若∠A=45°，BC=3❑√2，求OB的长．
【答案】(1)见解析(2)OB=3
【分析】本题主要考查了画三角形外接圆，圆周角定理，勾股定理：
（1）先画出该三角形两条垂直平分线，相交于点O，以OA为半径画圆即可；
（2）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得出∠BOC=90°，再根据勾股定理求解
即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵∠A=45°，
∴∠BOC=2∠A=90°，
∵BC=3❑√2，OB2+OC2=BC2，即2OB2=18，
解得：OB=3或OB=−3（负值舍去）．
14．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB=90°
(1)求证：AB=BC；(2)如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO=3，AE=4，求线段
AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)4❑√2
【分析】（1）连接BO并延长BO交AC于T，由AO=BO得到∠OAB=∠OBA，由已知
∠BAC+∠OAB=90°得到∠BAC+∠OBA=90°，则∠BTA=90°，根据垂径定理即可
得到结论；
（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．在Rt△FCA中，求出CF，AF即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接BO并延长BO交AC于T．
∵AO=BO，
∴∠OAB=∠OBA，
又∵∠BAC+∠OAB=90°，
∴∠BAC+∠OBA=90°，
∴∠BTA=90°，
∴BT垂直平分AC，
∴AB=BC；
（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．∵CD⊥AB交于D，，
∴∠CDA=90°，
∴∠OAB+∠AED=90°，
∵∠BAC+∠OAB=90°，
∴∠AED=∠BAC=∠FEC，
∵AF为⊙O的直径，
∴∠ACF=90°，
∵∠FCE+∠ACD=90°，∠BAC+∠ACD=90°，
∴∠FCE=∠BAC，
∴∠FEC=∠FCE，
∴FE=FC，
∵AO=3，AE=4，
∴OE=1，FE=FC=OF−OE=AO−OE=2，
在Rt△FCA中
∴ AC=❑√AF2−CF2=❑√62−22=4❑√2
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、圆心角，弧，弦之间的关系、垂径定理、勾股
定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常
考题型．
15．【探索发现】有张形状为直角三角形的纸片，小俊同学想用些大小不同的圆形纸片去
覆盖这张三角形纸片，经过多次操作发现，如图1，以斜边AB为直径作圆，刚好是可以把
Rt△ABC覆盖的面积最小的圆，称之为最小覆盖圆．
【理解应用】我们也可以用一些大小不同的圆覆盖锐角三角形和钝角三角形，请你通过操
作探究解决下列问题：如图2．在△ABC中， A=105° ，试用直尺和圆规作出这个三角
形的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕迹）．
【拓展提升】如图3，在△ABC中，∠A=80°，∠B=40° ，AB=2❑√3，请求出△ABC
的最小覆盖圆的半径．【答案】【理解应用】见解析；【拓展提升】2
【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，作三角形的外接圆，垂径定理，圆周角定理
的应用，熟练的作三角形的外接圆是解本题的关键．
理解应用：利用尺规作AB，BC的垂直平分线，得到交点O，即为圆心，从而可得答案；
拓展提升：连接OA、OB，过O作OH⊥AB，求解∠C=60°，可得
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∠AOB=2∠C=120°，证明AH=BH= AB=❑√3,∠AOH= ∠AOB=60°，再利用
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勾股定理可得答案．
【详解】理解应用：
解：由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心在每条
边的垂直平分线上，又因三角形的三条垂直平分线必交于一点，故只需作两条边的垂直平
分线，其交点即为圆心O，连接OC，则OC为半径，画图如下：
拓展提升：
如图，△ABC的最小覆盖圆为△ABC的外接圆连接OA、OB，过O作OH⊥AB
∵∠BAC=80°,∠ABC=40°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=60°
∴∠AOB=2∠C=120°（圆周角定理）
∵OA=OB，则△OAB是等腰三角形
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∴AH=BH= AB=❑√3,∠AOH= ∠AOB=60°
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在Rt△AOH中，OA=2OH
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由勾股定理得：OA2=OH2+AH2= OA2+3
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解得：OA=2
故△ABC的最小覆盖圆的半径为2；
