文档内容
27.2.1 相似三角形的判定（第二课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册（以下统称“教材”）第二十七章“相
似”27.2.1 相似三角形的判定（第二课时），内容包括：了解“三边成比例的两个三角形相似”和“两
边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理的证明过程，能运用这两个判定定理证明两个三角形相
似.
2.内容解析
本节课是在学习了相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质，并具备了有关三角形中位线和平
行四边形知识后，研究相似三角形的判定定理.判定三角形相似是本章的重点之一，一方面该定理是前面
知识的延伸和全等三角形性质的拓展;另一方面，不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且通
过本节课的学习，还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力，对掌握观察、比较、类比、转化等思想
有重要作用，因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：掌握两个判定定理，并能运用两个判定定理证明两个三角形
相似．
二、目标和目标解析
1.目标
1.了解“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理的
证明过程，能运用这两个判定定理证明两个三角形相似.
2.结合全等三角形的 SSS 和 SAS 的证明方法，会用类比、转化的思想证明以上两个相似三角形的判
定定理.
3.通过对相似三角形两个判定定理的学习，会用已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.
2.目标解析
达成目标1）的标志是：理解与掌握“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的
两个三角形相似”判定定理的证明过程，能运用这两个判定定理证明两个三角形相似.
达成目标2）的标志是：结合全等三角形的 SSS 和 SAS 的证明方法，通过探究环节，类比归纳相似
三角形的判定定理.
达成目标3）的标志是：会用已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.
三、教学问题诊断分析
从题干中找出已知条件判定两个三角形相似是本节课知识的一个难点.针对这一问题，在教学中应引导学生通过认真观察图形，根据已知条件，选用合适的方法判定两个三角形相似.
基于以上分析，本节课的教学难点是：会用已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.
四、教学过程设计
（一）复习巩固
【提问1】简述相似三角形的概念？
【提问2】如何判断两个三角形是否相似呢？
【提问3】结合之前所学，判定两个三角形全等有几种方法？
师生活动：教师提出问题，学生通过之前所学知识尝试回答问题.
【设计意图】通过回顾之前所学内容，为接下来探究相似三角形的判定打好基础．
（二）探究新知
【问题一】类比三角形全等的判定方法（SSS），我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
AB BC AC
【小组讨论】画△ABC和△DEF,使得 = = =k，度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？
DE EF DF
你觉得△ABC和△DEF相似吗？
师生活动：学生按要求画出图形，通过测量计算，小组交流讨论后回答问题.教师通过多媒体展示符
合题目要求的三角形，并标注对应边和对应角的测量结果.
【设计意图】在教师的指导下，学生通过自己动手，探索新知，体验探索过程，积累活动经验．
【问题二】改变k的大小，以上结论还成立吗？你发现了什么？
师生活动：教师通过多媒体展示改变k值后的对应三角形变化过程，学生认真观察，回答问题.此环节
鼓励学生积极回答问题，师生共同探索相似三角形第三种判定方法.
AB BC AC
【证明一】在△ABC和△A'B'C'中，如果 = = ，求证：△ABC∽△A'B'C'.
A'B' B'C' A'C'
师生活动：先由学生尝试在纸上写出完成的证明过程，教师巡视，针对不能写出证明过程的学生，教
师适当给出提示：通过上节课的学习可知，平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，
所构成的三角形与原三角形相似.那么我们是否可以在大的三角形（△ABC）内部构造一个小的三角形
（△ADE），使△ABC ∽△ADE，再通过已知条件证明△ADE≌△A'B'C'，从而△ABC∽△A'B'C'.
具体证明过程如下：证明:在线段AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE//BC,交AC于点E,
AB AC BC
根据前面的定理可得△ABC ∽△ADE ∴ = =
AD AE DE
AB BC AC
∵ = = ， AD=A’B’,
A'B' B'C' A'C'
BC BC AC AC
∴ = ， =
DE B'C' AE A'C'
∴AE= A'C’， DE=B'C'
∴△ADE≌△A'B'C'
∴△ABC∽△A'B'C'.
思路梳理：在△ABC上通过平行线构造相似三角形，同时使新构造的△ADE≌△A'B'C'，△ADE发挥了
中介的作用.
三角形相似判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
几何语言：
在△A′B′C′ 和△ABC中
AB AC BC
∵ = =
A'B' A'C' B'C'
∴△ABC∽△A’B’C’
【设计意图】通过完成证明过程，掌握利用三边成比例判定三角形相似的方法.
