文档内容
27.2.1 相似三角形的判定（第三课时）导学案
学习目标
1.了解“两角分别相等的两个三角形相似”和“如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三
角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.”判定定理的证明过程，能运用这两个
判定定理证明两个三角形相似.
2.通过对相似三角形两个判定定理的学习，会用已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.
重点难点突破
★知识点1： 三角形相似判定定理5：两角分别相等的两个三角形相似.
★知识点2： 直角三角形相似判定定理1：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么
这两个直角三角形相似.
核心知识
一、三角形相似判定定理5：两角分别_____________的两个三角形相似.
二、直角三角形相似判定定理1：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应____________，
那么这两个直角三角形相似.
复习巩固
【提问1】如何判断两个三角形是否相似呢？
新知探究
【小组讨论】分别画△ABC和△DEF，使得∠A和∠D都等于∠α，∠B和∠E都等于∠β，此时，∠C与
AB AC BC
∠F相等吗？三边的比 , , 相等吗？这样的两个三角形相似吗？
DE DF EF【问题一】改变∠α，∠β的大小，以上结论还成立吗？你发现了什么？
【证明一】如图，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，∠B=∠B’，求证：△ABC ∽△A'B'C'.
典例分析
例1 已知一个三角形的两个内角分别是35°，65°，另一个三角形的两个内角分别是35°，80°，则这两个三
角形( )
A．一定不相似 B.不一定相似 C．一定相似 D.不能确定【针对训练】
1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
AP AB AB AC
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． = D． =
AB AC BP CB
BC AB
2. 如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2=AD⋅AB；③ ＝ ；
CD AC
④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 在△ABC中，D是AB上的点，且∠ACD＝∠B，
1）证明：△ABC与△ACD相似.
2）AD=4，AC=6，求AB.
4．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°.求证：△ACD∽△BEC5．如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F，折痕交
AB边于点E，
(1)求证：△EFB∼△DEC；
(2)若AD=10,CD=6，求EF的长；
探究新知
【问题二】如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中∠B=∠E=90°根据之前所学已知哪些条件我们可以证明这两个
三角形相似呢？
【问题三】我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定.那么满足斜边和一条直角边成比例的两个
直角三角形相似吗？
AB AC
【证明】在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中， = ，求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'？
A'B' A'C'典例分析
例2 在Rt△ABC和Rt△≝¿中，∠C=∠F=90°．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说
明理由．
D
A
C B E D
(1)∠A=55°，∠D=35°；
(2)AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；
(3)AB=10，AC=8，DE=15，EF=9．
能力提升
1．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动
点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过 秒时△QBP
与△ABC相似．
课堂小结
1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？2. 简述判定两个三角形相似的方法？
3.你知道判定两个三角形相似的思路吗？
【参考答案】
新知探究
【小组讨论】分别画△ABC和△DEF，使得∠A和∠D都等于∠α，∠B和∠E都等于∠β，此时，∠C与
AB AC BC
∠F相等吗？三边的比 , , 相等吗？这样的两个三角形相似吗？相等，相等，相似
DE DF EF
D
A
B C E F
CBA = 38.92° AB = 5.48厘米 DEF = 38.92° DE = 9.37厘米
BAC = 62.39° BC = 4.95厘米 EDF = 62.39° EF = 8.47厘米
BCA = 78.69° AC = 3.51厘米 EFD = 78.69° DF = 6.00厘米
AB BC AC
= 0.58 = 0.58 = 0.58
DE EF DF
【问题一】改变∠α，∠β的大小，以上结论还成立吗？你发现了什么？成立，△ABC∽△DEF【证明一】如图，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，∠B=∠B’，求证：△ABC ∽△ A'B'C'.
证明：在△ABC 的边 AB(或延长线)上截取 AD=A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则
AD AE
∠ADE=∠B,∠AED=∠C， =
AB AC
AD CF AE CF
过点D作DF∥AC，交BC于点F，则 = ∴ =
AB CB AC CB
∵DE∥BC，DF∥AC ∴四边形DFCE是平行四边形
AE DE AD AE DE
∴DE=CF ∴ = ， 则 = = ，
AC CB AB AC CB
∴△ADE∽△ABC
∵∠A=∠A’， ∠ADE=∠B’， AD=A’B’，
∴△ADE∴ A'B’C’ ∴△△∽∴△ABC∴∴A≌'B'C'.
