文档内容
24.2.2 直线和圆的位置关系（第二课时）导学案
学习目标
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
重点难点突破
★知识点1： 切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
★知识点2： 切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径．
核心知识
一、切线的判定定理：经过半径的________并且___________于这条_________的直线是圆的切线.
二、切线的性质定理：圆的切线___________于过_________的_________．
思维导图
引入新课【提问一】判定直线和圆的位置关系的方法有几种？
【提问二】直线和圆有哪些位置关系？如何判断直线与圆相切？
新知探究
【问题一】已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
【问题二】填空
(1)直线l与⊙O有______个交点
(2)圆心O到直线l的距离d与r的关系是______
(3)直线l和⊙O半径r的位置关系是______
(4)由此你发现了什么？
【提问】要使直线l是⊙O的切线需要满足哪些条件？
【提问】判断一条直线是一个圆的切线有几种方法？
典例分析
例1 判断下列各直线是不是圆的切线？若不是，请说明原因？【针对训练】
1. 判断下列命题是否正确
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ）
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）
⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ）
⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）
2. 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D。
求证：AC是⊙O的切线。
证明： 过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD,OA.
∵AB与⊙O相切于点D,
∴ _______________.
又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴______________________（ ）
∴__________（ ）
即 OE 是⊙O 的半径，∴AC 经过⊙O 的半径 OE 的外端 E，
OE⊥AC,
∴AC是⊙O的切线( )．
3. 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．
求证：直线AB是⊙O的切线．
O
A C B
4.已知：OA=OB=5，AB=8，⊙O的直径为6．
求证：直线AB是⊙O的切线．O
A B
5. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．
若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．
6.1）如图 1，AB 为直径，要使 EF 为☉O 的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：①
_________ ；② _____________ .
2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.
[提问] 在运用切线的判定定理时，应如何添加辅助线？
新知探究
【问题一】如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？【问题二】你发现了什么？
典例分析
例2 如图， ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2，则⊙O的半径多少？
【针对训练】
1.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
2. 如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线与过点B的⊙O的切线交于点C，如果∠ABO＝20°，则∠C的度数
是（ ）
A．70° B．50° C．45° D．20°
3．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°4．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则
∠OCB=__________．
[提问] 在运用切线的性质定理时，应如何添加辅助线？
感受中考
1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，AC是⊙O的直径，CD为弦，过点A的切线与CD延长线相交
于点B，若AB=AC，则下列说法错误的是（ ）
1
A．AD⊥BC B．∠CAB=90° C．DB=AB D．AD= BC
2
2．（2023·北京·统考中考真题）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是
⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC=45°，BC=2，则线段AE的长为 ．
3．（2021·湖南郴州·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是⏜ 的中点， 交 的延长线于点 ．
DE//BC AC E
BC
（1）求证：直线DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的直径是10，∠A=45°，求CE的长．
4．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的
延长线与点C，过点O作OE//AD交CD于点E，连接BE．
(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
(2)若CA=2，CD=4，求DE的长．
归纳小结
1.切线的判定方法有几种？分别是什么？
2.切线的判定定理与性质定理是什么？它们有怎样的联系？
3.简述在应用切线的判定定理和性质定理时，常见辅助线的添加方法？【参考答案】
新知探究
【问题一】已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
【问题二】填空
(1)直线l与⊙O有1个交点
(2)圆心O到直线l的距离d与r的关系是d=r
(3)直线l和⊙O半径r的位置关系是垂直
(4)由此你发现了什么？
1）直线l经过半径OA的外端点A.
2) 直线l垂直于半径OA.
则直线l与⊙O相切.
【提问】要使直线l是⊙O的切线需要满足哪些条件？
①经过半径的外端；②垂直于这条半径．
【提问】判断一条直线是一个圆的切线有几种方法？
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
典例分析
例1 判断下列各直线是不是圆的切线？若不是，请说明原因？
(1)不是，因为没有垂直.
(2)(3）不是，因为没有经过半径的外端点A.
【针对训练】
1. 判断下列命题是否正确
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （ × ）
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ × ）
⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ √ ）⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ √ ）
2. 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D。
求证：AC是⊙O的切线。
证明： 过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD,OA.
∵AB与⊙O相切于点D,
∴ OD⊥AB .
又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线（ 三线合一 ）
∴OE=OD（角平分线性质 ）
即 OE 是⊙O 的半径，∴AC 经过⊙O 的半径 OE 的外端 E，
OE⊥AC,
∴AC是⊙O的切线( 切线的判定定理 )．
3. 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．
求证：直线AB是⊙O的切线．
证明：连接OC,
∵OA=OB，CA＝CB,
O
∴OC⊥AB.
