文档内容
24.2.2 直线和圆的位置关系（第二课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十四章
“圆”24.2.2 直线和圆的位置关系（第二课时），内容包括：圆的切线的判定定理及性质定理.
2.内容解析
直线和圆相切是直线和圆的位置关系中的一种特殊并且重要的位置关系，圆的切线是研究三角形内切
圆、切线长定理和正多边形与圆的关系的基础．切线的判定定理与性质定理揭示了直线和圆的半径的特殊
位置关系，即过半径外端并与这条半径垂直．两个定理互为逆命题．切线判定定理的探究过程体现了由一
般到特殊的研究方法．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
二、目标和目标解析
1.目标
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
2.目标解析
达成目标1）的标志是：掌握判定直线和圆的位置关系的方法．
达成目标2）的标志是：能够理解切线判定定理中的两个要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于
这条半径；能够理解切线性质定理的两个条件：一是半径；二是过切点．
达成目标3）的标志是：能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题，明确运用定理时常用的添
加辅助线的方法.
三、教学问题诊断分析
本节课学习过程中，学生不容易理解切线的判定定理．教师要结合教科书的问题进行说明：“垂直于
半径”说明圆心到直线的距离d，“经过半径外端”说明距离d等于半径，判定定理是为了便于应用而对
直线和圆相切的定义改写得到的一种形式．对于切线的性质定理学生容易感知，但直接证明比较困难，此
时教师要引导学生运用反证法证明．假设过切点的半径与圆的切线不垂直，推出与已知矛盾，从而证明出
切线的性质定理．另外教师要帮助学生明确两定理的题设和结论，这是正确使用定理的关键．
本节课的教学难点是：理解切线的判定定理的和用反证法证明切线的性质定理.
四、教学过程设计（一）复习巩固
【提问一】判定直线和圆的位置关系的方法有几种？
【提问二】直线和圆有哪些位置关系？如何判断直线与圆相切？
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．
【设计意图】通过回顾直线和圆的位置关系，为本节课探究圆的切线的判定定理及性质定理打好基础.
（二）探究新知
【问题一】已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
【问题二】填空
(1)直线l与⊙O有______个交点
(2)圆心O到直线l的距离d与r的关系是______
(3)直线l和⊙O半径r的位置关系是______
(4)由此你发现了什么？
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答：
(1)直线l与⊙O有1个交点
(2)圆心O到直线l的距离d与r的关系是d=r
(3)直线l和⊙O半径r的位置关系是垂直
(4)发现内容：1）直线l经过半径OA的外端点A. 2) 直线l垂直于半径OA.则直线l与⊙O相切.
从而得到切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【提问】要使直线l是⊙O的切线需要满足哪些条件？
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答：①经过半径的外端；②垂直于这条半径.教师根
据实际情况给出适当提示：“垂直于半径”表示出了圆心到直线的距离d，“经过半径外端”说明距离d
等于半径；这是为了便于应用直线和圆相切的定义而改写后的一种形式．
【设计意图】让学生理解与掌握圆的切线的判定定理.
（三）归纳小结
师：结合上节课所学，判断一条直线是一个圆的切线有几种方法？
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【设计意图】让学生理解与掌握判断一条直线是一个圆的切线的方法.
（四）典例分析
例1 判断下列各直线是不是圆的切线？若不是，请说明原因？【针对训练】
1. 判断下列命题是否正确
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ）
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）
⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ）
⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）
2. 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D。
求证：AC是⊙O的切线。
证明： 过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD,OA.
∵AB与⊙O相切于点D,
∴ _______________.
又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴______________________（ ）
∴__________（ ）
即OE是⊙O的半径，∴AC经过⊙O的半径OE的外端E，
OE⊥AC,
∴AC是⊙O的切线( )．
3. 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．
求证：直线AB是⊙O的切线．
O
A C B
4.已知：OA=OB=5，AB=8，⊙O的直径为6．
求证：直线AB是⊙O的切线．O
A B
5. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．
若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．
6.1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：①
_________ ；② _____________ .
2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．
师：在运用切线的判定定理时，应如何添加辅助线？
师生活动：学生小组讨论并归纳总结：当证明某直线是圆的切线时，
1）如果已知直线过圆上一点时，则做出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；
2)如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．
【设计意图】结合具体问题加深学生对切线判定定理的认识．
（五）探究新知
【问题一】如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？师生活动：学生通过观察，发现半径OA垂直于直线l．师生讨论后发现直接证明垂直并不容易．此时
教师引导学生发现要证明的情况只是垂直这一种，所以可考虑使用反证法：
(1)假设OA与直线l不垂直；过点O作OP⊥直线l于点P
(2)因为点到直线的距离垂线段最短，所以OP˂OA，即圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径，因此l
与⊙O相交，这与已知条件“直线l是⊙O的切线”相矛盾；
(3)所以假设不成立，OA⊥直线l．
【问题二】你发现了什么？
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆
的切线．
【设计意图】利用反证法引导学生得出切线的性质定理，并体会反证法的作用．
（六）典例分析
例2 如图， ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2，则⊙O的半径多少？
【针对训练】
1.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
2. 如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线与过点B的⊙O的切线交于点C，如果∠ABO＝20°，则∠C的度
数是（ ）
A．70° B．50° C．45° D．20°3．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
4．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则
∠OCB=__________．
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．
师：在运用切线的性质定理时，应如何添加辅助线？
师生活动：学生小组讨论并归纳总结：当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助
线常常是连接圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线．
【设计意图】结合具体问题加深学生对切线性质定理的认识．
（七）直击中考
1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，AC是⊙O的直径，CD为弦，过点A的切线与CD延长线
相交于点B，若AB=AC，则下列说法错误的是（ ）
1
A．AD⊥BC B．∠CAB=90° C．DB=AB D．AD= BC
2
2．（2023·北京·统考中考真题）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC=45°，BC=2，则线段AE的长为 ．
3．（2021·湖南郴州·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点
是 ⏜ 的中点， 交 的延长线于点 ．
D DE//BC AC E
BC
（1）求证：直线DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的直径是10，∠A=45°，求CE的长．
4．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交
BA的延长线与点C，过点O作OE//AD交CD于点E，连接BE．
(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
(2)若CA=2，CD=4，求DE的长．
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点.
（八）归纳小结
1.切线的判定方法有几种？分别是什么？
2.切线的判定定理与性质定理是什么？它们有怎样的联系？
3.简述在应用切线的判定定理和性质定理时，常见辅助线的添加方法？
（九）布置作业
P101：习题24.2 第4题，第5题，第12题