典例分析
例1 已知一个三角形的两个内角分别是35°，65°，另一个三角形的两个内角分别是35°，80°，则这两个三
角形( C )
A．一定不相似 B.不一定相似 C．一定相似 D.不能确定【针对训练】
1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（D ）
AP AB AB AC
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． = D． =
AB AC BP CB
BC AB
2. 如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2=AD⋅AB；③ ＝ ；
CD AC
④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（ B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 在△ABC中，D是AB上的点，且∠ACD＝∠B，
1）证明：△ABC与△ACD相似.
2）AD=4，AC=6，求AB.
解：在△ABC和△ACD中
∵ ∠A=∠A，∠ACD=∠B
∴ △ABC∽△ACD
AC AD DC AC•AC
∴ = = , 则AB= = 9
AB AC BC AD
4．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°.求证：△ACD∽△BEC【详解】证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，
∴∠DAC=90°=∠EBC，
∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，
∵∠DCE=90°，
∴∠DCA+∠ECB=90°，
∴∠D=∠ECB，
∵∠DAC=90°=∠EBC，
∴△ACD∽△BEC．
5．如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F，折痕交
AB边于点E，
(1)求证：△EFB∼△DEC；
(2)若AD=10,CD=6，求EF的长；
【详解】（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠CDE+∠CED=90°
根据折叠的性质得：∠≝=∠A=90°，
∴∠BEF+∠CED=90°
∴∠BEF=∠CED
∴△EFB∼△DEC
（2）解：根据折叠的性质得：DE=AD=10，∵ ，∴ ，
CD=6 CE=❑√DE2−CD2=8
∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=10，
∴BE=2．
探究新知
【问题二】如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中∠B=∠E=90°根据之前所学已知哪些条件我们可以证明这两个
三角形相似呢？
情况一：∠B=∠E，∠C=∠F(或∠A=∠D)
AB BC
情况二：∠B=∠E， =
DE EF
AB BC AC
情况三： = =
DE EF DF
【问题三】我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定.那么满足斜边和一条直角边成比例的两个
直角三角形相似吗？
相似
AB AC
【证明】在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中， = ，求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'？
A'B' A'C'
AB AC
设 = =k，则AB= kA'B’，AC= kA'C’
A'B' A'C'
∴ BC ❑√AB2−AC2 = kB’C’=k
=
B'C' B'C' B'C'AB AC BC
∴ = =
A'B' A'C' B'C'
∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
典例分析
例2 在Rt△ABC和Rt△≝¿中，∠C=∠F=90°．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说
明理由．
D
A
C B E D
(1)∠A=55°，∠D=35°；
(2)AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；
(3)AB=10，AC=8，DE=15，EF=9．
【详解】（1）解：在Rt△ABC和Rt△≝¿中，
∠C=∠F=90°．
∵∠A=55°∴∠B=90°−∠A=35°，
∴∠B=∠D，
∴Rt△ABC和Rt△≝¿相似，理由是：有两组角对应相等的两个三角形相似；
（2）解：在Rt△ABC和Rt△≝¿中，
∠C=∠F=90°．
AC 9 3 BC 12 3 AC BC
∵ = = ， = = ，则 = ，
DF 6 2 EF 8 2 DF EF
∴Rt△ABC和Rt△≝¿相似，理由是：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∠C=∠F=90°．
在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，
∴ ，
BC=❑√102−82=6
AB 10 2 BC 6 2 AB BC
∵ = = ， = = ，则 = ，
DE 15 3 EF 9 3 DE EF
∴Rt△ABC和Rt△DEF相似，理由是：有斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似；能力提升
1．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动
点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过 0. 8 或 2 秒时
△QBP与△ABC相似．
【详解】解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，
则AP=2tcm,BP=(8−2t)cm,BQ=4tcm,
BP BQ
∵∠PBQ=∠ABC∴当 = 时，△BPQ∽△BAC，
BA BC
8−2t 4t
即 = ，解得：t=2；
8 16
BP BQ
当 = 时，△BPQ∽△BCA，
BC BA
8−2t 4t
即 = ，解得：t=0.8；
16 8
综上所述：经过0.8s或2s秒时，△QBP与△ABC相似，
课堂小结
3.你知道判定两个三角形相似的思路吗？
1)平行于三角形一边的直线，找两个三角形.
2)已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边成比例.
3)已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边成比例.
4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应成比例．
5)已知直角三角形，找一组锐角相等，或两组直角边对应成比例，或斜边、一组直角边对应成比例.