（三）典例分析与针对训练
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
【针对训练】
1．已知△ABC的三边长分别是2，5，6，△DEF的三边长如以下四个选项所列，若要使
△ABC∽△≝¿，则△DEF的三边长分别是（ ）
A．3，6，7 B．18，6，15 C．3，8，9 D．10，12，8
2．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ）【设计意图】考查学生对于利用三边成比例判定三角形相似的方法的掌握.
（四）探究新知
【问题三】类比三角形全等的判定方法（SAS），我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
AB BC
【小组讨论】画△ABC和△DEF,使得∠B=∠E， = =k，量出它们的第三组对应边AC和DF的
DE EF
长,它们的比等于k吗? 你觉得△ABC和△DEF相似吗？
师生活动：学生按要求画出图形，通过测量计算，小组交流讨论后回答问题.教师通过多媒体展示符
合题目要求的三角形，并标注对应边和对应角的测量结果.
【设计意图】在教师的指导下，学生通过自己动手，探索新知，体验探索过程，积累活动经验．
【问题二】改变k的大小，以上结论还成立吗？你发现了什么？
师生活动：教师通过多媒体展示改变k值后的对应三角形变化过程，学生认真观察，回答问题.此环节
鼓励学生积极回答问题，师生共同探索相似三角形第四种判定方法.
AB AC
【证明二】在△ABC和△A’B’C’中，如果∠A =∠A’， = ，求证：△ABC∽△A'B'C'
A'B' A'C'
.
师生活动：先由学生尝试在纸上写出完成的证明过程，教师巡视，针对不能写出证明过程的学生，教
师适当给出提示：证明方法和刚才的证明三边成比例两个三角形相似类似.那么我们是否可以在大的三角
形（△ABC）内部构造一个小的三角形（△ADE），使△ABC ∽△ADE，再通过已知条件证明△ADE≌△A'B'
C'，从而△ABC∽△A'B'C'.
具体证明过程如下：
证明:在线段AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE//BC,交AC于点E,
AB AC BC
根据前面的定理可得△ABC ∽△ADE ∴ = =
AD AE DE
AB AC BC BC AC AC
∵ = ，AD=A’B’, ∴ = ， =
A'B' A'C' DE B'C' AE A'C'
∴AE= A'C’， DE=B'C'而∠A =∠A’
∴△ADE≌△A'B'C'∴△ABC∽△A'B'C'.
思路梳理：在△ABC上通过平行线构造相似三角形，同时使新构造的△ADE≌△A'B'C'，△ADE发挥了
中介的作用.
三角形相似判定定理4：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
几何语言：
在△A′B′C′ 和△ABC中
AB AC
∵∠A=∠A’, =
A'B' A'C'
∴△ABC∽△A’B’C’
【设计意图】通过完成证明过程，掌握利用两边成比例且夹角相等判定三角形相似的方法.
AB AC
【小组讨论】分别画△ABC和△DEF,使得∠B=∠E， = ，这样的两个三角形相似吗？
DE DF
师生活动：先由学生回答问题，再由教师总结，并通过多媒体展示具体原因.
【设计意图】通过此环节,使学生理解不能通过此方法判定相似三角形的原因.
（五）典例分析与针对训练
例2 如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(
)
AC AB AC BC AC AB AC BC
A． = B． = C． = D． =
AD AE AD DE AD DE AD AE
【针对训练】
AD AE
1．如图，已知 ＝ ，若使△ABC∽△ADE成立 （只添一种
AB AC
即可）．
2. 如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的( )AC AB AC BC AC AB AC BC
A． = B． = C． = D． =
AD AE AD DE AD DE AD AE
3．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
AP AB AB AC
C． = D． =
AB AC BP CB
4 ．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与ΔA B C 相似的是（
1 1 1
）
A． B． C． D．
例3 如图，在△ABC中，点 D是AB上一点，且 AD＝1，AB＝3，
AC=❑√3．
求证：△ACD∽△ABC．
【针对训练】
1. 如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
2．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D、E分别在线段AB、AC上，BD＝2，CE＝5，求证：△AED∽△ABC．
3．如图所示，在四边形 ABCD 中，CA 是∠BCD 的角平分线，且 AC2=CD⋅BC，求证：
△ABC∽△DAC．
AD 3
例4 如图，D，E分别是△ABC的边AC,AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3,且 = ，求DE的长.
AB 4
【设计意图】考查学生对于利用两边成比例且夹角相等判定三角形相似的方法的掌握.
（六）归纳小结
1.通过本节课的学习,你学会了哪些知识？
2. 简述判定两个三角形相似的方法？
（七）布置作业
P34：练习
五、教学反思