∵直线AB经过⊙O上的点C,
A C B
∴OC是半径
∴直线AB是⊙O的切线.
4.已知：OA=OB=5，AB=8，⊙O的直径为6．
求证：直线AB是⊙O的切线．
证明：过点O作OC⊥AB于C,
∵OA=OB=5，AB=8, ∴AC=BC=4.
在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：OC=3
∵⊙O的直径为6 ∴OC是⊙O的半径
∴直线AB是⊙O的切线.5. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．
若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．
证明：连接AC，
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．
∴∠COB＝2∠ACO．
又∵∠COB＝2∠PCB，∴∠ACO＝∠PCB．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．
∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．
6.1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：①BA⊥EF
②∠CAE=∠B.
2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.
证明：连接AO并延长交☉O于D，连接CD,
则AD为☉O的直径.
∴ ∠D+∠DAC=90 °,
∵ ∠D与∠B都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠D= ∠B,
又∵ ∠CAE= ∠B, ∴ ∠D= ∠CAE,
∴ ∠DAC+ ∠EAC=90°,
∴EF是☉O的切线.
[提问] 在运用切线的判定定理时，应如何添加辅助线？
当证明某直线是圆的切线时，
1）如果已知直线过圆上一点时，则做出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；
2) 如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．
新知探究
【问题一】如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
证明：
(1)假设OA与直线l不垂直；过点O作OP⊥直线l于点P(2)因为点到直线的距离垂线段最短，所以OP˂OA，即圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径，因此l与⊙O
相交，这与已知条件“直线l是⊙O的切线”相矛盾；
(3)所以假设不成立，OA⊥直线l．
【问题二】你发现了什么？
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
典例分析
例2 如图， ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2，则⊙O的半径多少？
解：连接OB，则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r，则OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r.
在Rt△OBP中，由勾股定理得
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2
.
解得 r=3，
即⊙O的半径为3.
【针对训练】
1.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B=35°，则∠AOB的度数为（ B ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
2. 如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线与过点B的⊙O的切线交于点C，如果∠ABO＝20°，则∠C的度数
是（ B ）
A．70° B．50° C．45° D．20°
3．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于( B )
A．55° B．70° C．110° D．125°4．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则
∠OCB=_ 44°．
[提问] 在运用切线的性质定理时，应如何添加辅助线？
当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，
那么半径垂直于切线．
感受中考
1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，AC是⊙O的直径，CD为弦，过点A的切线与CD延长线相交
于点B，若AB=AC，则下列说法错误的是（ C ）
1
A．AD⊥BC B．∠CAB=90° C．DB=AB D．AD= BC
2
2．（2023·北京·统考中考真题）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是
⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC=45°，BC=2，则线段AE的长为 ❑√2 ．
3．（2021·湖南郴州·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是
⏜ 的中点， 交 的延长线于点 ．
DE//BC AC E
BC
（1）求证：直线DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的直径是10，∠A=45°，求CE的长．
【详解】解：（1）连接OD交BC于点F，如图，∵点 是 ⏜ 的中点，∴OD⊥BC，
D
BC
∵DE//BC∴OD⊥DE
∵OD是⊙O的半径∴直线DE与⊙O相切；
（2）∵AC是⊙O的直径，且AB=10,
1
∴∠ABC=90°，OC=OA= AB=5
2
∵OD⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB
∵∠BAC=45° ∴∠DOE=45°
∵∠ODE=90° ∴∠OED=45 ∴DE=OD=OC=5
由勾股定理得，OE=5❑√2
∴CE=OE−OC=5❑√2−5．
4．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的
延长线与点C，过点O作OE//AD交CD于点E，连接BE．
(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
(2)若CA=2，CD=4，求DE的长．
【详解】（1）证明：连接OD．
∵CD为⊙O切线，∴∠ODC=∠ODE=90°
又∵OE∥AD，∴DAO=∠EOB，∠ADO=∠EOD
且∠ADO=∠DAO，∴∠EOD=∠EOB，
{
OD=OB
在△ODE与△OBE中 ∠EOD=∠EOB，∴△ODE≌△OBE，
OE=OE
∴∠OBE=∠ODE=90°
∴直线BE与⊙O相切．
（2）设半径为r；
则： ，得 ；
r2+42=(2+r) 2 r=3
在直角三角形CBE中，BC2+BE2=CE2，
，
(2+3+3) 2+DE2=(4+DE) 2
